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第二章第二章 导热微分方程式导热微分方程式2-1 基本概念和定律基本概念和定律2-2 导热微分方程式导热微分方程式2-3 通过平壁和圆筒壁的稳态导热通过平壁和圆筒壁的稳态导热2-4 肋肋(fin)的稳态导热的稳态导热2-5 二维、三维稳态导热二维、三维稳态导热2-1 2-1 基本概念和基本定律基本概念和基本定律一、温度场（一、温度场（Temperaturefield）各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称各时刻物体中各点温度分布的总称 温度场是温度场是温度场是温度场是时间时间时间时间和和和和空间空间空间空间的函数的函数的函数的函数tt为温度为温度为温度为温度;x,y,zx,y,z为空间坐标为空间坐标为空间坐标为空间坐标;时间坐标时间坐标时间坐标时间坐标 稳态温度场稳态温度场稳态温度场稳态温度场 非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态导热非稳态导热非稳态导热非稳态导热稳态导热稳态导热稳态导热稳态导热 一维温度场：一维温度场：一维温度场：一维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场：二、等温面与等温线二、等温面与等温线 等温面：等温面：同一时刻、温度场中所有温同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。度相同的点连接起来所构成的面。等温线：等温线：用一个平面与各等温面相交，用一个平面与各等温面相交，在该平面上得到一个等温线簇。在该平面上得到一个等温线簇。(1)(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；等温面与等温线的特点等温面与等温线的特点 (2)(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们要在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们要么封闭么封闭,要么终止于物体表面上；要么终止于物体表面上；(3)(3)等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小。对大小。三、温度梯度（三、温度梯度（Temperaturegradient）等温面上没有温差；等温面上没有温差；等温面上没有温差；等温面上没有温差；温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。不同的等温面之间，有温差。不同的等温面之间，有温差。不同的等温面之间，有温差。不同的等温面之间，有温差。系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度温度梯度温度梯度温度梯度，记为，记为，记为，记为gradtgradt 温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向四、热流密度矢量四、热流密度矢量(Heatflux)直角坐标系中：直角坐标系中：热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大最大热流密度热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度 热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好好好好相反相反相反相反。t+ttt-t同一个等温面上没有温差，没有导热；不同的同一个等温面上没有温差，没有导热；不同的等温面上有温差，有导热；等温面上有温差，有导热；热流线（热流线（热流线（热流线（HeatflowlineHeatflowline)：为表示热流方向的线，它恒与等温：为表示热流方向的线，它恒与等温：为表示热流方向的线，它恒与等温：为表示热流方向的线，它恒与等温线线线线(面面面面)正交，正交，正交，正交，方向朝着温度降落最大的方向。方向朝着温度降落最大的方向。方向朝着温度降落最大的方向。方向朝着温度降落最大的方向。五、傅里叶定律（五、傅里叶定律（Fourierslaw）1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(Fourier)在实验研究基础上，在实验研究基础上，发现导热基本规律：发现导热基本规律：文字描述：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正文字描述：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正比而方向相反；比而方向相反；数学表达：数学表达：标量形式：标量形式：热导率（导热系数）热导率（导热系数）傅里叶定律只适用于傅里叶定律只适用于均质各向同性材料均质各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的。各向同性材料：热导率在各个方向是相同的。有些天然和人造材料：如石英、木材、叠层塑料板，其导热有些天然和人造材料：如石英、木材、叠层塑料板，其导热系数随方向而变化。系数随方向而变化。六、导热系数（六、导热系数（Thermalconductivity）影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。一般情况下：压力、密度等。一般情况下：压力、密度等。一般情况下：压力、密度等。一般情况下：导电性好的金属，其导热性也好。导电性好的金属，其导热性也好。导电性好的金属，其导热性也好。导电性好的金属，其导热性也好。a.a.固固液液气气b.b.