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2191 静电场中的导体静电场中的导体(Conductor in Electrostatic Field)一、导体的静电平衡条件一、导体的静电平衡条件 静电感应静电感应 静电平衡态静电平衡态在微弱外电场作用下在微弱外电场作用下,物质中能自由物质中能自由运动的正、负电荷称为运动的正、负电荷称为“自由电荷自由电荷”.受外电场的作用受外电场的作用,导体内的自由电荷导体内的自由电荷(电子电子)将在极短时间内作宏观定向运动将在极短时间内作宏观定向运动使使导体表面的不同部位分别出现等值异导体表面的不同部位分别出现等值异 号电荷号电荷,称此过程为称此过程为“静电感应静电感应”,称这些电荷为称这些电荷为“感应电荷感应电荷”.与外电场强度与外电场强度 在静电感应过程中在静电感应过程中,感应电荷激发的电场强度感应电荷激发的电场强度同时存在同时存在,而且还随静电感应过程的进行逐渐加强而且还随静电感应过程的进行逐渐加强.当当 时时,导体的静电感应过程就会停止而达到稳定的带电状态导体的静电感应过程就会停止而达到稳定的带电状态.特称此特称此 状态为为导体的状态为为导体的“静电平衡态静电平衡态”.2191 静电场中的导体静电场中的导体(Conductor in 3 静电平衡条件静电平衡条件 达到静电平衡态时导体必须具备的条件被达到静电平衡态时导体必须具备的条件被 称为称为“静电平衡条件静电平衡条件”,它有两种表述方式它有两种表述方式.用电场强度表述用电场强度表述 导体内部任一点的电场强度为零导体内部任一点的电场强度为零+E=0若不为零若不为零,导体内的自由电荷仍可运动导体内的自由电荷仍可运动.这说明导体还处在静电感应过程中这说明导体还处在静电感应过程中,尚未到达静电平衡态尚未到达静电平衡态.导体表面上任一点的电场强度方向与导体表面垂直导体表面上任一点的电场强度方向与导体表面垂直 若不垂直若不垂直,电场强度必有侧向分量电场强度必有侧向分量,导体内的自由电荷仍可运动导体内的自由电荷仍可运动.这说明导体还处在静电感应过程中这说明导体还处在静电感应过程中,尚未到达静电平衡态尚未到达静电平衡态.归纳上述归纳上述,即即:导体内任一点的电场强度为零且导体表面上任一导体内任一点的电场强度为零且导体表面上任一点的电场强度方向与导体表面垂直时点的电场强度方向与导体表面垂直时,导体将处于静电平衡态导体将处于静电平衡态.3 静电平衡条件静电平衡条件 达到静电平衡态时导体必须具备的条件被达到静电平衡态时导体必须具备的条件被 4 用电势表述用电势表述 导体表面是等势面导体表面是等势面 证证:在导体表面上任取两点在导体表面上任取两点 A、B,用表面上的任一曲线用表面上的任一曲线 l 连接之连接之.+AB l刚分析过刚分析过:l 上处处上处处 即即 VA=VB.导体是等势体导体是等势体 证证 在导体内任取两点在导体内任取两点 C、D,用导体内用导体内的任一曲线的任一曲线 l1 连接之连接之.l1因因故故 即即 VC=VD.把以上证明过程中的点把以上证明过程中的点 C、D 换为表面上的点换为表面上的点 A 和体内的点和体内的点 C,还可证明还可证明 VA=VC.归纳上述归纳上述,得得:导体是等势体导体是等势体(含表面含表面)时时,导体将处于静电平衡态导体将处于静电平衡态.4 用电势表述用电势表述 导体表面是等势面导体表面是等势面 证证:在导体表面上在导体表面上5二、带电导体处于静电平衡时的电学性质二、带电导体处于静电平衡时的电学性质 导体上的净电荷导体上的净电荷 Q 只分布在导体的内、外表面上只分布在导体的内、外表面上 实心导体上的实心导体上的 Q 分布在外表面上分布在外表面上 Q证证 在导体内任取高斯面在导体内任取高斯面 S,因导体内因导体内 由高斯定理可得由高斯定理可得 即即:面面 S 内电荷的代数和为零内电荷的代数和为零.