常微分方程的差分方法课件

安工大2004 4.1数值分析简明教程第三章 常微分方程的差分方法1 欧拉方法2 改进的欧拉方法3 龙格-库塔方法4 亚当姆斯方法5 收敛性与稳定性6 方程组与高阶方程的情形7 边值问题安工大2004 4.2数值分析简明教程引言科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求离散节点上的近似解，相邻节点间距称为步长步长。初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息计算的递推公式，这类计算格式统称为差差分格分格 式式。安工大2004 4.3数值分析简明教程欧拉格式微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续称为离散化。离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若在点列出方程，并用差商代替，结果有设用的近似值代入上式右端，记所得结果为，这样导出的计算公式就是众所周知的欧拉（欧拉（Euler）格式）格式，若初值是已知的，则依据上式即可逐步算出数值解。安工大2004 4.4数值分析简明教程安工大2004 4.5数值分析简明教程安工大2004 4.6数值分析简明教程莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1707年出生在瑞士的巴塞尔城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学代数学。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始了他的数学生涯。1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我要死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”，享年76岁。欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲.安工大2004 4.7数值分析简明教程他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清他对数学分析的贡献更独具匠心，无穷小分析引论一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为分析学的化身安工大2004 4.8数值分析简明教程19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），x（1755年），（1755年），f(x)（1734年）等，都是他创立并推广的。歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。安工大2004 4.9数值分析简明教程欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”，欧拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。安工大2004 4.10数值分析简明教程七桥问题七桥问题七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧通过此点弧的条数是奇数的条数是奇数)的个数为的个数为0或或2。安工大2004 4.11数值分析简明教程1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久安工大2004 4.12数值分析简明教程安工大2004 4.13数值分析简明教程欧拉格式的精度为简化分析，人们常在为准确即的前提下估计误差，这种误差称为局部截断误差局部截断误差。如果一种数值方法的局部截断误差为，则称它的的精度是阶的，或称之为阶方法。欧拉格式仅为一阶方法。安工大2004 4.14数值分析简明教程隐式欧拉格式设改用后差商替代方程中的导数项，再离散化，即可导出下列格式该格式右端含有未知的，它实际上是个关于的函数方程。故称该格式隐式欧拉格式隐式欧拉格式。隐式欧拉格式也是一阶方法,与欧拉格式相当。安工大2004 4.15数值分析简明教程两步欧拉格式1设改用中心差商替代方程中的导数项，再离散化，即可导出下列格式无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息，而该格式却调用了前面两步的信息，两步欧拉格式两步欧拉格式因此而得名。两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。安工大2004 4.16数值分析简明教程两步欧拉格式2安工大2004 4.17数值分析简明教程微分方程的数值解安工大2004 4.18数值分析简明教程梯形公式1设将方程的两端从到求积分，即得，显然，只要能近似的算出其中的积分项，我们就可以得到计算的差分格式。若我们用梯形法计算积分项：再离散化，即可得如下计算公式与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式梯形格式。安工大2004 4.19数值分析简明教程梯形公式2安工大2004 4.20数值分析简明教程改进的欧拉格式先用欧拉法求得一个初步的近似值，记为，称之为预报值，然后用它替代梯形法右端的再直接计算，得到校正值，这样建立的预报校正系统称为改进的欧拉格式改进的欧拉格式：预报校正它有下列平均化形式：实践表明，改进的欧拉格式明显改善了精度。安工大2004 4.21数值分析简明教程安工大2004 4.22数值分析简明教程龙格-库塔法的设计思想考察差商，根据微分中值定理，存在点,利用所给方程得我们称为区间上的平均斜率，这样只要对平均斜率提供一种算法，相应地我们便导出一种计算格式。