导导非导非导c.c.纯金属纯金属合金合金d.d.湿湿干干e.e.晶体晶体非晶体非晶体f.f.f.f.多孔多孔实体实体导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。-物质重要的物性参数物质重要的物性参数物质重要的物性参数物质重要的物性参数 u 不同物质导热机理不同物质导热机理 气体的导热系数气体的导热系数依靠分子依靠分子无规则的热运动无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递 液体的导热系数液体的导热系数主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞 固体的热导率固体的热导率依靠依靠自由电子的迁移自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者和晶格的振动，主要依靠前者 a)纯金属的热导率：纯金属的热导率：依靠依靠晶格的振动晶格的振动传递热量；传递热量；c)非金属的热导率：非金属的热导率：T 导热系数导热系数 T 导热系数导热系数 (水等除外水等除外)T 导热系数导热系数 T 导热系数导热系数b)合金的热导率：合金的热导率：T 导热系数导热系数依靠自由电子的迁移和依靠自由电子的迁移和晶格的振动晶格的振动，主要依靠后者，主要依靠后者（1）const，不考虑温度对其影响；（2），认为 是温度的线性函数。式中式中0为某温度时物质为某温度时物质的导热系数，的导热系数，b为温度系数，为温度系数，t为材料的温度。为材料的温度。导热系数导热系数 是是随温度变化的物性参数随温度变化的物性参数。工程上，导热系数工程上，导热系数 的取值：的取值：u 不同物质的导热系数不同物质的导热系数不同物质的导热系数不同物质的导热系数 当当当当 0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)时，时，时，时，这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温这种材料称为保温材料。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。1.1.1.1.防潮防潮防潮防潮 2.2.2.2.避免挤压避免挤压避免挤压避免挤压 3.3.3.3.在中低温中在中低温中在中低温中在中低温中 2-2 导热微分方程式导热微分方程式傅里叶定律：傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 +能量守恒定律能量守恒定律一、导热微分方程式的推导一、导热微分方程式的推导 假设：假设：假设：假设：(1)(1)所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质所研究的物体是各向同性的连续介质(2)(2)热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知目的目的目的目的 (3 3)物体内具有内热源物体内具有内热源物体内具有内热源物体内具有内热源QQv v，表示单位时间单位体积物体发，表示单位时间单位体积物体发，表示单位时间单位体积物体发，表示单位时间单位体积物体发出的热量，单位为出的热量，单位为出的热量，单位为出的热量，单位为W/mW/m。在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体导入与导导入与导出净热量出净热量 根据根据根据根据能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡的关，单位时间内微元体热平衡的关，单位时间内微元体热平衡的关，单位时间内微元体热平衡的关系式：系式：系式：系式：微元体产微元体产生的热量生的热量微元体的微元体的内能变化量内能变化量123xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz单单位位时时间间内内、沿沿x 轴轴方方向向、经经x 表表面面导导入入的热量：的热量：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内、沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴方方方方向向向向、经经经经 x+dxx+dx 表表表表面面面面导出的热量：导出的热量：导出的热量：导出的热量：单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量 1 导入与导出微元体的净热量导入与导出微元体的净热量净热量：净热量：单位单位 时间内、沿时间内、沿x 轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量单位单位 时间内、沿时间内、沿 y 轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量单位单位 时间内、沿时间内、沿 z 轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量2 单位时间微元体内热源的发热量单位时间微元体内热源的发热量由傅里叶定律：由傅里叶定律：由傅里叶定律：由傅里叶定律：净热量：净热量：3 单位时间微元体热力学能的增量单位时间微元体热力学能的增量净热量内热源发热量净热量内热源发热量=内能增量内能增量导热微分方程式导热微分方程式导热过程的能量方程导热过程的能量方程热扩散率热扩散率物性参数物性参数物性参数物性参数 、c c c c和和和和 均均均均 为常数为常数为常数为常数 物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，无内热源无内热源无内热源无内热源,稳态稳态稳态稳态二、导热微分方程式的简化二、导热微分方程式的简化拉普拉斯方程拉普拉斯方程物性参数物性参数物性参数物性参数 