常微分线性微分方程的一般理论课件

4.14.1一般理一般理论第四章第四章 高高阶线性微分方程性微分方程 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求本节要求n 阶线性微分方程一般形式：阶线性微分方程一般形式：其中其中是区间是区间上的连续函数。上的连续函数。称它为称它为 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，而方程（，而方程（4.14.1）为）为 n 阶非阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程。4.1.1 引言引言 n 阶微分方程一般形式：阶微分方程一般形式：方程（方程（4.1）的解的存在唯一性定理）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：上，且满足初始条件：定理定理1 1及及都是区间都是区间则对于任一则对于任一及任意的及任意的方程方程（4.14.1）存在）存在，定义于区间，定义于区间上的连续函数上的连续函数,唯一解唯一解如果如果4.1.2 4.1.2 齐线性方程解的性质与结构齐线性方程解的性质与结构 定理定理2 2 （叠加原理）（叠加原理）如果如果则它们的线性组合则它们的线性组合 的的解，这里解，这里是任意常数。是任意常数。是方程（是方程（4.2）也是（也是（4.2）的的k个解，个解，例例有解有解证明证明问题问题：时，若时，若能否成为方程（能否成为方程（4.2）的通解？）的通解？不一定不一定不包含解不包含解要使要使为方程（为方程（4.2）的通解）的通解还需满足一定的条件。还需满足一定的条件。当当是齐线性方程的解，是齐线性方程的解，如在上例中如在上例中函数线性无关和相关函数线性无关和相关定义在定义在上的函数上的函数，如果存在，如果存在使得恒等式使得恒等式不不全为零的常数全为零的常数 对所有对所有成立，成立，称这些函数是称这些函数是线性相关线性相关的，否则称是的，否则称是线性无关线性无关的。的。如如上线性无关上线性无关上线性相关上线性相关上线性无关上线性无关要使得要使得则则定义在定义在区间上的区间上的 k个可微个可微 k-1次的函数次的函数所作成的行列式所作成的行列式称为这些函数的称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式伏朗斯基行列式 定理定理3 3在区间在区间上线性相关，上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式上它们的伏朗斯基行列式。则在则在证明证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数由假设，即知存在一组不全为零的常数 （4.64.6）（4.74.7）使得使得依次对依次对 t 微分此恒等式，得到微分此恒等式，得到若函数若函数的齐次线性代数方程组，的齐次线性代数方程组，关于关于它它的系数行列式的系数行列式方程方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论由线性代数理论证毕证毕其逆定理是否成立？其逆定理是否成立？例如：例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。无关的。不一定不一定故故是线性无关的。是线性无关的。如果方程如果方程(4.2)(4.2)的解的解在区间在区间上线性无关，则上线性无关，则任何点上任何点上都不等于零，即都不等于零，即在这个区间的在这个区间的定理定理4设有某个设有某个，使得，使得考虑关于考虑关于的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组证明证明 反证法反证法（4.94.9）其系数行列式其系数行列式，故（，故（4.94.9）有非零解）有非零解构造函数构造函数 根据叠加原理，根据叠加原理，是方程（是方程（4.2）的解，且满足初始条）的解，且满足初始条件件由解的唯一性知由解的唯一性知，即，即 因为因为不全为不全为0 0，与，与的假设矛盾。的假设矛盾。（4.104.10）另另 也是方程也是方程(4.2)(4.2)的解，的解，线性无关线性无关证毕证毕也满足初始条件（也满足初始条件（4.10）定理定理5 5 n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4.2)(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解，个线性无关的解，线性相关线性相关定理定理4定理定理3重要结论重要结论方程方程(4.2)(4.2)的解的解在区间在区间上线性无关上线性无关的充分必要条件是的充分必要条件是且任意且任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。证明证明在在 上连续，取上连续，取则满足条件则满足条件存在唯一。存在唯一。线性无关。线性无关。即齐线性方程即齐线性方程(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解。个线性无关的解。任取方程任取方程(4.2)的的n+1个解，个解，任意任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。