大学物理-第三章课件

2 2 转动转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。2 转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线做圆3 3 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+3 刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+三三 刚体定轴转动的角速度和角加速度刚体定轴转动的角速度和角加速度转动平面转动平面角位移角位移 角坐标角坐标规定规定逆时针转动逆时针转动 顺时针转动顺时针转动 角速度矢量角速度矢量 方向：右方向：右螺旋螺旋参考方向参考方向三 刚体定轴转动的角速度和角加速度转动平面角位移 角坐标角加速度角加速度1 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2 2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3 3）运动描述仅需一个坐标。运动描述仅需一个坐标。定轴转动的特点定轴转动的特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转向可用角维转动）的转向可用角速度的正负来表示。速度的正负来表示。角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；定轴转动3.2 3.2 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量一一 转动动能转动动能M刚体的动能：刚体的动能：r i任一小质元动能：任一小质元动能：质量连续分布：质量连续分布：I转动惯量转动惯量（rotational inertia）3.2 转动动能 转动惯量一 转动动能M刚体的动能：r 二二转动惯量的计算转动惯量的计算 1 1 计算公式计算公式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布线分布线分布m/l面分布面分布m/S体分布体分布m/V2 2 决定决定 I 的三要素的三要素:(1)(1)总质量总质量(2)(2)质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置转动惯量的计算质量不连续分布质量连续分布线分布m/OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴OO为为 处的质量元处的质量元 例例1 1 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒OO 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴O例例2 2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量例例3 3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量例3 圆盘绕中心轴旋转的3 3 平行轴公式平行轴公式P 质量为质量为m的刚体，如果对的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量：O3 平行轴公式P 质量为m的刚体，如果对其质心轴的转均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量 4 4 (薄板薄板)垂直轴公式垂直轴公式ML 求对圆盘的一直径的转动惯量求对圆盘的一直径的转动惯量已知已知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直薄板。轴垂直薄板。zxy均匀细棒的转动惯量 4 (薄板)垂直轴公式ML 求对圆Am,lm,R 系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过A点的轴转动点的轴转动时的转动惯量。时的转动惯量。课后课后思考思考下图中的下图中的 J 如何求？如何求？zlDmCaazmAm,lm,R 系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过A点的轴3.3 3.3 力矩力矩 转动定律转动定律P*O :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在转动且在转动平面内平面内,为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢.对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 一一 力矩力矩 (moment of force)3.3 力矩 转动定律P*O :力臂 O 1 1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内，把力分解为平行和垂把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 2 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和（定轴转动为代数和）矢量和（定轴转动为代数和）其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩说明说明力是连续分布的：力是连续分布的：O 1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行xLOMy例例已知棒长已知棒长L,质量质量M，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动 (如图如图)解解根据力矩根据力矩xdxTT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求求 摩擦力对摩擦力对 y 轴的力矩轴的力矩xLOMy例已知棒长L,质量M，在摩擦系数为 的桌面3 3）刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二二 转动定律转动定律2 2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力 1 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩OO二 转动定律2）刚体质量元受外力 ，内力 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比，成正比，与刚体的与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律OI 的物理的物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.与牛二定律相比，有与牛二定律相比，有：M 相应相应F，I 相应相应 m，相应相应 a刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动(1)(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别例例4 4求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘的飞轮边缘，在绳端施以在绳端施以F=98 N 的拉力的拉力，飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量 I=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦飞轮与转轴间的摩擦不计不计，(见图见图)(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98 N的物体挂 例例5 5 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计摩擦力可略去不计.（1）两物体的加速度为多少两物体的加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（？（2）物体物体 B 从从 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力.静止落下距离静止落下距离 时时，其速率是多少其速率是多少？（？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略擦力不能忽略，并设并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为ABC 例5 质量为 的ABCOO 解解 （1 1）隔离物体分隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动运用牛顿第二定律、转动定律列方程定律列方程 .ABCOO 解 （1）隔离物体分别对物体A、B如令如令 ，可得，可得（2 2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC如令 ，可得（2）B由静止出发作（3 3）考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律转动定律结合（结合（1 1）中其它方程）中其它方程（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 ，转动定律结圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解例例6 6求求 到圆盘静止所需时间到圆盘静止所需时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止解例6求 到圆盘 例例7 7 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 .由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角时的角加速度和角速度角速度.解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得 例7 一长为 质量为 式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分 得3.4 3.4 力矩的功力矩的功 转动动能定理转动动能定理力矩的功力矩的功一一 力矩的功力矩的功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.力矩的功率：力矩的功率：(2)(2)力矩的功就是力的功力矩的功就是力的功(3)(3)内力矩作功之和为零内力矩作功之和为零说明说明(1)(1)合力矩的功合力矩的功3.4 力矩的功 转动动能定理力矩的功一 力矩的功 力的二二 转动动能定理转动动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量.刚体重力势能：刚体重力势能：质心位置质心位置刚体的机械能：刚体的机械能：对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立二 转动动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体例例1 1 一根长为一根长为 l，质量为质量为 m 的均匀细直棒的均匀细直棒，可绕轴可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动面内转动，初始时它在水平位置初始时它在水平位置解解由转动动能定理由转动动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx例1 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 Rhmmm 和和 、分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度 .