、c c c c和和和和 均均均均 为常数为常数为常数为常数,无内热源无内热源无内热源无内热源 物性参数为常数，无内热源物性参数为常数，无内热源物性参数为常数，无内热源物性参数为常数，无内热源,一维稳态：一维稳态：一维稳态：一维稳态：三、其他坐标下的导热微分方程三、其他坐标下的导热微分方程 对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 若为无内热源，一维稳态径向导热方程可简写为：若为无内热源，一维稳态径向导热方程可简写为：或或四、导热过程的单值性条件四、导热过程的单值性条件 导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：导热微分方程式的理论基础：完整数学描述：完整数学描述：完整数学描述：完整数学描述：导热微分方程导热微分方程导热微分方程导热微分方程 +单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律+能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。体、特定的导热过程。体、特定的导热过程。体、特定的导热过程。通用表达式通用表达式通用表达式通用表达式。适用于。适用于。适用于。适用于无穷多个无穷多个无穷多个无穷多个导热过导热过导热过导热过程程程程,也就是说有也就是说有也就是说有也就是说有无穷多个解无穷多个解无穷多个解无穷多个解。对对对对特特特特定定定定的的的的导导导导热热热热过过过过程程程程：为为为为完完完完整整整整的的的的描描描描写写写写某某某某个个个个具具具具体体体体的的的的导导导导热热热热过过过过程程程程，必必必必须须须须说说说说明明明明导导导导热热热热过过过过程程程程的的的的具具具具体体体体特特特特点点点点,即即即即给给给给出出出出导导导导热热热热微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的单单单单值值值值性条件性条件性条件性条件（或称（或称（或称（或称定解条件定解条件定解条件定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。），使导热微分方程式具有唯一解。单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何条件几何条件几何条件几何条件物理条件物理条件物理条件物理条件初始条件初始条件初始条件初始条件边界条件边界条件边界条件边界条件u单值性条件单值性条件 几何条件几何条件几何条件几何条件如：物性参数如：物性参数如：物性参数如：物性参数 、c c 和和和和 的数值，是否随的数值，是否随的数值，是否随的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；温度变化；有无内热源、大小和分布；温度变化；有无内热源、大小和分布；温度变化；有无内热源、大小和分布；又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初始状态又称时间条件，反映导热系统的初始状态说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征 物理条件物理条件物理条件物理条件 初始条件初始条件初始条件初始条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件与时间无关与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相互作用的条件互作用的条件互作用的条件互作用的条件 边界条件边界条件边界条件边界条件 第一类边界条件第一类边界条件s 边界面边界面;tw=f(x,y,z,)边界面上的温度边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上温度温度值值：稳态导热：稳态导热：tw=const非稳态导热：非稳态导热：tw=f(x,y,z,)o o x xt tw1w1t tw2w2例：例：第二类边界条件第二类边界条件根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：已知物体边界上已知物体边界上热流密度热流密度的分布及变化规律的分布及变化规律：第第二二类类边边界界条条件件相相当当于于已已知知任任何何时时刻刻物物体体边边界界面面法法向向的的温温度度梯度梯度值值稳态导热：稳态导热：qw w非稳态导热：非稳态导热：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：第三类边界条件第三类边界条件傅里叶定律：傅里叶定律：当当物物体体壁壁面面与与流流体体相相接接触触进进行行对对流流换换热热时时，已已知知任任一一时时刻刻边边界界面面周周围围流流体体的的温温度度 以以及及边边界界与与流体之间的流体之间的对流换热系数对流换热系数牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：t tf f,qw w 综综上上所所述述,对对一一个个具具体体导导热热过过程程完完整整的的数数学学描描述述（即即导导热热数数学模型）应该包括学模型）应该包括(1)(1)导热微分方程式导热微分方程式;(2)(2)单值性条件单值性条件。对对数数学学模模型型进进行行求求解解,就就可可以以得得到到物物体体的的温温度度场场,进进而而根根据傅里叶定律就可以确定相应的据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布热流分布。建建立立合合理理的的数数学学模模型型,是是求求解解导导热热问问题题的的第第一一步步,也也是是最最重要的一步。