大数定律和中心极限定理资料课件

第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律从理论上解决：大数定律从理论上解决：中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分布为极限分布，布为极限分布，即即 用正态分布作近似计算。用正态分布作近似计算。用样本均值近似代替理论均值问题：用样本均值近似代替理论均值问题：用频率近似代替概率问题：用频率近似代替概率问题：第四章 定义定义4.1 若存在常数若存在常数a，使对任给常数，使对任给常数 ,有有则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于a。切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式 设设 的期望的期望E 和和方差方差D 存在，则对任给常数存在，则对任给常数 ，有，有 或或当当n充分大时，充分大时，几乎几乎所有的所有的 都落在都落在a的的 邻域内。邻域内。只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。定义4.1 若存在常数a，使对任给常数 证证（对连续型）（对连续型）设设则则证（对连续型）设则补例补例（P.113A.2)有有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在着的灯的数量在6800至至7200之间的概率。之间的概率。解解 设设 表示同时开着的灯的数量，表示同时开着的灯的数量，则则补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯补例补例:设设 e(),用用切比雪夫不等式估计切比雪夫不等式估计1/12C补例:设e(),用切比雪夫不等式估计1/12C定理定理4.1（切比雪夫大数定律）设（切比雪夫大数定律）设 相互独立，相互独立，证证前前n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式定理4.1（切比雪夫大数定律）设 推论推论（伯努利大数定律）设（伯努利大数定律）设 为为n重伯努利试验中重伯努利试验中A发生的次数，发生的次数，则对任给常数则对任给常数 有有即即 事件事件A的频率的频率依概率依概率收敛于收敛于A的概率。这是用频率的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。近似代替概率的理论依据。证证 设设则则由定理由定理4.1得证。得证。推论（伯努利大数定律）设 为n重伯努利试验中A发生的定理定理4.2（辛钦（辛钦Khinchine大数定律）设大数定律）设相互独立且同分布，相互独立且同分布，即即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。理论均值。由定理由定理4.1定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设相互独立且同分4.2 中心极限定理中心极限定理定理定理4.3（林德伯格列维（林德伯格列维Lindberg-Levy定理）定理）设随机变量设随机变量 相互相互独立独立且且同分布同分布，则对任何实数则对任何实数 x，有，有 当当n充分大时，充分大时，（近似）（近似）4.2 中心极限定理定理4.3（林德伯格列维Lin注意：注意：不必知道不必知道 的确切分布，只要求独立、同分布。的确切分布，只要求独立、同分布。条件还隐含了每个条件还隐含了每个 对总和对总和 的影响不大。的影响不大。定理的实际意义：定理的实际意义：注意：不必知道 的确切分布，只要求独立、同分布。条件补例补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平）设一袋味精的重量是随机变量，平均值均值100克，标准差克，标准差2克。求克。求100袋味精的重量超过袋味精的重量超过10.05公斤的概率。公斤的概率。解解 设设 表示第表示第 袋味精的重量，袋味精的重量，可以认为可以认为 是独立同分布的，是独立同分布的，又设又设 表示表示100袋味精的重量，袋味精的重量，所求概率为：所求概率为：分布分布未知未知由中心极限定理由中心极限定理,补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值1若将若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率的概率.例例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。计算机在进行加法时，每个加数取整数。设所有的取整误差是相互独立的设所有的取整误差是相互独立的,且都在且都在-0.5,0.5上服从均匀分布上服从均匀分布.若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.例1相互独立相互独立,制造制造1200个零件个零件,问总重量大于问总重量大于1202kg的概率是多少？的概率是多少？补例：补例：用一机床制造大小相同的零件用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，由于随机误差，每个零件的重量在每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布上均匀分布.设每个零件重量设每个零件重量相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率定理定理4.4（棣莫弗拉普拉斯定理）设（棣莫弗拉普拉斯定理）设 则对任何实数则对任何实数 x，有，有连续型连续型离散型离散型当n充分大时,定理4.4（棣莫弗拉普拉斯定理）设 则对任何实数下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开例例2（P.111）某厂有同型号机器）某厂有同型号机器100台，独立工作，台，独立工作，(1):在一段时间内正常工作的概率为在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机器。求正常工作的机器超过超过85台的概率。台的概率。解解 设设 为为100台中正常工作的台数，台中正常工作的台数，则则 B(100,0.8),由定理由定理4.4得得例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1)机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要若该厂至少要85台机器正常工作才不台机器正常工作才不影响生产，欲使不影响生产的概率不低于影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台，问每台解解 设设 为正常工作的台数，为正常工作的台数，则则 B(100,p).机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台身高在160cm180cm之间的概率是多少？补例补例 设某地成年男子身高设某地成年男子身高 XN(170，102)(单位：单位：cm)，随机抽取随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有名该地男子测量身高。问其中至少有70人人解解:设设身高在160cm180cm之间用事件A表示,则 设Y 表示身高在160cm180cm之间的人数，则np=68.26,npq=21.67.因而近似有Y N(68.26,21.67),YB(100,0.6826),身高在160cm180cm之间的概率是多少？补例 设某注：注：可用正态分布近似；可用正态分布近似；当当p很小，很小，np不太大时，可用泊松分布近似。不太大时，可用泊松分布近似。当当n充分大时，充分大时，注：可用正态分布近似；当p很小，np不太大时，P.111解解 设每辆车装设每辆车装n箱，重量为箱，重量为，第，第 箱的重量为箱的重量为P.111解 设每辆车装n箱，重量为，第 箱的重由中心极限定理，由中心极限定理，N(50n,25n)查表得查表得解得解得 n98.0199，即最多装即最多装98箱。箱。由中心极限定理，N(50n,25n)查表得解得 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,补例补例某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每人每年交每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元.保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中证证补例补例证补例根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，根据独立同分布的中心极限定理，例例2（综）设一大批产品中一级品率为（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解解 设设 为为500件中的一级品数，件中的一级品数，则则 B(500,0.1),由中心极限定理得由中心极限定理得(1)现从中任取现从中任取500件件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算计算:这这500件中一级品比例与件中一级品比例与10%之差的绝对值小于之差的绝对值小于2%的概率的概率;由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解 设(2)解解:设至少应取设至少应取n件件,为为n件中的一级品数件中的一级品数,则则 B(n,0.1).(2)至少应取多少件才能使一级品的比例与至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值之差的绝对值小于小于2%的把握大于的把握大于95%？(2)解:设至少应取n件,为n件中的一级品数,则(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解练习练习 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个来参加家长会的家长人数是一个随机变量随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加名家长来参加会议的概率分别为会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，根据独立同分布的中心极限定理，由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,由德莫佛拉普拉斯定理知,