麦克斯韦速率分布课件

第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论 7-4 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。则叫麦克斯韦速率分布律。速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比为多大。百分比为多大。一、分子速率分布函数一、分子速率分布函数伽伽耳耳顿顿板板 7-4 麦克斯韦速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速1第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布(1)把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间;(2)求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数;(3)各区间的分子数占气体分子总数的百分比。各区间的分子数占气体分子总数的百分比。分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数研究气体分子的速率分布分布表 分布曲线 分布函数2第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论Hg分分子子在在某某温温度度时时V(m/s)(N/N)*100%90以下以下6.290 14010.32140 19018.93190 24022.7240 29018.3290 34012.8340 3906.2390以上以上4.0(1)速率速率分布表分布表速率分布：各不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比。速率分布：各不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比。Hg分子在某温度时V(m/s)(N/N)*100%90以下3第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论(2)(2)速率分布速率分布速率分布速率分布矩方图：矩方图：矩方图：矩方图：1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N2)所有小面积的和恒等于一；所有小面积的和恒等于一；3)时，小矩形面积的端点时，小矩形面积的端点连成一函数曲线连成一函数曲线速率分布函数曲线速率分布函数曲线6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390(2)速率分布矩方图：1)每个小长方形面积代表某速率区4第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论(3)(3)速率分布函数、曲线速率分布函数、曲线速率分布函数、曲线速率分布函数、曲线1)每个小长方形面积代表某每个小长方形面积代表某速率区间速率区间的分子数占总分子数的分子数占总分子数的的百分比百分比dN/N。2)3)极大值处对应的速率极大值处对应的速率 最概然速率最概然速率附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比最大最大(3)速率分布函数、曲线1)每个小长方形面积代表某速率区5第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论1895，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。(1)分布分布定律定律物物理理意意义义：对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率vv+dv区区间间内内的的分分子子数数dN占占总总分分子子数数N的的百分比百分比(概率概率)。(2)麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数物物理理意意义义：对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率出出现现在在v附附近近、单单位位速速率率区区间间内内的的分分子子数数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比(概率概率)。1895，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。(1)分6第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论1、分子速率在、分子速率在0内各种可能值，内各种可能值，但所占比率不同，具有中等速率的但所占比率不同，具有中等速率的分子数所占比率较大，两边的分子分子数所占比率较大，两边的分子数所占百分比较小。数所占百分比较小。归一化条件：归一化条件：2、曲线下所包围的面积为、曲线下所包围的面积为1-分布函数归一化。分布函数归一化。O二、分布函数的曲线特征及意义二、分布函数的曲线特征及意义 在温度为在温度为T T的平衡状态下，在速率的平衡状态下，在速率 的附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；的附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；即单位速率间隔内分子的分布几率。即单位速率间隔内分子的分布几率。-几率（概率）密度。几率（概率）密度。物理意义物理意义1、分子速率在0内各种可能值，但所占比率不同，具有中等速7第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论3、最概然速率（最可几速率）、最概然速率（最可几速率）-分布曲线的峰分布曲线的峰值值 所对应的速率。所对应的速率。气体中分子速率与最概然速率气体中分子速率与最概然速率相近的分子数最多相近的分子数最多(单位区间单位区间)在温度为在温度为T的平衡态下，在的平衡态下，在 附近的单位附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。物理意义物理意义3、最概然速率（最可几速率）-分布曲线的峰值 所8第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论4、的关系的关系(1)不同温度下的同种气体不同温度下的同种气体4、的关系(1)不同9第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论(2)同温度下的不同种气体同温度下的不同种气体(2)同温度下的不同种气体10第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论三、三种特殊速率三、三种特殊速率1 1、平均速率、平均速率-所有分子的速率的算术平均值所有分子的速率的算术平均值对于连续分布对于连续分布三、三种特殊速率1、平均速率-所有分子的速率的算术平均值11第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论2 2 方均根速率方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根2 方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根12第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论3 3、最概然速率、最概然速率3、最概然速率13第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义对于一定量的气体，对于一定量的气体，在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率vv+dv区间内的分子数区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比(概率概率)。