重要的一步。目目前前应应用用最最广广泛泛的的求求解解导导热热问问题题的的方方法法:(1)(1)分分析析解解法法;(2);(2)数数值值解解法法;(3);(3)实实验验方方法法。这这也也是是求求解解所所有有传传热热学学问问题题的的三三种种基基本方法。本方法。导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温度场 a a反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导热能力反映了导热过程中材料的导热能力 与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力 c c之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系.a a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为越大，故称为越大，故称为越大，故称为热扩散率热扩散率热扩散率热扩散率u热扩散率热扩散率a 分子分子分子分子 是物体的导热系数。是物体的导热系数。是物体的导热系数。是物体的导热系数。分母分母分母分母 c c是单位体积的物体温度升高是单位体积的物体温度升高是单位体积的物体温度升高是单位体积的物体温度升高1 1所需的热量。所需的热量。所需的热量。所需的热量。越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量 c c越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升1 1所吸收的热量越少，可以剩下更多的所吸收的热量越少，可以剩下更多的所吸收的热量越少，可以剩下更多的所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。是是 与与1/(c)两两个因子的结合个因子的结合 a a越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，越大，材料中温度变化越迅速，a a也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能也是材料传播温度变化能力大小的指标，故有力大小的指标，故有力大小的指标，故有力大小的指标，故有导温系数导温系数导温系数导温系数之称。之称。之称。之称。2-3 2-3 通过平壁和圆筒壁的稳态导热通过平壁和圆筒壁的稳态导热 假设假设 一维导热微分方程一维导热微分方程 几何条件：单层（或多层）；厚度几何条件：单层（或多层）；厚度 物理条件：物理条件：、c、已知；已知；无内热源无内热源 边界条件：边界条件：时间条件：时间条件：1 1、长度和宽度远大于厚度、长度和宽度远大于厚度、长度和宽度远大于厚度、长度和宽度远大于厚度 简化为一维导热问题简化为一维导热问题简化为一维导热问题简化为一维导热问题2 2、两表面保持均一温度、两表面保持均一温度、两表面保持均一温度、两表面保持均一温度 单值性条件单值性条件第一类：已知第一类：已知 tw稳态稳态稳态稳态o o x xt tw1w1t tw2w2一、大平壁的一维稳态导热一、大平壁的一维稳态导热1 1、单层平壁的稳态导热（单层平壁的稳态导热（单层平壁的稳态导热（单层平壁的稳态导热（为常数为常数为常数为常数）导热微分方程：导热微分方程：导热微分方程：导热微分方程：求得平壁内温度分布：求得平壁内温度分布：求得平壁内温度分布：求得平壁内温度分布：边界条件边界条件边界条件边界条件线性分布线性分布对对对对导导导导热热热热微微微微分分分分方方方方程式积分两次程式积分两次程式积分两次程式积分两次单层平壁内部温度分单层平壁内部温度分单层平壁内部温度分单层平壁内部温度分布是一条直线布是一条直线布是一条直线布是一条直线o o x xt tw1w1t tw2w2根根根根据据据据边边边边界界界界条条条条件件件件求得积分常数：求得积分常数：求得积分常数：求得积分常数：导过平壁的热流量导过平壁的热流量导过平壁的热流量导过平壁的热流量 热流密度热流密度热流密度热流密度导热面积为导热面积为导热面积为导热面积为A A的导热热阻的导热热阻的导热热阻的导热热阻单位面积上的导热热阻单位面积上的导热热阻单位面积上的导热热阻单位面积上的导热热阻温度梯度：温度梯度：温度梯度：温度梯度：温度分布曲线的斜率温度分布曲线的斜率温度分布曲线的斜率温度分布曲线的斜率特殊情况：特殊情况：壁壁面面一一侧侧温温度度各各部部份份有有差差别别的的情情况况：当当多多个个分分区区温温度度相相差差不不大大时时，取取表表面面温温度度为为一一个个加加权权平平均均温温度度，视视为为近近似似的的一一维维。如如果果分分区区温温度度相相差差较较大大，属属二二维维导导热热，不不能能用用一一维维导导热热公公式。式。两种不同材料物质组合的单层平壁：两种不同材料物质组合的单层平壁：设设 ,材材料料热热阻阻相相差差大大，两两材材料料间间有有热热量量传传递递，属属于于二二维维问问题题。若若导导热热系系数数相相差差不不大大，忽忽略略此此热热量量，视视为为一一维维，其其热热阻阻被被视视为为两两个个分分热阻的并联。热阻的并联。非常物性，导热系数随温度发生变化非常物性，导热系数随温度发生变化边界条件边界条件边界条件边界条件(0 0、b b为常数为常数为常数为常数)物理条件物理条件物理条件物理条件 求得平壁内温度分布求得平壁内温度分布求得平壁内温度分布求得平壁内温度分布二次曲线方程二次曲线方程二次曲线方程二次曲线方程微分方程微分方程微分方程微分方程 热流密度热流密度热流密度热流密度 常数常数常数常数b b的讨论的讨论的讨论的讨论式中：式中：式中：式中：为平壁的算术平均温度；为平壁的算术平均温度；为平壁的算术平均温度；为平壁的算术平均温度；为平壁算术平均温度下的导热系数。为平壁算术平均温度下的导热系数。为平壁算术平均温度下的导热系数。