注意到面注意到面 S 在导体内的任意性在导体内的任意性,可知可知净电荷净电荷 Q 只分布在导体的外表面上只分布在导体的外表面上.+空腔空腔(空心空心)导体导体Q 腔内无电荷时腔内无电荷时,Q 分布在外表面上分布在外表面上 证证 在导体内在导体内,无限靠近外表面取高斯面无限靠近外表面取高斯面 S,如图如图.S由高斯定理可得由高斯定理可得即即:面面 S 内电荷的代数和为零内电荷的代数和为零.故故 Q 只分布在导体的外表面上只分布在导体的外表面上.+5二、带电导体处于静电平衡时的电学性质二、带电导体处于静电平衡时的电学性质 导体上的净电荷导体上的净电荷 6 空腔内有电荷空腔内有电荷 Q 时时,空腔表面上的电荷为空腔表面上的电荷为 Q,外表面上的电外表面上的电荷为荷为(Q+Q)Q+Q+证证:在导体内在导体内,无限靠近空腔面取高斯面无限靠近空腔面取高斯面 S,如图如图.由高斯定理得由高斯定理得 即即:面面 S 内电荷的代数和为零内电荷的代数和为零.而且而且,当高斯面当高斯面 S 无限靠近导体外表面时无限靠近导体外表面时,上结论仍然成立上结论仍然成立.这表明这表明:因静电感因静电感应将在空腔表面上出现与应将在空腔表面上出现与 Q 等量的异号等量的异号“感应电荷感应电荷 Q”.-Q我们注意到我们注意到:导体上因静电感应而出现的正、负电荷是等量的导体上因静电感应而出现的正、负电荷是等量的,所以所以,与与“感应电荷感应电荷 Q”一起产生的一起产生的“感应电荷感应电荷+Q”将分布在将分布在导体的外表面上导体的外表面上,+亦即导体外表面上的电荷为亦即导体外表面上的电荷为(Q+Q).(+Q)6 空腔内有电荷空腔内有电荷 Q 时时,空腔表面上的电荷为空腔表面上的电荷为 Q,7 导体外导体外,无限靠近表面无限靠近表面(电荷面密度为电荷面密度为 )处的处的+在导体表面外的无限临近表面处任取一点在导体表面外的无限临近表面处任取一点 A.A 点点 A 处的电场强度方向应与导体表面垂直处的电场强度方向应与导体表面垂直.过点过点 A 取面元取面元 dS 平行于导体表面平行于导体表面,并以并以 dS为上底跨过导体表面向内作柱形高斯面为上底跨过导体表面向内作柱形高斯面,如图如图.dS根据根据“1”高斯定理高斯定理 显然显然,当导体表面带正电荷时当导体表面带正电荷时,电场强电场强度的方向垂直表面外指度的方向垂直表面外指,带负电荷时带负电荷时,电电场强度的方向垂直表面指向导体场强度的方向垂直表面指向导体.-7 导体外导体外,无限靠近表面无限靠近表面(电荷面密度为电荷面密度为 )处的处的+8 在导体表面的曲率较在导体表面的曲率较 大大 处处,电荷面密度较电荷面密度较大大 小小 小小 导体表面的电荷分布情况受导体表面的电荷分布情况受导体表面导体表面形状、外电场及形状、外电场及周围介质等多种因素的影响周围介质等多种因素的影响.仅就导体的表面形状而言仅就导体的表面形状而言,在曲率半径较大的导体表面在曲率半径较大的导体表面(表面较平展表面较平展)处处,电荷面密电荷面密 度度 的值较小的值较小;而在而在曲率曲率半径较小的导体表面半径较小的导体表面(表面表面较弯曲较弯曲)处处,电荷面密度电荷面密度 的值较大的值较大.示意图如上示意图如上.+较小较小 较大较大已知已知 故导体尖端附近的电场强度可达很大数值故导体尖端附近的电场强度可达很大数值,有可能使尖端附近的介质电离有可能使尖端附近的介质电离,发生发生“尖端放电现象尖端放电现象”.8 在导体表面的曲率较在导体表面的曲率较 大大 处处,电荷面密度较大电荷面密度较大 小小 小小 9带电导体尖端附近的电场最强带电导体尖端附近的电场最强 尖端放电现象尖端放电现象“电风电风”+避雷针避雷针(利利)焊接焊接(利利)干扰干扰(弊弊)咯咯嚓嚓咯咯嚓嚓咯咯嚓嚓咯咯嚓嚓9带电导体尖端附近的电场最强带电导体尖端附近的电场最强 尖端放电现象尖端放电现象“电风电风”+10 例例 (书书 p.201 例例)金属球壳和金属球同心放置金属球壳和金属球同心放置,它们的半径分别为它们的半径分别为R1=10 cm、R2=7 cm 和和 R3=5 cm.