引理引理 方程(4.2)的解组在 上是线性无关(相关)的，当且仅当由它们构造的向量函数组在 上是线性无关(相关)定理定理6 6（通解结构通解结构）其中其中是任意常数，是任意常数，且通解（且通解（4.11）是方程（是方程（4.24.2）的）的n个线性个线性无关的解，则方程（无关的解，则方程（4.24.2）的通解可表为）的通解可表为（4.114.11）包括包括方程（方程（4.24.2）的所有解。）的所有解。l方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基本解组基本解组。如果如果ln 阶齐线性方程的所有解构成一个阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。例例 已知方程已知方程 ，求它的基本解组？并写，求它的基本解组？并写出它的通解。出它的通解。分析：试探方法求其基本解组分析：试探方法求其基本解组。则原方程的通解为则原方程的通解为 4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 性质性质1 1 如果如果是方程（是方程（4.14.1）的解，而）的解，而（4.24.2）的解，则的解，则性质性质2 2 方程（方程（4.14.1）的任意两个解之差必为方程（）的任意两个解之差必为方程（4.24.2）的解。）的解。是方程是方程也是方程（也是方程（4.14.1）的解。）的解。是任意常数，且通解（是任意常数，且通解（4.144.14）包括）包括定理定理7 7为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，是方程（是方程（4.14.1）的某一解，则方程（）的某一解，则方程（4.14.1）的通解为）的通解为其中其中（4.144.14）设设方程（方程（4.1）的所有解。）的所有解。证明证明1)（4.14）一定是方程（）一定是方程（4.1）的解，且含有）的解，且含有n个独立个独立的任意常数，是通解。的任意常数，是通解。2)是方程（是方程（4.14.1）的任一个解，则）的任一个解，则是方程是方程（4.2）的解）的解证毕证毕 由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常常数变易法数变易法求得非齐线性方程的解。求得非齐线性方程的解。一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？提问提问：为了寻找为了寻找 ，只要再找，只要再找n-1个限制条件即可，个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取的，当然以运算上而这些条件在理论上是任意取的，当然以运算上“方便方便”为前为前提。提。适当选取方法适当选取方法，就可得到一关于，就可得到一关于 的线的线性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得 。设设为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，为（为（4.24.2）的通解。）的通解。（4.154.15）（4.164.16）非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法常数变易法为（为（4.1）的解。）的解。令令（4.16）代入方程（4.1）方程组有唯一的解，设为方程组有唯一的解，设为（4.16）特解特解通解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构:通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。3、非齐线性方程的求解步骤、非齐线性方程的求解步骤求对应齐线性方程的一个基本解组；求对应齐线性方程的一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程的通解。用常数变易法求非齐线性方程的通解。方方方方法法法法一一一一求非齐线性方程的一个特解；求非齐线性方程的一个特解；求对应的齐线性方程的一个基本解组；求对应的齐线性方程的一个基本解组；写出非齐线性方程的通解。写出非齐线性方程的通解。方方方方法法法法二二二二常数变易方法：常数变易方法：常数变易方法：常数变易方法：把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给出出n个限制条件即可求解。个限制条件即可求解。例例1 1 求方程求方程基本解组为基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的的通解，已知它对应齐线性方程的解解解得解得原方程的通解为原方程的通解为 令令例例2 2 求方程求方程于域于域解解 对应的齐线性方程为对应的齐线性方程为上的所有解。上的所有解。得得 易见有基本解组易见有基本解组这里这里 A、B 为任意常数。为任意常数。设设 为方程的解为方程的解 故得原方程的通解故得原方程的通解（为任意常数为任意常数)作业作业：P.131，第，第1，2，3（3，5），），4，5，6，7题题练习题练习题，并求方程，并求方程的的基本解组为基本解组为1 1 验证验证的通解。的通解。