为平壁算术平均温度下的导热系数。对照对照对照对照2 2 2 2、多层平壁的稳态导热、多层平壁的稳态导热、多层平壁的稳态导热、多层平壁的稳态导热 多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成例例例例：房房房房屋屋屋屋的的的的墙墙墙墙壁壁壁壁 白白白白灰灰灰灰内内内内层层层层、水水水水泥泥泥泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假假假假设设设设各各各各层层层层之之之之间间间间接接接接触触触触良良良良好好好好，可可可可以以以以近近近近似似似似地地地地认为认为认为认为接合面上各处的温度相等接合面上各处的温度相等接合面上各处的温度相等接合面上各处的温度相等u 条件：条件：无内热源，无内热源，为常数，第一类边界为常数，第一类边界对平壁1：对平壁2：对平壁3：稳态无内热源：温度分布是由三段直线组成温度分布是由三段直线组成斜率斜率:大大，斜率小，斜率小，平缓；，平缓；小，斜率大小，斜率大，陡陡二、通过圆筒壁的一维稳态导热和传热二、通过圆筒壁的一维稳态导热和传热 假设假设假设假设圆筒轴向长度远大于径向厚度（简化为一维径向导热）圆筒轴向长度远大于径向厚度（简化为一维径向导热）圆筒轴向长度远大于径向厚度（简化为一维径向导热）圆筒轴向长度远大于径向厚度（简化为一维径向导热）管壁内外表面保持均匀的温度（第一类边界条件）管壁内外表面保持均匀的温度（第一类边界条件）管壁内外表面保持均匀的温度（第一类边界条件）管壁内外表面保持均匀的温度（第一类边界条件）几何条件：单层圆筒壁几何条件：单层圆筒壁 物理条件：物理条件：、c、已知已知且为常数且为常数；无内热源无内热源 边界条件：边界条件：时间条件：时间条件：单值性条件单值性条件第一类：已知第一类：已知 tw1 1 单层圆筒壁的稳态导热单层圆筒壁的稳态导热 微分方程：微分方程：微分方程：微分方程：或或或或tw1r1tw2rr2对微分方程积分两次：对微分方程积分两次：对微分方程积分两次：对微分方程积分两次：第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件获得两个系数获得两个系数将系数带入第二次积分结果，将系数带入第二次积分结果，获得单层圆筒壁的温度分布获得单层圆筒壁的温度分布显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布tw1r1tw2rr2圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布曲线的形状？圆筒壁内温度分布曲线的形状？圆筒壁内温度分布曲线的形状？圆筒壁内温度分布曲线的形状？tw1r1tw2rr2 温度梯度温度梯度温度梯度温度梯度 单位长度圆筒壁的热流量单位长度圆筒壁的热流量单位长度圆筒壁的热流量单位长度圆筒壁的热流量不同半径处温度梯度不同不同半径处温度梯度不同单位长度圆筒壁的导热热阻单位长度圆筒壁的导热热阻单位长度圆筒壁的导热热阻单位长度圆筒壁的导热热阻圆筒壁的热流量：圆筒壁的热流量：圆筒壁的热流量：圆筒壁的热流量：热流密度：热流密度：热流密度：热流密度：虽然是稳态情况，但热虽然是稳态情况，但热流密度与半径成反比流密度与半径成反比热流量处处相等，热流量处处相等，与半径无关与半径无关2 2 多层圆筒壁的稳态导热多层圆筒壁的稳态导热 由不同材料构成的多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁三层圆筒壁推导分析与多层平壁类似，三层圆筒壁推导分析与多层平壁类似，总热阻由三个分热阻串联而成。总热阻由三个分热阻串联而成。温度分布为温度分布为三条对数曲线三条对数曲线首尾连接而成。首尾连接而成。通式：通式：三、接触热阻的概念三、接触热阻的概念 前前所所述述及及的的多多层层平平壁壁或或圆圆筒筒壁壁中中，假假设设条条件件一一般为：般为：*相邻两层在接合处的温度相等相邻两层在接合处的温度相等 *通过该处的热流密度也相等通过该处的热流密度也相等 第四类边界条件第四类边界条件 *实实际际固固体体表表面面不不是是理理想想平平整整的的，所所以以两两固固体体表表面面直直接接接接触触的的界界面面容容易易出出现现点点接接触触，或或者者只只是是部部分分的的而而不不是是完完全全的的和和平平整整的的面面接接触触 给给导导热热带带来来额额外外的的热热阻阻 接触热阻接触热阻 *当当界界面面上上的的空空隙隙中中充充满满导导热热系系数数远远小小于于固固体体的的气气体体时时，接接触触热热阻的影响更突出阻的影响更突出 *当当两两固固体体壁壁具具有有温温差差时时，接接合合处处的的热热传传递递机机理理为为接接触触点点间间的的固固体体导导热热和和间间隙隙中中的的空空气气导导热热，对流和辐射的影响一般不大对流和辐射的影响一般不大影影响响接接触触热热阻阻的的因因素素：主主要要有有结结合合面面的的粗粗糙糙度度，接接合合压压力力，间间隙隙中中介介质质种种类类；其其次次还还有有材料的导热系数、硬度、温度等。材料的导热系数、硬度、温度等。减减小小接接触触热热阻阻的的方方法法：增增大大接接合合压压力力；减减小小粗粗糙糙度度；在在接接合合面面上上涂涂导导热热性性能能比比较较好好的的液液体体（如如硅硅油油、导导热热姆姆热热油油）或或加加上上硬硬度度低低、延展性好、导热能力强的金属箔片。延展性好、导热能力强的金属箔片。稳态导热公式总结稳态导热公式总结串联热路：串联热路：常见计算问题常见计算问题已知：各分热阻、左右两侧的温度已知：各分热阻、左右两侧的温度求：求：Q、q、ql和交界面的温度和交界面的温度解法：解法：Q=tRt q=QA ql=QL 求出求出Q、q、ql 再由再由Q=tRt求出交界面的温度求出交界面的温度例例1：某某热热输输管管道道内内直直径径为为400mm，外外直直径径为为450mm，材材料料导导热热系系数数为为40W/（m ）,在在管管外外包包有有一一层层厚厚为为50mm的的保保温温材材料料，其其导导热热系系数数为为0.1W/(m )，若若管管内内表表面面温温度度为为500，保温材料外表面温度为，保温材料外表面温度为250 ，试求：，试求：1）单位管长的散热量；）单位管长的散热量；2）保温层内表面的温度，并画出壁内温度示意图。）