龙格库塔（RungeKutta）方法设计思想就是设法在内多预报几个点的斜率值，然后把它们加权平均作为平均斜率，以期望构造出更高精度的计算格式。安工大2004 4.23数值分析简明教程二阶龙格-库塔方法1随意考察区间内一点，用两个点的斜率的加权平均代替平均斜率,于是我们就得到如下计算格式:(类似于改进的欧拉格式)其中有两个待定参数，适当选取它们的值，就可使上述格式有较高的精度。若，该格式是二阶的，故统称满足这一条件的一族格式为二阶龙格库塔格式二阶龙格库塔格式。特别地，当时，上述格式即为改进的欧拉格式改进的欧拉格式，如果取，则上述格式称为变形的欧拉格式，亦称为中点格式中点格式。安工大2004 4.24数值分析简明教程二阶龙格-库塔方法2安工大2004 4.25数值分析简明教程二阶龙格-库塔方法3安工大2004 4.26数值分析简明教程作业P.124第9题安工大2004 4.27数值分析简明教程三阶龙格-库塔方法为了进一步提高精度，我们可以考虑用三个点的斜率值加权平均得出平均斜率的近似值，其中，于是就可以构造所谓的三阶龙格库塔格式三阶龙格库塔格式，下列库塔格式库塔格式是其中的一种：安工大2004 4.28数值分析简明教程四阶龙格-库塔方法继续上述过程，我们可以导出四阶龙格库塔格式四阶龙格库塔格式，下列经典格式是其中的一种：值得注意的是，龙格库塔法的推导基于泰勒展开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，则该方法得到的解反而不好。安工大2004 4.29数值分析简明教程变步长的龙格-库塔方法同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。同样，我们可以采取步长加倍或折半的办法选择步长，即通过检查步长折半前后的两种计算结果的偏差：来判断选取的步长是否合适，具体可以分为两种情况来处理：对于给定精度，若，则反复将步长折半进行计算直到为止，取步长折半后的“新值”作为结果；相反的，反复将步长加倍直到，取步长加倍前的“老值”作为结果。这种通过步长加倍或折半的手续处理步长的方法称为变步长方变步长方法法。安工大2004 4.30数值分析简明教程亚当姆斯格式1亚当姆斯（亚当姆斯（Adams)方法方法的设计思想是充分利用计算之前已得到一系列节点上的斜率值来减少计算量。譬如，我们可以用两点的斜率的加权平均作为区间上的平均斜率，于是可设计出如下二阶亚当姆斯格式:Adams方法亦成为线性多步方法亦成为线性多步法法类似的，可导出如下三阶和四阶亚当姆斯格式：安工大2004 4.31数值分析简明教程亚当姆斯格式2安工大2004 4.32数值分析简明教程亚当姆斯格式3安工大2004 4.33数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式1 同样，我们也可导出如下隐式的二阶、三阶和四阶亚当姆斯格式：安工大2004 4.34数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式2安工大2004 4.35数值分析简明教程作业安工大2004 4.36数值分析简明教程证明3阶Adams格式安工大2004 4.37数值分析简明教程亚当姆斯预报-校正系统仿照改进的欧拉格式的构造方法，将显式和隐式两种亚当姆斯格式相匹配，可构成下列亚当姆斯预报校正系统亚当姆斯预报校正系统：预报校正安工大2004 4.38数值分析简明教程改进的亚当姆斯预报-校正系统我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而依据这种估计将该系统就可改进为如下精度更高的计算方案：预报改进校正改进安工大2004 4.39数值分析简明教程记住的公式安工大2004 4.40数值分析简明教程收敛性问题1在用差分格式求解微分方程时我们要考虑差分格式的收敛性。我们称差分格式是收敛的，如果对任意固定的，数值解当（同时）时趋于准确解。以下我们研究欧拉方法的收敛性。我们记，记为关于的李普希兹常数，经反复递推，可得其中为常数。若初始是准确的，即，则当时，有。这说明欧拉方法是收敛收敛的。安工大2004 4.41数值分析简明教程收敛性问题2安工大2004 4.42数值分析简明教程收敛性问题3安工大2004 4.43数值分析简明教程收敛性问题4安工大2004 4.44数值分析简明教程稳定性问题1关于收敛性的讨论有个前提，即必须假定差分方法的每一步计算都是准确的。然而实际计算中往往由于有舍入误差等原因而产生扰动，而这些扰动有可能“淹没”真解，所以我们还要考虑稳定性问题。收敛性主要考虑算法的内在误差,而稳定性考虑外在误差。我们称差分方法是稳定稳定的，如果在节点值上大小为的扰动于以后各节点值上产生的偏差值均不超过。稳定性比较复杂。为简化讨论，我们仅考察下列模型方程可以验证，对于该模型方程，欧拉格式是条件稳定条件稳定的，而隐式欧拉格式是恒稳定恒稳定的。安工大2004 4.45数值分析简明教程稳定性问题2安工大2004 4.46数值分析简明教程安工大2004 4.47数值分析简明教程安工大2004 4.48数值分析简明教程安工大2004 4.49数值分析简明教程一阶方程组前面我们研究了单个方程的差分方法，只要把和理解为向量，所提供的各种算法即可推广应用到一阶方程组的情形。譬如，对于方程组令，以表示节点上的近似解，则其欧拉格式具有形式：安工大2004 4.50数值分析简明教程一阶方程组则其改进的欧拉格式具有形式：预报校正安工大2004 4.51数值分析简明教程安工大2004 4.52数值分析简明教程安工大2004 4.53数值分析简明教程化高阶方程为一阶方程组关于高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为一阶方程组来求解。譬如，对于下列二阶方程的初值问题若引进新的变量，即可化为一阶方程组的初值问题从而可以运用前面介绍的各种算法求解。安工大2004 4.54数值分析简明教程