若它们各带电若它们各带电 q=108 C,求金属球壳、球的电荷分布情况求金属球壳、球的电荷分布情况 O解解 可认为金属球壳、球已处于静电平衡态可认为金属球壳、球已处于静电平衡态.根据静电平衡态时带电导体的性质根据静电平衡态时带电导体的性质,且注意到对称性且注意到对称性,知知:金属球壳和金属球金属球壳和金属球 上所带的电荷上所带的电荷+q 都均匀分布在各自的都均匀分布在各自的外表面上外表面上.+使用高斯定理可以证明使用高斯定理可以证明:受金属球上受金属球上电荷电荷+q 的静电感应的静电感应,在金属球壳的内表面在金属球壳的内表面(空腔表面空腔表面)上均匀出现感应电荷上均匀出现感应电荷 q,同时外表面上均匀出现感应同时外表面上均匀出现感应电荷电荷+q.-+所以所以,在金属球壳的外表面上均匀分布着电荷在金属球壳的外表面上均匀分布着电荷+2q,如图如图.q2+=10 例例 (书书 p.201 例例)金属球壳和金属球同心金属球壳和金属球同心11O+-+q2+=求求球心球心 O 的电势的电势 解解 可用电势的叠加原理求之可用电势的叠加原理求之.根据带电球壳的电势公式根据带电球壳的电势公式(V=0),得得:球壳外表面在球壳外表面在 O 的电势为的电势为球壳内表面在球壳内表面在 O 的电势为的电势为 内球面在内球面在 O 的电势为的电势为球心球心 O 的电势等于以上三个电势的代数和的电势等于以上三个电势的代数和:用电势的定义求解用电势的定义求解(见书见书),结果相同结果相同.11O+-+q2+12 同心放置半径为同心放置半径为 r 的导体球与半径为的导体球与半径为 R、带电带电 Q 的导体球壳的导体球壳,再用细导线绝缘地穿过球壳把球接地再用细导线绝缘地穿过球壳把球接地.若不计球壳穿孔和接地导线若不计球壳穿孔和接地导线 对电荷分布的影响对电荷分布的影响,求导体球上被感应出的电荷求导体球上被感应出的电荷 q.OrRQq分析分析 导体球接地后导体球接地后,与地球组成等势体与地球组成等势体.若选地球的电势为零若选地球的电势为零,导体球的电势也为零导体球的电势也为零.而且而且,此电势是由导体球壳上的电荷此电势是由导体球壳上的电荷 Q 与与(导导解解 由分析知由分析知:体球体球+地球地球)上被感应出的电荷上被感应出的电荷 q 共同产生的共同产生的.使用带电球壳使用带电球壳的电势公式的电势公式 解之即得解之即得:作业作业习习p.19-25,58,62,65,102.12 同心放置半径为同心放置半径为 r 的导体球与半径为的导体球与半径为 R、带电、带电 Q 13三、静电屏蔽三、静电屏蔽 用空腔导体屏蔽用空腔导体屏蔽(或隔离或隔离)静电场的措施称为静电场的措施称为“静电屏蔽静电屏蔽”.静电屏蔽有两种效果静电屏蔽有两种效果.屏蔽空腔导体外部的静电场屏蔽空腔导体外部的静电场 空腔导体可使腔内空间不受腔外电场的影响空腔导体可使腔内空间不受腔外电场的影响.空间中的电场空间中的电场 屏蔽空间中的电场屏蔽空间中的电场+Q+13三、静电屏蔽三、静电屏蔽 用空腔导体屏蔽用空腔导体屏蔽(或隔离或隔离)静电场的措施称静电场的措施称 屏蔽空腔导体腔内的静电场屏蔽空腔导体腔内的静电场接地空腔导体可使其外部空间不受腔内电场的影响接地空腔导体可使其外部空间不受腔内电场的影响.