常微期末总复习课件

常微分方程（中文）常微分方程（中文）期末总复习期末总复习题题 型型v填空题：填空题：5x3=15分分v选择题：选择题：5x3=15分分v计算题：计算题：7+（1），共），共55分分v证明题：证明题：15分分第一章 一、基本概念和定义一、基本概念和定义 偏微分方程，常微分方程，线性方程，非线偏微分方程，常微分方程，线性方程，非线性方程，阶性方程，阶例：线性的，性的，3阶非非线性的，性的，2阶第二章：一阶微分方程的计算1.变量可分离方程变量可分离方程分离分离变量法求解：量法求解：当当时，分离，分离变量可得量可得 两边积分，得两边积分，得 其中其中c是任意常数。是任意常数。（最后的通解中一定要（最后的通解中一定要记得把得把满足足的解包含的解包含进去）去）2.齐次方程齐次方程的解题步骤：的解题步骤：1）令）令，则，2）代人方程得，）代人方程得，变量可分离方程量可分离方程用用分离分离变量法量法对上式求解得，上式求解得，3）返回原变量）返回原变量3，可化为变量分离形式的方程，可化为变量分离形式的方程1）若）若，则方程可化方程可化为齐次方程次方程2）若）若，则令则令代入方程得代入方程得变量可分离方程量可分离方程 3）若）若，则，则(a)联立方程求交点联立方程求交点 得交点得交点（b）做变量替换，）做变量替换，令令，代入方程得代入方程得齐次方程次方程 c)又做变量替换，又做变量替换，令令代入方程得代入方程得,变量可分离方程量可分离方程d)用分离变量法解上述方程用分离变量法解上述方程e)返回原变量返回原变量 4，一阶线性微分方程，一阶线性微分方程 法一：用常数变易法法一：用常数变易法法二：直接利用公式法二：直接利用公式 5，伯努利方程，伯努利方程解法：先做解法：先做变量替量替换，令，令，再代入原方程得，再代入原方程得，由公式得，由公式得，最后，返回原变量最后，返回原变量 6，1)若若，则上式是恰当方程，则上式是恰当方程2)若若，则上式不是恰当方程，则上式不是恰当方程，但是可以通过对方程两边同时乘以积分因子，但是可以通过对方程两边同时乘以积分因子，将上式化为恰当方程将上式化为恰当方程若若，则积分因子，则积分因子 若若，则积分因子，则积分因子 3)恰当方程解法：恰当方程解法：首先，验证方程是恰当方程？首先，验证方程是恰当方程？其次，令其次，令 并对并对 两两边关于关于求积分，得求积分，得 （1）再对上式两边关于再对上式两边关于 求导，由求导，由 求得函数求得函数。最后，代入（最后，代入（1）得最后的通解）得最后的通解 另外，还可用分项组合法（记住另外，还可用分项组合法（记住P54的公式（的公式（2.55）和线积分法）和线积分法第三章第三章:一阶微分方程解的存在定理一阶微分方程解的存在定理 对方程对方程，其中函数其中函数 关于关于 满足利普希茨条件且在区域满足利普希茨条件且在区域 连续连续1)过点过点 解的存在区间：解的存在区间：其中其中 2)近似解：近似解：3)误差估计：误差估计：其中其中 第四章：高阶微分方程第四章：高阶微分方程 1，解的结构，解的结构1）解的线性叠加原理；）解的线性叠加原理；齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解齐次微分方程的解 2，线性相关、无关：定义，郎希基行列式，线性相关、无关：定义，郎希基行列式 若构成若构成行列式的函数列行列式的函数列线性无关，性无关，则 若构成若构成行列式的函数列线性相关，则行列式的函数列线性相关，则 基本解组：不唯一；基本解组：不唯一；个线性无关解个线性无关解齐次微分方程的通解齐次微分方程的通解基本解组的线性组合基本解组的线性组合非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解基本解组的线性组合非齐次微分方程的特解基本解组的线性组合非齐次微分方程的特解 2）常系数齐次线性微分方程的解题步骤：）常系数齐次线性微分方程的解题步骤：（1）写出特征方程，求出特征根）写出特征方程，求出特征根（2）写出基本解组）写出基本解组(a)特征根是特征根是实根、根、单根：根：基本解基本解组：(b)特征根是实根、重根：特征根是实根、重根：是是重根，重根，是是 重根，重根，是是 重根重根其中其中 基本解组：基本解组：(c)特征根是实虚根、单根：特征根是实虚根、单根：基本解组：基本解组：(d)特征根是虚根、重根：特征根是虚根、重根：是是 重根，重根，是是重根，重根，基本解组：基本解组：（3）写出通解基本解组的线性组合）写出通解基本解组的线性组合 4，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：法一：常数变易法法一：常数变易法 法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法）法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法）（1）若方程的非齐次项为）若方程的非齐次项为 则方程有特解形式：则方程有特解形式：若若 是方程的特征根，是方程的特征根，是是的重数，的重数，若若 4，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：法一：常数变易法法一：常数变易法 法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法）法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法）（1）若方程的非齐次项为）若方程的非齐次项为 不是方程的特征根，不是方程的特征根，（2）若方程的非齐次项为）若方程的非齐次项为 则方程有特解形式：则方程有特解形式：其中其中 为待定的次数不高于为待定的次数不高于 的最高次数的多项式的最高次数的多项式若若 是方程的特征根，是方程的特征根，是是的重数，的重数，若若 不是方程的特征根，不是方程的特征根，