2 2 求方程求方程方程的方程的基本解组为基本解组为，的通解，已知它对应齐的通解，已知它对应齐线性线性思考题思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？常数变易法中待定函数的条件如何选择？关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是线性微分方程是没有普遍解法的没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程解问题能够彻底解决的一类方程常系数线性微分方程及可以常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法具体内容具体内容复值函数与复值解复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：应用分析：质点振动质点振动4.2.1 引子引子:复值函数和复值解复值函数和复值解1、复数及其相等的定义。、复数及其相等的定义。2、有关定义有关定义：复值函数的连续、可导性等。：复值函数的连续、可导性等。1、复值函数在点连续的定义、复值函数在点连续的定义如果如果 ，就称，就称 在在 连续连续。如果对于区间如果对于区间 中的每一实数中的每一实数t，有复数，有复数 与它对应，其中与它对应，其中 和和 是在区间是在区间 上定义的实函数，上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间是虚单位，就说在区间 上给定了一个复值函数上给定了一个复值函数 。如果。如果实函数实函数 ，,当当t趋于趋于 时有极限时有极限,就称复值函数就称复值函数 当当t趋于趋于 时有极限，并且定义时有极限，并且定义复值函数在区间上连续的定义：复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一即表示在区间上每一点都连续。点都连续。注：注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。点连续。2、复值函数在点有导数的定义、复值函数在点有导数的定义如果如果 极限存在，就称极限存在，就称z(t)在在 点有导数（可微）点有导数（可微）,且记此极限为且记此极限为 或者或者 。显然显然 在在 处有导数相当于处有导数相当于 ,在在 处有导数，且处有导数，且 3、复值函数的微分运算性质、复值函数的微分运算性质注意注意注意注意：同实值函数的微分运算法则一样。：同实值函数的微分运算法则一样。：同实值函数的微分运算法则一样。：同实值函数的微分运算法则一样。线性性线性性乘积性乘积性4、复指数函数的运算性质、复指数函数的运算性质设设 是任意一复数，这里是任意一复数，这里 是实数，而是实数，而 为实变量为实变量。基本性质基本性质重要性质重要性质5、复值解的定义复值解的定义定义于定义于 区间上的实变量复值函数区间上的实变量复值函数 称为方称为方程（程（4.1）的复值解。如果）的复值解。如果对于对于 恒成立恒成立。定理定理8：方程（方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解）的解。定理定理9：复方程的复值解的实部和虚部也是方程对应的实方程和虚方程复方程的复值解的实部和虚部也是方程对应的实方程和虚方程的解的解。6、两个重要定理两个重要定理问题问题：常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果如果？常数变易法常数变易法(至少至少)比较系数法比较系数法Laplace变换法变换法有无其它方法？有无其它方法？?欧拉指数法欧拉指数法4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程常系数齐线性方程欧拉（欧拉（Euler）待定指数函数法）待定指数函数法 特征根是单根的情形特征根是单根的情形 有复根的情形有复根的情形 特征根是重根的情形特征根是重根的情形 应用应用欧拉方程欧拉方程1、框架、框架2、常系数齐线性方程、常系数齐线性方程其中其中 是常数。此时，称（是常数。此时，称（4.19）为）为n阶常系数齐线性方程。阶常系数齐线性方程。若齐线性方程（若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式为如下形式：3、欧拉（、欧拉（Euler）待定指数函数法）待定指数函数法n引子：一阶微分方程解形式的启示引子：一阶微分方程解形式的启示有指数形式的解：有指数形式的解：对于对于n阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行讨论试探法进行讨论。n提问提问假如有下面形式（假如有下面形式（4.20）是方程（）是方程（4.19）的解）的解于是有：于是有：要（要（4.20）是方程（）是方程（4.2）的解的）的解的充要条件充要条件为为：称（称（4.21）是方程（）是方程（4.19）的）的特征方程特征方程，它的根称为，它的根称为特征根特征根。求解常系数线性微分方程问题求解常系数线性微分方程问题转化为求解一个代数方程问题。转化为求解一个代数方程问题。设设 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的n个彼此不相等的根，个彼此不相等的根，则相应地方程（则相应地方程（4.16）有如下）有如下n个解个解：可以证明这可以证明这n个解在区间上个解在区间上线性无关（线性无关（？），从而组成方程，从而组成方程（4.19）的）的基本解组基本解组。