保温层内表面的温度，并画出壁内温度示意图。解解解解:(1):(1):(1):(1)(2)(2)(2)(2)一条对数曲线，内壁面高，外壁面低，下凹一条对数曲线，内壁面高，外壁面低，下凹例例2：一一块块无无限限大大平平壁壁，厚厚为为，左左侧侧绝绝热热，右右侧侧与与某某种种流流体体进进行行对对流流换换热热，对对流流换换热热系系数数为为，流流体体温温度度为为tf。平平壁壁本本身身具具有有均均匀匀的的内内热热源源Qv，求求平平壁壁中中的的温温度分布度分布t1及及t2（传热是稳定的）。（传热是稳定的）。解：列出该导热过程的微分方程为：解：列出该导热过程的微分方程为：边界条件为：边界条件为：积分一次：积分一次：积分两次：积分两次：代入边界条件：代入边界条件：讨论讨论：（：（1）最高温度最高温度 为左侧壁温为左侧壁温（2）温度分布曲线：上凸的抛物线）温度分布曲线：上凸的抛物线u 1.2 1.2 1.2 1.2 无内热源，无内热源，无内热源，无内热源，不为常数的求解不为常数的求解不为常数的求解不为常数的求解积分一次：积分一次：积分一次：积分一次：再积分一次：再积分一次：再积分一次：再积分一次：代入边界条件：代入边界条件：代入边界条件：代入边界条件：温度分布温度分布求出两个常数求出两个常数2-4 肋肋(fin)的稳态导热的稳态导热工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托车的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表面，车的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表面，乃至人体的四肢及耳鼻等。乃至人体的四肢及耳鼻等。在一些储运设备中，经常在传热表在一些储运设备中，经常在传热表面增设一些肋片来扩展传热面积，强化传热。面增设一些肋片来扩展传热面积，强化传热。科学家有争论说：科学家有争论说：恐龙是温血的动恐龙是温血的动物，其身上的肋物，其身上的肋片加强了过多运片加强了过多运动带来的热量散动带来的热量散失。失。图示出了几种典型形状的肋图示出了几种典型形状的肋图示出了几种典型形状的肋图示出了几种典型形状的肋(或称伸展体、或称伸展体、或称伸展体、或称伸展体、延伸体延伸体延伸体延伸体)。直肋；环肋。等截面肋；变截面肋。直肋；环肋。等截面肋；变截面肋。直肋；环肋。等截面肋；变截面肋。直肋；环肋。等截面肋；变截面肋。一、等截面直肋的稳态导热分析一、等截面直肋的稳态导热分析1 1 1 1、基本假设、基本假设、基本假设、基本假设1 1 1 1）肋片材料热导率肋片材料热导率肋片材料热导率肋片材料热导率 为常数为常数为常数为常数；2 2 2 2）肋片根部与肋基接触良好，温度一致肋片根部与肋基接触良好，温度一致肋片根部与肋基接触良好，温度一致肋片根部与肋基接触良好，温度一致；3 3 3 3）肋肋肋肋片片片片厚厚厚厚度度度度方方方方向向向向的的的的导导导导热热热热热热热热阻阻阻阻/与与与与表表表表面面面面的的的的对对对对流流流流换换换换热热热热热热热热阻阻阻阻1/1/相相相相比比比比很很很很小小小小，可可可可以以以以忽忽忽忽略略略略,肋肋肋肋片片片片温温温温度度度度只只只只沿沿沿沿高高高高度度度度方方方方向向向向发生变化发生变化发生变化发生变化,肋片导热可以近似地认为是一维的；肋片导热可以近似地认为是一维的；肋片导热可以近似地认为是一维的；肋片导热可以近似地认为是一维的；4 4 4 4）肋片表面各处对流换热的表面传热系数肋片表面各处对流换热的表面传热系数肋片表面各处对流换热的表面传热系数肋片表面各处对流换热的表面传热系数 都相同；都相同；都相同；都相同；与高度方向垂直的横与高度方向垂直的横截面积为截面积为A，横截面，横截面的周长为的周长为U=2（b+）2 2 2 2、分析思路、分析思路、分析思路、分析思路（2 2）将肋片导热看作是具有负的内热源的一）将肋片导热看作是具有负的内热源的一）将肋片导热看作是具有负的内热源的一）将肋片导热看作是具有负的内热源的一维稳态导热。维稳态导热。维稳态导热。维稳态导热。数学模型：数学模型：数学模型：数学模型：肋基处的温度为肋基处的温度为t，环境温度为，环境温度为tf，且，且均为定值。肋片的上、下表面和肋端与流均为定值。肋片的上、下表面和肋端与流体对流换热的换热系数一般不同，体对流换热的换热系数一般不同，设分别设分别为为及及L，且均为定值。肋片的导热系数，且均为定值。肋片的导热系数亦为定值。亦为定值。（1 1）热平衡方程）热平衡方程）热平衡方程）热平衡方程 内热源强度的确定内热源强度的确定内热源强度的确定内热源强度的确定：对于图中所示的微元段，对于图中所示的微元段，对于图中所示的微元段，对于图中所示的微元段，代入导热微分方程式，得代入导热微分方程式，得代入导热微分方程式，得代入导热微分方程式，得 令令令令 ，称为称为称为称为过余温度。过余温度。过余温度。过余温度。数学模型可改为：数学模型可改为：数学模型可改为：数学模型可改为：是二阶线性齐次常微分方程，其通解为：是二阶线性齐次常微分方程，其通解为：是二阶线性齐次常微分方程，其通解为：是二阶线性齐次常微分方程，其通解为：积分常数由边积分常数由边积分常数由边积分常数由边界条件确定：界条件确定：界条件确定：界条件确定：最终解得其特解为：最终解得其特解为：最终解得其特解为：最终解得其特解为：双曲线函数：双曲线函数：双曲线函数：双曲线函数：(hyperbolicfunction)(hyperbolicfunction)双曲线函数也可以由双曲线函数也可以由303页附录页附录中查取。中查取。