例例2 2 一质量为一质量为 、半径为半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 .圆盘上绕有轻绳圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 .问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计.解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为mRhmmm 和 物体由静止开始下落物体由静止开始下落解得解得并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理由质点动能定理m物体由静止开始下落解得并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理m3.5 3.5 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理.力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理.一一 质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particle）角动量是质点运动中的一个重要的物理量，角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。LmO pr 质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固定点定点O的的角动量角动量定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）动量矩动量矩3.5 角动量 角动量守恒定律 力矩的时间累积Lrv mO质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为:方向方向 圆面圆面不变。不变。同一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同而改变。例如：例如：方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变OlO 锥摆锥摆mLrvmO质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.二二 质点的角动量定理质点的角动量定理 作用于质点的合力对参考点O 的力矩，等于质质点角动量定理（微分形式）质点角动量定理（微分形式）质点角动量定理（积分形式）质点角动量定理（积分形式）称称冲量矩（角冲量），用冲量矩（角冲量），用H表示表示力矩对时间的积累作用。力矩对时间的积累作用。质点的角动量定理：质点的角动量定理：对同一参考点对同一参考点 O，质点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量所受的冲量矩等于质点角动量的增量.质点系角动量定理质点系角动量定理质点角动量定理（微分形式）质点角动量定理（积分形式）称冲量矩锥摆的角动量锥摆的角动量对对O点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）（合力不为零，动量改变！）OlO 锥摆锥摆m锥摆的角动量对O点：合力矩不为零，角动量变化。对O点：合力三三 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum）(2)2)通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由角动量守恒可导出行星运动的开普勒第二定律由角动量守恒可导出行星运动的开普勒第二定律(1)1)角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观体系，也适用微观体系，且在高速低速范围均适用体系，也适用微观体系，且在高速低速范围均适用说明说明m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点点,M=0,角动量守恒角动量守恒三 质点角动量守恒定律角动量守恒定律（Law of C 例例1 1 一半径为一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为一质量为m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动.小球开始时静止小球开始时静止于圆环上的点于圆环上的点A(该点在通过环心该点在通过环心O的水平面上的水平面上),),然后从然后从A点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑求小球滑到点到点B 时对环心时对环心O的角动量和角速度的角动量和角速度.解解 小球受重力和支持力小球受重力和支持力作用作用,支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重重力矩垂直纸面向里力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理 例1 一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m 的小考虑到考虑到得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式考虑到得由题设条件积分上式当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心4 R时，以速度时，以速度v 0发射一发射一 解解 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒例例2 2 发射一宇宙飞船去考察一质量为发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为、半径为R的行星，的行星，质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求求角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？当飞船静止于空间距行星中心4 R时，以速度v 0发射一 解引1 1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2 2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O四四 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量2 刚体定轴转动的角动量定理非刚 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理3 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则则若若 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量说明说明 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水思考思考:温室效应对地球自转的影响温室效应对地球自转的影响 有许多现象都可以用角动量守恒来说明.自然界中猫的下落猫的下落（A）猫的下落猫的下落（B）观察表明，猫从高处掉下，观察表明，猫从高处掉下，受伤程度随高度增加而减少，受伤程度随高度增加而减少，据报导，有猫从据报导，有猫从3232层楼掉下，层楼掉下，也仅有胸腔和一颗牙齿有轻也仅有胸腔和一颗牙齿有轻微损伤。为什么？微损伤。为什么？猫下落时，身体无转动，猫下落时，身体无转动，总角动量为零。尾巴一甩而总角动量为零。尾巴一甩而具有角动量，据具有角动量，据角动量守恒角动量守恒，身体须反转，产生反向角动身体须反转，产生反向角动量。另外猫很灵活，它在甩量。另外猫很灵活，它在甩尾时能调节身体各部位，使尾时能调节身体各部位，使身体快速转动，这样，四肢身体快速转动，这样，四肢朝下先着地，不会伤害身体朝下先着地，不会伤害身体其它部位。其它部位。猫的下落（A）猫的下落（B）观察表明，猫从高处掉下，受圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒角动量守恒；动量动量不不守恒守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒守恒；角动量守恒角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计思考思考圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；例例3 3 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为 、速率为速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处处，使竿的偏转角为使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?解解 把子弹和竿看作一个系统，子弹把子弹和竿看作一个系统，子弹 射入竿的过程系统角动量守恒射入竿的过程系统角动量守恒 例3 一长为 l ,质量为 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒.射入竿后，以子弹、细杆和m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平水平）R例例4 4 如图示如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 解：解：m下落下落：(1)mPhv对对（m+盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，(2)已知已知：h，R，M=2m，=60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：m(黏土块)yxhPOM光滑轴均质圆盘（水平）R例4 (3)对对（m+M+地球地球）系统系统，mmgOMR令令P、x 重合时重合时 EP=0，则则：(5)由由(3)(4)(5)得得：由由(1)(2)(3)得得：(4)只有重力作功只有重力作功，E守恒守恒。（m+盘盘）角动量角动量(3)对（m+M+地球）系统，mmgOM例例5 5：质量为：质量为M、半径为、半径为R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？对地而言，人和转台各转动了多少角度？解：以解：以M，m为研究对象为研究对象故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立轴的以地面为参照，建立轴的正方向如图正方向如图+Mxm例5：质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心解：以M，m为研因人和台原来都静止故因人和台原来都静止故角动量角动量（2）式式dt积分：积分：+Mxm若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为因人和台原来都静止故角动量（2）式dt积分：+Mxm若人和+MxmAAm+MxmAAm核心核心：物体的运动物体的运动物体物体：两个模型两个模型,质点质点;刚体刚体运动运动：How-How-运动学运动学;Why-;Why-动力学动力学质点运动学：质点运动学：r(r(t),r),v,a（求导，积分）（求导，积分）圆周运动圆周运动(an at)；相对运动；相对运动刚体运动学：刚体运动学：(t),),力学小结力学小结核心：物体的运动力学小结