如果如果 均为实数，则均为实数，则(4.22)是方程是方程(4.19)的的n个线性无个线性无关的实值解，而方程关的实值解，而方程(4.19)的的通解通解可表示为可表示为:其中其中 为任意常数。为任意常数。3.1 特征根是单实根的情形特征根是单实根的情形例例1 求方程求方程 的通解的通解。解：解：(单实根单实根)特征方程为特征方程为：特征根特征根：通解通解：对应的对应的基本解组基本解组：3.2 特征根是单虚根的情形特征根是单虚根的情形设有单复根设有单复根 ，此时，由定理，此时，由定理8，可以求得实值解，可以求得实值解：例例2 求方程求方程 的通解的通解解：解：(复单根复单根)特征方程为特征方程为：特征根特征根通解通解对应的基本解组对应的基本解组3.3 特征根是重根的情形特征根是重根的情形设特征方程有设特征方程有k重根重根 ，由代数学基本知识有，由代数学基本知识有：下面分三步来讨论基本解组的构成下面分三步来讨论基本解组的构成：先讨论先讨论，此时，有线性无关的函数组此时，有线性无关的函数组：讨论讨论把这种情况通过变换把这种情况通过变换 化为第一种情况化为第一种情况。再构成线性无关的函数组再构成线性无关的函数组：特征根特征根 的重数分别为的重数分别为：则有线性无关的则有线性无关的函数组函数组：对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是譬如假设是k重特征根重特征根 ，则，则 也是也是k重特征重特征根，仿根，仿1一样处理，将得到方程（一样处理，将得到方程（15）的）的2k个实值解：个实值解：例例3 求方程求方程 的通解的通解特征方程：特征方程：解：复重根的情形解：复重根的情形对应的基本解组对应的基本解组：通解：通解：特征根特征根：是是2重根重根。4、欧拉方程、欧拉方程u定义：形如定义：形如的方程被称为的方程被称为欧拉方程欧拉方程。欧拉方程的求解方法欧拉方程的求解方法是通过变换变为常系数齐线性方程，是通过变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决。引进变换：因而求解问题很容易解决。引进变换：得到得到常系数齐线性微分方程：常系数齐线性微分方程：利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方程的求解。可完成欧拉方程的求解。及及由数学归纳法，不难证明由数学归纳法，不难证明其中其中 都是常数都是常数。事实上，由事实上，由 ，有，有注注：如果：如果 ，则用，则用 所得结果一样，为方便，所得结果一样，为方便，设设 ，但最后结果应以，但最后结果应以 代回。代回。于是对应于欧拉方程（于是对应于欧拉方程（4.23）的齐线性方程有形如）的齐线性方程有形如 的解，的解，从欧拉方程有形如从欧拉方程有形如 的解。若的解。若 以代入欧拉方程，以代入欧拉方程，得到其对应的特征方程：得到其对应的特征方程：方程（方程（4.25）的）的m重实根重实根，对应于方程（，对应于方程（25）的）的m个解个解方程方程4.25的的m重复根重复根，对应于方程（对应于方程（4.23）的）的2m个实值解个实值解u欧拉方程的解欧拉方程的解例例5 求解方程求解方程解：分析原方程为欧拉方程，于是有解：分析原方程为欧拉方程，于是有：得到确定的代数方程：得到确定的代数方程：方程的通解为方程的通解为其中其中 是任意常数。是任意常数。特征根为二重实根：特征根为二重实根：寻找方程的形式解，寻找方程的形式解，法一法一：利用欧拉方程求解过程进行求解；：利用欧拉方程求解过程进行求解；法二法二：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：例例6 求解方程求解方程解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由于是由欧拉待定指数欧拉待定指数方法求解。方法求解。特征方程为：特征方程为：或或特征根为：特征根为：于是可以写出这个方程的一个基本解组为：于是可以写出这个方程的一个基本解组为：于是可以写出这个方程的通解为于是可以写出这个方程的通解为：其中其中 是任意常数是任意常数。4.2.3 非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法比较系数法和拉普拉斯变换法求特解求特解考虑常系数非齐线性方程考虑常系数非齐线性方程其实，该方程（其实，该方程（4.26）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（）的求解问题，即比（4.26）更一般的微分方程（）更一般的微分方程（4.1）的通解问）的通解问题是这样解决的：（题是这样解决的：（常数变易法常数变易法）用先求出对应齐线性方程（）用先求出对应齐线性方程（4.2）的）的一个基本解组，然后找出（一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理）的某一个解，根据前面的定理7就可就可以写出（以写出（4.1）的通解。