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率出出现现在在v附附近近、单单位位速速率率区区间间内内的的分分子子数数dN占占总总分分子子数数N的的百分比百分比(概率概率)。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率出现在出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数dN说出下列各式的物理意义对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下14第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义对于一定量的气体，对于一定量的气体，在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比(概率概率)。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率在在v1v2区间内的平均值和在该区间概率的乘积。区间内的平均值和在该区间概率的乘积。说出下列各式的物理意义对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下15第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义气体分子速率气体分子速率0vp区间内的概率区间内的概率或或气体分子速率气体分子速率0vp区间区间内分子数内分子数 N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比(概率概率)。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率平方的平均值。平方的平均值。对对于于一一定定量量的的气气体体，在在温温度度为为T的的平平衡衡态态下下，气气体体分分子子速速率率的平均值。的平均值。说出下列各式的物理意义气体分子速率0vp区间内的概率或气体16讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率 17 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均根时，氢气和氧气分子的方均根速率速率 .氢气分子氢气分子氧气分子氧气分子 例 计算在 时，181）2）例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1）速率在速率在 间的分子数；间的分子数；2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和.速率在速率在 间的分子数间的分子数1）2）例 已知分子数 19 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率.2000 例 如图示两条 20例例 设想有设想有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为试试求求:(1)常常数数A；(2)最最可可几几速速率率、平平均均速速率率和和方方均均根根速速率率；(3)速速率率介介于于0v0/3之之间间的的分分子子数数；(4)速速率率介介于于0v0/3之之间间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。解：解：(1)气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件例 设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A21(2)最可几速率最可几速率由由决定决定平均速率平均速率方均速率方均速率方均根速率为方均根速率为即即(2)最可几速率由决定平均速率方均速率方均根速率为即22(3)速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数(4)速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为练习十五、十六练习十五、十六(3)速率介于0v0/3之间的分子数(4)速率介于023 7-5 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 麦麦克克斯斯韦韦速速率率分分布布是是对对理理想想气气体体而而言言的的，1877年年，玻玻耳耳兹兹曼曼把把它它推推广广到到在在某某一一力力场场中中的的运运动动分分子子情情况况，在在力力场场中中的的分分布布结结果果叫叫做做玻玻耳耳兹兹曼曼分分布布（或或麦麦克克斯斯韦韦-玻耳兹曼分布）玻耳兹曼分布）。在在外外力力场场中中，气气体体分分子子既既有有平平动动动动能能Et=0.5mv2,同同时时，又又具具有有势势能能Ep。气气体体分分子子在在空空间间的的分分布布取取决决于于其其势势能能，并并与与因因子子e-Ep/kT成成正正比比；同同样样，分分子子按按速速度的分布取决于其平动动能，并与因子度的分布取决于其平动动能，并与因子e-Et/kT成正比。成正比。7-5 玻尔兹曼分布律 麦克斯韦速率分布是24 在在温温度度为为T的的平平衡衡状状态态下下，气气体体分分子子的的速速度度在在区区间间vxvx+dvx,vyvy+dvy和和vzvz+dvz内内，并并且且空空间间位位置置在在xx+dx,yy+dy和和zz+dz范围内的分子数，可表示为：范围内的分子数，可表示为：一、波尔兹曼分布定律一、波尔兹曼分布定律如果只需知道分子数在空间的分布如果只需知道分子数在空间的分布 在温度为T的平衡状态下，气体分子的速度在区间vx25如果只需知道分子数在空间的分布如果只需知道分子数在空间的分布在空间在空间(x,y,z)附近单位体积内的分子数即分子数密度为：附近单位体积内的分子数即分子数密度为：若以若以n0表示在表示在Ep=0处的分子数密度，处的分子数密度，则则n0=C如果只需知道分子数在空间的分布在空间(x,y,z)附近单位体26二、重力场中气体密度按高度分布规律二、重力场中气体密度按高度分布规律假设：假设：1）大气是理想气体）大气是理想气体2）大气处于平衡态，）大气处于平衡态，T不变且满足不变且满足由于重力作用，只有那些速率由于重力作用，只有那些速率大的分子才能克服重力跑到高空。大的分子才能克服重力跑到高空。故空气分子数将随高度而减少。故空气分子数将随高度而减少。今取一垂直于地面的气体圆柱体。今取一垂直于地面的气体圆柱体。设地面处分子数密度为设地面处分子数密度为高度为高度为h处的分子数密度处的分子数密度为为3）有外场（重力场或电磁场）作用）有外场（重力场或电磁场）作用二、重力场中气体密度按高度分布规律假设：1）大气是理想气体227分子数密度按势能分布分子数密度按势能分布若在重力场中若在重力场中分子数密度按高度分布玻尔兹曼分布分子数密度按高度分布玻尔兹曼分布压强分布：压强分布：在恒温下，在恒温下，(1)分子数密度按高度分布；分子数密度按高度分布；(2)高度每升高高度每升高10m，气体压强约下降，气体压强约下降 133Pa。分子数密度按势能分布若在重力场中分子数密度按高度分布玻28