空腔导体接地前、后空腔导体接地前、后的电场示意图的电场示意图+Q+可用高斯定理证明空腔导体对其内、外电场所起的屏蔽作用可用高斯定理证明空腔导体对其内、外电场所起的屏蔽作用.14 屏蔽空腔导体腔内的静电场接地空腔导体可使其外部空间不受屏蔽空腔导体腔内的静电场接地空腔导体可使其外部空间不受15 应用实例应用实例 利用静电屏蔽原理可制成用于屏蔽静电场的屏蔽线、利用静电屏蔽原理可制成用于屏蔽静电场的屏蔽线、屏蔽层屏蔽层、屏蔽罩、屏蔽室和屏蔽服、屏蔽罩、屏蔽室和屏蔽服(均压服均压服)等等等等.初初级级次次级级耦合器件耦合器件 初、次级线圈初、次级线圈的接地屏蔽层的接地屏蔽层 抗静电干扰的金属抗静电干扰的金属网状屏蔽室网状屏蔽室 高压带电作业中高压带电作业中的屏蔽服的屏蔽服用金属用金属丝和蚕丝混合丝和蚕丝混合(或或导电纤维导电纤维)制成导制成导电布电布,再制成衣服再制成衣服15 应用实例应用实例 利用静电屏蔽原理可制成用于屏蔽静电场的屏蔽利用静电屏蔽原理可制成用于屏蔽静电场的屏蔽92 电容电容 电容器电容器(Capacitance&Capacitor)一、孤立导体及其电容一、孤立导体及其电容 孤立导体孤立导体 若其它导体及带电体都距被研究的导体无限远若其它导体及带电体都距被研究的导体无限远,则称被研究导体则称被研究导体为为“孤立导体孤立导体”.孤立导体的电容孤立导体的电容 实验指出实验指出:在真空中在真空中,一个孤立导体所带的电荷一个孤立导体所带的电荷 Q 与其电势与其电势 V(V=0)的比值是常量的比值是常量.为了描述孤立导体的这种性质为了描述孤立导体的这种性质,称此常量称此常量为真空中为真空中“孤立导体的电容孤立导体的电容(符号符号:C)”,即即 例如例如,真空中孤立导体球的电容为真空中孤立导体球的电容为16-292 电容电容 电容器电容器(Capacitance&Ca17二、电容器及其电容二、电容器及其电容 电容器电容器“电容器电容器”由相互绝缘、相距有限远由相互绝缘、相距有限远的任意两个导体组成的任意两个导体组成.AB且称这两个导体且称这两个导体 为该电容器的两个为该电容器的两个“电极电极”或或“极板极板”.右图画出了电容器带电后的示意图右图画出了电容器带电后的示意图.习惯用极板间填充的习惯用极板间填充的“电介质电介质”(几几乎乎不导电物质的总称不导电物质的总称)去命名电容器去命名电容器,例如例如:电极间为真空的电容器电极间为真空的电容器,被称为被称为“真空电容器真空电容器”.电容器有各种各样的形状电容器有各种各样的形状,示意如下示意如下:纸质电容器纸质电容器 陶瓷电容器陶瓷电容器 电解电容器电解电容器 可调涤纶电容器可调涤纶电容器 17二、电容器及其电容二、电容器及其电容 电容器电容器“电容器电容器”由相互绝缘、由相互绝缘、18 电容器的电容电容器的电容 定义定义:“电容器的电容电容器的电容 C”等于其正电极所带的电荷等于其正电极所带的电荷 Q 与正、负与正、负电极间电势差电极间电势差 U=|V1V2|的比值的比值,即即显然显然,若两个电容器的若两个电容器的 U 相等相等,则则 三、电容的单位三、电容的单位 在在 SI 制中制中,电容单位是电容单位是“法拉法拉(F)”,1 法拉法拉=1 库库/伏伏.在实际应用中在实际应用中,还经常使用微法还经常使用微法(F)、皮法皮法(pF 或或 F)等单位等单位,它们之间的换算关系为它们之间的换算关系为:1F=106 F=1012 pF.若把地球看作孤立导体若把地球看作孤立导体,其电容为其电容为 CE 7104 F 7102 F.18 电容器的电容电容器的电容 定义定义:“电容器的电容电容器的电容 C”等于其正等于其正19四、例题四、例题 平行板真空电容器平行板真空电容器(参看书参看书 p.213 例例 1)它由两个面积为它由两个面积为 S 的平行平面极板的平行平面极板 A、B 组成组成,板间为真空板间为真空,且且AB故当二极板分故当二极板分 别均匀带电别均匀带电 Q、Q 时时,即可忽略板间电场的即可忽略板间电场的“边沿效应边沿效应”而把板间电场看作是匀强电场而把板间电场看作是匀强电场.