于是也就完成了（）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解问题，只是用）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：比比较系数法和拉普拉斯变换法较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。类型类型那么，方程（那么，方程（4.26）有形如）有形如 如果如果不是特征根不是特征根是特征根是特征根 如果如果作变量变换作变量变换，（，（4.26）化为）化为特征方程特征方程 的根的根 对应于（对应于（4.27）的特征方程的零根，并）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有且重数相同。于是利用上面的结论有：的的特解特解。其中。其中k为特征方程为特征方程 的根的根 的重数而的重数而 是是待定系数待定系数，可以通过比较系数来确定。，可以通过比较系数来确定。一、一、求特解求特解-比较系数法比较系数法 如果如果不是特征根不是特征根,取取k=0,有如下形式的特解有如下形式的特解：则比较则比较t的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为的同次幂的系数，得到常数应满足的方程组为 如果是是k重特征根，即，重特征根，即，方程（方程（4.26）将为）将为作变换：作变换：，则方程（，则方程（4.28）化为）化为对于（对于（4.29），），已不是它的特征根。因此，已不是它的特征根。因此，由前面的讨论，有形如下列形式的特解。由前面的讨论，有形如下列形式的特解。这表明这表明 是是t的的m+k次多项式，其中次多项式，其中t的幂次的幂次 的项带有任意常的项带有任意常数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（为零，于是得到方程（4.28）（或方程（）（或方程（4.26）的一个）的一个特解特解因而方程（因而方程（4.28）有特解）有特解 满足：满足：如果如果作变量变换作变量变换，（，（4.26）化为化为特征方程特征方程 的根的根 对应于（对应于（4.27）的特征方程的零根，）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有并且重数相同。于是利用上面的结论有：在在 不是特征方程的根的情形，（不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解：在在 是特征方程的根的情形，（是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解：其中其中k为重数为重数.利用利用比较系数法比较系数法求解非齐线性常系数微分方程的求解非齐线性常系数微分方程的一般步骤一般步骤：1、求对应齐线性常系数微分方程的特征根；、求对应齐线性常系数微分方程的特征根；2、分析、分析 f(t)的形式；的形式；3、判定上述、判定上述 f(t)中的指数是否为特征根？中的指数是否为特征根？4、然后利用比较系数法求得、然后利用比较系数法求得.例例7 求解方程求解方程解：对应齐线性方程的通解为解：对应齐线性方程的通解为再求非齐线性方程的一个特解。这里再求非齐线性方程的一个特解。这里并且不是特征根，故可取特解形如并且不是特征根，故可取特解形如将代入原方程，得到：将代入原方程，得到：比较系数得比较系数得原方程的通解为原方程的通解为例例8 求方程通解求方程通解分析分析:主要目的主要目的-求一特解求一特解。故根据比较系数法有特解形如故根据比较系数法有特解形如 ，通过代入，化简求，通过代入，化简求得得于是原方程的通解为：于是原方程的通解为：这里，这里，且，特征根为且，特征根为：其中其中 正是单特征根正是单特征根:类型类型设设 ，其中，其中 为常数，而为常数，而 是带实系数的是带实系数的t t的多项式，其中一个的的多项式，其中一个的次数为次数为m，而另一个的次数不超过，而另一个的次数不超过m，那么有如下结论：方，那么有如下结论：方程（程（4.224.22）有形如）有形如的特解。的特解。这里这里k为特征根为特征根 的重数，而的重数，而P(t)，Q(t)均为待定均为待定的实系数的次数不高于的实系数的次数不高于m关于关于t的多项式，可以通过比的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。较系数的方法来确定。的解之和必为方程（的解之和必为方程（4.26)4.26)的解。的解。与则根据非齐线性方程的则根据非齐线性方程的叠加原理叠加原理有有：通过分析通过分析,（4.26）有解形如：）有解形如：改写改写 f(t)的形式如下的形式如下其中其中利用非齐线性方程的利用非齐线性方程的叠加原理叠加原理和和类型类型I类型类型II的求解思想的求解思想注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。例例9 9 求方程通解求方程通解解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：再求非齐线性方程的一个特解。因为再求非齐线性方程的一个特解。因为 不是特征根，求形如不是特征根，求形如 的特解，将它代入原方程并化简得到的特解，将它代入原方程并化简得到通过通过比较同类项比较同类项的系数，得到原方程的通解：的系数，得到原方程的通解：类型类型的特殊情形的特殊情形例例10 10 用复数法求解例用复数法求解例9 9解：由例解：由例9 9已知对应齐线性方程的通解为：已知对应齐线性方程的通解为：为求非齐线性方程的一个特解为求非齐线性方程的一个特解,先求方程先求方程的特解。