在上式中，令在上式中，令在上式中，令在上式中，令x=Lx=L可确定肋端的过余温度：可确定肋端的过余温度：可确定肋端的过余温度：可确定肋端的过余温度：由傅里叶定律可求得肋片的换热量：由傅里叶定律可求得肋片的换热量：由傅里叶定律可求得肋片的换热量：由傅里叶定律可求得肋片的换热量：肋肋肋肋较较较较长长长长时时时时，可可可可认认认认为为为为肋肋肋肋端端端端温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度已已已已趋趋趋趋于于于于零零零零。在在在在前前前前述述述述公式中若取公式中若取公式中若取公式中若取:设设设设想想想想将将将将肋肋肋肋加加加加长长长长一一一一段段段段LL，即即即即将将将将肋肋肋肋端端端端的的的的散散散散热热热热部部部部分分分分摊摊摊摊到到到到LL这这这这一一一一段段段段上上上上。只只只只要要要要原原原原端端端端面面面面上上上上的的的的散散散散热热热热量量量量A(tA(tt tf f）等等等等于于于于延延延延长长长长段段段段LL周周周周边边边边上上上上的的的的散散散散热热热热量量量量ULUL(t(tt tf f），这这这这种种种种假假假假设设设设就就就就是是是是允允允允许许许许的的的的。使使使使上上上上述述述述两两两两部部部部分热量相等，可求得分热量相等，可求得分热量相等，可求得分热量相等，可求得LL为为为为LL A/UA/U对于矩形截面直肋，上式为对于矩形截面直肋，上式为对于矩形截面直肋，上式为对于矩形截面直肋，上式为 LL b/2(bb/2(b)/)/对于厚对于厚对于厚对于厚 的等截面直肋，把肋高的等截面直肋，把肋高的等截面直肋，把肋高的等截面直肋，把肋高L L修正为修正为修正为修正为L Lc c/，就可用简化公式计算就可用简化公式计算就可用简化公式计算就可用简化公式计算QQ。对对对对直直直直径径径径为为为为D D的的的的等等等等截截截截面面面面肋肋肋肋柱柱柱柱，可可可可求求求求出出出出LLD/4D/4，取，取，取，取L Lc cL LD/4D/4。实实实实践践践践证证证证明明明明，只只只只要要要要 ，这这这这样样样样计计计计算算算算的的的的误误误误差差差差小小小小于于于于1%1%。对对对对金金金金属属属属材材材材料料料料来来来来说说说说，这这这这个个个个条条条条件件件件完全能得到满足。完全能得到满足。完全能得到满足。完全能得到满足。三、敷设肋片对强化传热的判据三、敷设肋片对强化传热的判据三、敷设肋片对强化传热的判据三、敷设肋片对强化传热的判据 合合合合适适适适的的的的肋肋肋肋片片片片的的的的几几几几何何何何形形形形状状状状和和和和尺尺尺尺寸寸寸寸大大大大小小小小的的的的选选选选定定定定，要要要要考考考考虑虑虑虑到到到到传传传传热热热热效效效效果果果果好好好好，材材材材料料料料费费费费用用用用和和和和制制制制造造造造成成成成本本本本低低低低、重重重重量量量量轻轻轻轻、占占占占用用用用空空空空间间间间小小小小以以以以及及及及流流流流体体体体在在在在肋肋肋肋间间间间通通通通过过过过时时时时流流流流动动动动阻阻阻阻力力力力小小小小等等等等一一一一系列具体性能。系列具体性能。系列具体性能。系列具体性能。对对对对于于于于等等等等截截截截面面面面(A(Ab)b)直直直直肋肋肋肋，如如如如设设设设 ，则则则则其与周围流体间的换热量可得：其与周围流体间的换热量可得：其与周围流体间的换热量可得：其与周围流体间的换热量可得：如如如如不不不不敷敷敷敷设设设设肋肋肋肋片片片片，则则则则基基基基部部部部壁壁壁壁面面面面A A直直直直接接接接与与与与流流流流体接触时的换热量体接触时的换热量体接触时的换热量体接触时的换热量QQ nfnf为：为：为：为：与前式相除：与前式相除：与前式相除：与前式相除：上上上上式式式式等等等等号号号号右右右右侧侧侧侧的的的的值值值值可可可可以以以以有有有有三三三三种种种种情情情情况况况况，即即即即大大大大于于于于、等等等等于于于于、小小小小于于于于1 1。从从从从敷敷敷敷设设设设肋肋肋肋片片片片而而而而影影影影响响响响换换换换热热热热的的的的角角角角度度度度来来来来说说说说，这这这这三三三三种种种种情情情情况况况况依依依依次次次次表表表表示示示示壁壁壁壁面面面面敷敷敷敷设设设设肋肋肋肋片片片片后后后后：(1)(1)增增增增强强强强换换换换热热热热；(2)(2)既既既既不不不不增增增增强强强强也也也也不不不不减减减减弱弱弱弱；(3)(3)减减减减弱弱弱弱换换换换热热热热。因因因因为为为为bb，所以所以所以所以把它代入：把它代入：把它代入：把它代入：敷设肋片后能增大换热量，亦即起有利作用的判据为敷设肋片后能增大换热量，亦即起有利作用的判据为敷设肋片后能增大换热量，亦即起有利作用的判据为敷设肋片后能增大换热量，亦即起有利作用的判据为 式式式式中中中中：为为为为肋肋肋肋片片片片中中中中垂垂垂垂直直直直于于于于x x x x向向向向的的的的内内内内部部部部导导导导热热热热热热热热阻阻阻阻；1 1 1 1为为为为外外外外部部部部对对对对流流流流换换换换热热热热热热热热阻阻阻阻。因因因因此此此此，这这这这一一一一比比比比值值值值反反反反映映映映了了了了两两两两种种种种热阻的比值。热阻的比值。热阻的比值。热阻的比值。毕渥准则毕渥准则毕渥准则毕渥准则(简称简称简称简称BiBiBiBi数数数数):):):):但但但但由由由由于于于于推推推推导导导导此此此此判判判判据据据据时时时时曾曾曾曾设设设设肋肋肋肋片片片片周周周周围围围围的的的的 为为为为定定定定值值值值，并并并并把把把把肋肋肋肋片片片片内内内内部部部部的的的的温温温温度度度度场场场场作作作作一一一一维维维维问问问问题题题题的的的的处处处处理理理理等等等等，故故故故通常认为对于等截面直助和三角形直肋，只有当通常认为对于等截面直助和三角形直肋，只有当通常认为对于等截面直助和三角形直肋，只有当通常认为对于等截面直助和三角形直肋，只有当 时时时时才才才才能能能能增增增增强强强强换换换换热热热热。