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导数的概念及其几何意导数的概念及其几何意义（义（2）6/15/2024导数的概念及其几何意义（2）8/9/20231先来复习导数的概念先来复习导数的概念 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当自当自变量变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限存在的极限存在,这这个极限就叫做函数个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化率或变化率)记作记作 即即:6/15/2024先来复习导数的概念 定义：设函数y=f(x)在26/15/20248/9/202336/15/20248/9/20234下面来看导数的几何意义:y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.斜率!6/15/2024下面来看导数的几何意义:y=f(x)PQMxyOxy5PQoxyy=f(x)割割线切切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着点绕着点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.6/15/2024PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P6 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为称为曲线在点曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为割线趋近于确定的位置的直线定义为切线切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。6/15/2024 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时76/15/20248/9/20238例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.6/15/2024例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方96/15/20248/9/202310练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.6/15/2024练习:如图已知曲线 11（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的基函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。6/15/2024（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到12作业:2.6/15/2024作业:2.8/9/2023136/15/20248/9/2023146/15/20248/9/2023156/15/20248/9/2023166/15/20248/9/202317
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