这属于类型的特解。这属于类型，而，而2 2i不是特征根，故可设特解为：不是特征根，故可设特解为：将它代入方程并消去因子将它代入方程并消去因子 得得 ，因而，因而 ，由定理由定理9，这是原方程的特解，于是原方程的通解为，这是原方程的特解，于是原方程的通解为于是：于是：复数法复数法求解求解二、拉普拉斯变换法二、拉普拉斯变换法定义（定义（拉普拉斯变换拉普拉斯变换）：由积分）：由积分 设给定微分方程设给定微分方程及初始条件及初始条件其中其中 是常数，而是常数，而f(t)为连续函数且满足原函数的条件为连续函数且满足原函数的条件。所定义的确定于复平面所定义的确定于复平面 上的复变数上的复变数s的函数的函数F(s)，称为函，称为函数数 的拉普拉斯变换，其中的拉普拉斯变换，其中 于于 有定义，且满足不等有定义，且满足不等式式这里这里 为某两个正常数，将称为某两个正常数，将称 为原函数，而称为原函数，而称F(s)为象为象函数。函数。拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一些微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一些代数运算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分方代数运算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分方程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采用。程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采用。当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。那么，按原函数微分性质有那么，按原函数微分性质有可以证明，如果函数可以证明，如果函数 是方程（是方程（4.22）的任意解，则）的任意解，则x(t)及其各及其各阶导数阶导数 均是原函数。记均是原函数。记借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组）的代数方程（组）。优点：优点：通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解。方法简便，为工程技术工作者所普遍求出微分方程（组）的解。方法简便，为工程技术工作者所普遍采用。采用。缺点：缺点：要求微分方程右端的函数是一个原函数要求微分方程右端的函数是一个原函数(满足条件（满足条件（*）)。拉普拉斯变换法的主要思想主要思想注意：注意：拉普拉斯变换存在是有条件的。拉普拉斯变换存在是有条件的。4.3高高阶微分方程的降微分方程的降阶和和幂级数解法数解法 一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例1 2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程,一般形式一般形式:因为用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则因此(4.69)的通解为 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:解之得即第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解这里由(4.70)得例3代入(4.2)得事实上若则即因此,对(4.67)仿以上做法,二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?例例 求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件y(0)=0的解。的解。解：分析：设解：分析：设 y 可以表示成级数形式：可以表示成级数形式：为方程的解，这里为方程的解，这里 是待定系数，由此有是待定系数，由此有将将 的表达式代入方程，并比较的表达式代入方程，并比较 x 的同次幂的系数，得到的同次幂的系数，得到及及y(0)=0，就有，就有,利用数学归纳法可以利用数学归纳法可以推得，一般地推得，一般地代入（代入（4.71）得）得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解而由条件而由条件y(0)=0,确定常数确定常数c=-1，即得方程的解为。，即得方程的解为。例例 求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件y(0)=0的解的解。解：解：以以 代入原方程代入原方程并比较并比较 的同次幂的系数的同次幂的系数。并利用初始条件并利用初始条件 ，有，有于是有于是有此级数对任何此级数对任何 都是发散的，都是发散的，故，所给问题没有形如假故，所给问题没有形如假设形式的级数解设形式的级数解。注意注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式，的幂级数形式，它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻译的翻译的高等数学教程高等数学教程第三卷第三分册第五章。