+-用高斯定理可求得用高斯定理可求得 高斯面高斯面故故,极板间的电势差为极板间的电势差为把把 U 代入电容器电容的定义式代入电容器电容的定义式,得平行板电容器的电容得平行板电容器的电容 求电容器电容的一般步骤求电容器电容的一般步骤:设设 Q 求求 E 求求 U 用定义求用定义求 C.19四、例题四、例题 平行板真空电容器平行板真空电容器(参看书参看书 p.213 例例20 圆柱形真空电容器的电容圆柱形真空电容器的电容(参看书参看书 p.213 例例 2)知知 RA、RB(RB RA)R).求二导线上单位长度的电容求二导线上单位长度的电容.R解解 选选 x 轴轴,并在并在 x 轴上任取点轴上任取点 P 进行研究进行研究.x dxP设两导线的电荷线密度为设两导线的电荷线密度为 ,由无限长直由无限长直 导线的电场强度公式导线的电场强度公式,点点 P 处的电场强度应处的电场强度应为为两导线之间的电势差为两导线之间的电势差为 二平行长直导线上单位长度的电容为二平行长直导线上单位长度的电容为 由以上各例可知由以上各例可知:电容器的电容值与极板所带电荷的多少无关电容器的电容值与极板所带电荷的多少无关.22(书书 p.215 例例4)真空中有两条半径为真空中有两条半径为 R 23五、电容器的并联和串联五、电容器的并联和串联 为了工作需求为了工作需求,经常对电容器进行以下两种形式的连接经常对电容器进行以下两种形式的连接.并联并联 C1C2C3C4U电容器的图标电容器的图标 CU 串联串联 C1C2C3C4UCU需要特别注意需要特别注意:电容器两个极板上承载的电压电容器两个极板上承载的电压越大越大,极板间的电极板间的电场强度就越强场强度就越强,当电场强度达到某一数值时当电场强度达到某一数值时,电容器极板间的电介电容器极板间的电介质电离就会被质电离就会被“击穿击穿”而导致电容器损而导致电容器损坏坏.我们特称此时的电场强我们特称此时的电场强 度和相应的电压为电容器的度和相应的电压为电容器的“击穿场强击穿场强”和和“击穿电压击穿电压”.作业作业习习p.16 33,59,64,91.23五、电容器的并联和串联五、电容器的并联和串联 为了工作需求为了工作需求,经常对电容器进经常对电容器进2493 静电场中的电介质静电场中的电介质(Dielectric in Electrostatic Field)一、电介质对电容的影响一、电介质对电容的影响 相对电容率相对电容率 现以平行板真空电容器为例讨论电现以平行板真空电容器为例讨论电 介质的影响介质的影响.将平行板电容器的两极板将平行板电容器的两极板 与电源的正负极连接与电源的正负极连接,设板间电压为设板间电压为 U0、极板带电为极板带电为 Q,+-真空真空 电压表电压表d则该电容器的电容为则该电容器的电容为 若保持若保持 Q 不变不变(切断电源切断电源),并在并在极板极板 间充满其它的均匀且各向同性电介质间充满其它的均匀且各向同性电介质,实验证明实验证明:板间的电压将减小板间的电压将减小 r 倍倍,即即 r 1,且且不同电介质其值不同不同电介质其值不同;同种电介质其值相同同种电介质其值相同.+-电压表电压表d其它电介质其它电介质 2493 静电场中的电介质静电场中的电介质(Dielectric in25+-电压表电压表其它电介质其它电介质电容器的板间充满其它均匀且各向同性的电介质电容器的板间充满其它均匀且各向同性的电介质,板间的电压板间的电压 r 1,且且不同电介质其值不同不同电介质其值不同;同种电介质其值相同同种电介质其值相同.将减小将减小 r 倍倍,即即 电容变为电容变为 或或 且且称称 r 为电介质的为电介质的“相对电容率相对电容率”.由上式可得由上式可得 r 真空真空 1.故可用故可用真真 空电介质为空电介质为基准去研究其它电介质基准去研究其它电介质.