注注注注意意意意，在在在在三三三三角角角角形形形形直直直直肋肋肋肋中中中中 应应应应取取取取平平平平均厚度，亦即肋基厚度的一半。均厚度，亦即肋基厚度的一半。均厚度，亦即肋基厚度的一半。均厚度，亦即肋基厚度的一半。四、肋片效率及肋壁效率四、肋片效率及肋壁效率四、肋片效率及肋壁效率四、肋片效率及肋壁效率 衡衡衡衡量量量量肋肋肋肋片片片片实实实实际际际际散散散散热热热热能能能能力力力力的的的的指指指指标标标标称称称称为为为为肋肋肋肋片片片片效效效效率率率率 f f。它它它它定定定定义义义义为为为为肋肋肋肋片片片片在在在在实实实实际际际际情情情情况况况况下下下下的的的的散散散散热热热热量量量量QQ与理想情况下的散热量与理想情况下的散热量与理想情况下的散热量与理想情况下的散热量QQ之比，即之比，即之比，即之比，即:f f Q/QQ/Q 0 0 理理理理想想想想散散散散热热热热量量量量:是是是是指指指指沿沿沿沿肋肋肋肋片片片片高高高高度度度度肋肋肋肋片片片片温温温温度度度度不不不不降降降降低低低低，仍仍仍仍保保保保持持持持为为为为肋肋肋肋基基基基温温温温度度度度时时时时的的的的散散散散热热热热量量量量，而而而而实实实实际际际际散散散散热热热热量量量量则则则则是是是是肋肋肋肋片片片片实实实实际际际际散散散散失失失失的的的的热热热热量量量量。以以以以等等等等截截截截面面面面矩形直肋为例，理想散热量为矩形直肋为例，理想散热量为矩形直肋为例，理想散热量为矩形直肋为例，理想散热量为QQ2Lb2Lb实际散热量为实际散热量为实际散热量为实际散热量为QQ mmth(mLth(mL)W)W式中，式中，式中，式中，A Abb、mm2 2(/)/)上式中的上式中的上式中的上式中的mLmL也可表示为也可表示为也可表示为也可表示为将将将将 与与与与 的的的的关关关关系系系系绘绘绘绘制制制制成成成成曲曲曲曲线线线线则则则则为为为为肋肋肋肋片片片片效率曲线：效率曲线：效率曲线：效率曲线：在在在在肋肋肋肋片片片片散散散散热热热热的的的的计计计计算算算算中中中中，如如如如肋肋肋肋片片片片效效效效率率率率 f f已已已已由由由由图图图图中中中中曲曲曲曲线线线线查查查查得得得得，则则则则在在在在算算算算出出出出理理理理想想想想情情情情况况况况下下下下的的的的散散散散热热热热量量量量QQ后后后后，即即即即可可可可按按按按 f f的定义式求出肋片的实际散热量的定义式求出肋片的实际散热量的定义式求出肋片的实际散热量的定义式求出肋片的实际散热量QQ。肋肋肋肋壁壁壁壁效效效效率率率率 t t：整整整整个个个个肋肋肋肋壁壁壁壁在在在在理理理理想想想想情情情情况况况况下下下下的的的的散散散散热热热热量量量量与与与与实实实实际际际际散散散散热热热热量量量量的的的的比比比比值值值值。若若若若以以以以A At t表表表表示示示示各各各各肋肋肋肋间间间间面面面面积积积积及及及及各各各各肋肋肋肋片片片片散散散散热热热热面面面面积积积积之之之之和和和和，以以以以A Af f表表表表示示示示各各各各肋肋肋肋片片片片散散散散热热热热面面面面积积积积之之之之和和和和，则则则则肋间面积等于肋间面积等于肋间面积等于肋间面积等于(A(At tA Af f)。于是：于是：于是：于是：值值值值得得得得指指指指出出出出的的的的是是是是，本本本本节节节节所所所所讨讨讨讨论论论论的的的的肋肋肋肋的的的的计计计计算算算算方方方方法法法法有有有有一一一一定定定定的的的的近近近近似似似似性性性性。例例例例如如如如：对对对对流流流流换换换换热热热热并并并并不不不不为为为为常常常常值值值值，敷敷敷敷设设设设肋肋肋肋片片片片部部部部分分分分和和和和末末末末敷敷敷敷设设设设肋肋肋肋片片片片部部部部分分分分的的的的肋肋肋肋基基基基温温温温度度度度也也也也不不不不一一一一定定定定相相相相同同同同等等等等。关关关关于这方面的问题可参看有关专著。于这方面的问题可参看有关专著。于这方面的问题可参看有关专著。于这方面的问题可参看有关专著。2-4 二维、三维稳态导热二维、三维稳态导热 求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。条件下的积分求解，从而获得分析解。分分析析解解法法的的优优点点：求求解解过过程程中中的的数数学学分分析析较较严严谨谨；求求解解结结果果以以函函数数形形式式表表示示，能能清清楚楚地地显显示示各各种种因因素素对对温温度度分分布的影响布的影响但但是是，工工程程技技术术中中遇遇到到的的许许多多导导热热问问题题具具有有复复杂杂的的形形状状或边界条件，无法得出其分析解或边界条件，无法得出其分析解数数值值计计算算方方法法 有有效效解解决决复复杂杂问问题题的的方方法法；是是具具有有一一定定精度的近似方法精度的近似方法 随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：值解法主要有以下几种：（1 1）有限差分法）有限差分法 （2 2）有限元方法）有限元方法 （3 3）边界元方法）边界元方法 一、导热问题数值求解的基本思想一、导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否例：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题例：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题xynm(m,n)MN基本概念：网格线、节点、步长、控制容积（元体）基本概念：网格线、节点、步长、控制容积（元体）二维矩二维矩形域内形域内稳态无稳态无内热源，内热源，常物性常物性的导热的导热问题问题常物性的导热问题采用数值解法的常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：步骤如下：（1 1）建立控制方
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