这里只提一第三卷第三分册第五章。这里只提一下下Bessel方程和方程和Bessel函数。函数。定理10定理11例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得即因而也即故方程的解为1、n阶线性微分方程阶线性微分方程称称（4.2）为）为n阶齐次线性微分方程，简称阶齐次线性微分方程，简称齐线性方程齐线性方程。2、n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程问题问题：讨论（讨论（4.1）的求解方法。）的求解方法。本章小结本章小结一、解的性质一、解的性质 线性微分方程解的性质：齐（非）线性方程解的叠加性；线性微分方程解的性质：齐（非）线性方程解的叠加性；n阶阶齐线性方程解的结构及其空间性质；基本解组及其意义；非线性齐线性方程解的结构及其空间性质；基本解组及其意义；非线性方程与线性方程解的关系。方程与线性方程解的关系。二、求解的方法二、求解的方法 关于线性微分方程的解法有关于线性微分方程的解法有5种：基本解组的特征根方法（或种：基本解组的特征根方法（或欧拉待定指数函数方法）；求常系数非齐线性方程的特解的待定欧拉待定指数函数方法）；求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；求一般非齐线性方程特解的常数变易系数法和拉普拉斯变换法；求一般非齐线性方程特解的常数变易法；求一般二阶齐线性方程的特解的幂级数解法。法；求一般二阶齐线性方程的特解的幂级数解法。三、主要方法三、主要方法 特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方法特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同形式的方程。用于求解不同形式的方程。一、基本内容一、基本内容线性微分方程的一般理论：解的性质线性微分方程的一般理论：解的性质;常系数线性方程的解法常系数线性方程的解法;高阶方程的降阶和幂级数解法高阶方程的降阶和幂级数解法.特征根方法、常数变易法、比较系数（同类项）法、降特征根方法、常数变易法、比较系数（同类项）法、降阶法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同阶法和幂级数解法。同时注意不同的方法用于求解不同形式的方程。形式的方程。常数变易法、特征根法和比较系数法。常数变易法、特征根法和比较系数法。二、主要方法二、主要方法三、重点和难点三、重点和难点n阶线性微分方程阶线性微分方程n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程常系数齐线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果如果？比较系数法比较系数法Laplace变换法变换法有无其它方法？有无其它方法？?欧拉指数法欧拉指数法降阶法和幂级数解法降阶法和幂级数解法四、例题选讲四、例题选讲例例 求方程求方程 的通解。的通解。1、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求解、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：特征根方法特征根方法。2、再利用、再利用比较系数比较系数方法求原方程的方法求原方程的一个特解一个特解。（分析函数。（分析函数f(t)的特点！）的特点！）（要求学生说明如何求对应齐线性方程的通解！）（要求学生说明如何求对应齐线性方程的通解！）分析：分析：3、设特解为：、设特解为：4、将特解代入原方程，化简得：、将特解代入原方程，化简得：5、比较同类项的系数得到比较同类项的系数得到：从而有特解：从而有特解：6、原方程的通解（解的结构理论）：原方程的通解（解的结构理论）：注：还可以用复数方法求解注：还可以用复数方法求解。例例 求解方程求解方程解解 1、分析得知原方程是一个高阶微分方程，并不显含自变量、分析得知原方程是一个高阶微分方程，并不显含自变量t。于是，令于是，令 ，则有，则有2、原方程变为：原方程变为：3、求解新方程求解新方程4、变量还原，有通解为：变量还原，有通解为：例例 求解方程求解方程解：分析：不显含未知函数解：分析：不显含未知函数 ，于是令，于是令:于是有于是有（2阶伯努利方程阶伯努利方程Bernoulli）如果如果 ，又令，又令得到得到因此，求解并还原变量得到原方程的解因此，求解并还原变量得到原方程的解:如果如果 ，得到原方程的一个解为：，得到原方程的一个解为：例例 给定方程给定方程 其中其中 在在 上连续，设上连续，设 是上述方程的两个解，证明极限是上述方程的两个解，证明极限存在。存在。P166 7分析：分析：原方程对应的齐次线性方程有基本解组：原方程对应的齐次线性方程有基本解组：而而 是原方程的两个解，是原方程的两个解，则由定理知则由定理知 是是对应齐次线性方程的解，于是有对应齐次线性方程的解，于是有则则 存在。存在。例例 求解方程求解方程点评：点评：（1）用非齐次线性微分方程的性质（）用非齐次线性微分方程的性质（两个线性方程两个线性方程）；（2）常数变易法。常数变易法。