为此为此,规定规定用用 表示表示任一任一 电介质的电介质的“电容率电容率”,并认为并认为 某一常量某一常量 注意到真空是各向同性的均匀电介质注意到真空是各向同性的均匀电介质,它也应该遵守上式它也应该遵守上式,所以所以 这说明这说明 a(或或 0)是是真空的电容率真空的电容率.于是得于是得 25+-电电26因为因为 所以所以,若电容器极板间若电容器极板间充满相对电容率为充满相对电容率为 r的均匀且各向同性电介质的均匀且各向同性电介质,又须又须求此电容器的电容求此电容器的电容 C 时时,可以先求可以先求真空电介质电容器的电容真空电介质电容器的电容 C0,再用上式求再用上式求 C.下面下面,对上节对上节(9-2)讲讲 过的过的“例例”和和“例例”分别作上述处理分别作上述处理.我们已求得我们已求得 平行板真空电容器平行板真空电容器 圆柱形真空电容器圆柱形真空电容器 当电容器的极板间充满均匀且各向同性电介质当电容器的极板间充满均匀且各向同性电介质(r)时时,由由 C 式式得得 显然显然,结果与书结果与书 p.213214“例例1”和和“例例2”相同相同.26因为因为 所以所以,若电容器极板间充满相对电容率为若电容器极板间充满相对电容率为 r的均匀的均匀2759-5 9-5 静电场的能量静电场的能量(Energy of Electrostatic Field)一、电容器的电能一、电容器的电能 +-可把可把电容器极板带电电容器极板带电 Q 的状态看作是的状态看作是外界克服静电力、不断从负极板把外界克服静电力、不断从负极板把 dq 移移至正极板至正极板,逐步逐步积累电荷积累电荷(充电充电)的结果的结果.在积累电荷在积累电荷(充电充电)的过程中的过程中,任取极板任取极板带电带电 q、板间电势差为板间电势差为 U 的一个状态的一个状态,U,q-q若若再把再把 dq 从负从负极板移至正极板极板移至正极板,则外界克服静电力作的功为则外界克服静电力作的功为:在电容器带电在电容器带电 Q 的过程中的过程中,外界所作的总功为外界所作的总功为根据功能原理根据功能原理,电容器贮存的电能为电容器贮存的电能为2759-5 静电场的能量静电场的能量(Energy of Ele28二、静电场的能量二、静电场的能量 能量密度能量密度 电容器的电能电容器的电能 We 必贮存在它充电过程中所建立的极板间电场中必贮存在它充电过程中所建立的极板间电场中.以平行板电容器为例以平行板电容器为例,忽略边缘效应忽略边缘效应,得电场的得电场的“平均能量密度平均能量密度”它虽由平行板电容器得出它虽由平行板电容器得出,却是计算却是计算“静电场能量密度静电场能量密度”的普适公式的普适公式,即即电场强度值为电场强度值为 E 的某点附近的某点附近,“静电场能量密度静电场能量密度”的计算公式为的计算公式为若已知电场强度随空间位置变化的函数关系若已知电场强度随空间位置变化的函数关系,即可用即可用 去计算体积去计算体积 V 内静电场所存储的能量内静电场所存储的能量.静电场具有能量静电场具有能量,是其物质性的反映是其物质性的反映.28二、静电场的能量二、静电场的能量 能量密度能量密度 电容器的电能电容器的电能 We 必贮必贮29三、例三、例 (书书 p.219,例例1)真空中真空中,有一带电为有一带电为 Q 的球形电容器的球形电容器,二极板的二极板的半径分别为半径分别为 R1 和和 R2.问此电容器贮存的静电场能量为多少？问此电容器贮存的静电场能量为多少？0解解 因板间场强为因板间场强为所以所以 在板间任取厚为在板间任取厚为 dr 的薄球壳的薄球壳,其中的其中的电电场能为场能为 于是得于是得 29三、例三、例 (书书 p.219,例例1)真空中真空中,有一带有一带
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