复变函数课件第2章-复变函数的概念、极限与连续性

2.1 复变函数的概念、极限与复变函数的概念、极限与连续性连续性2.1 复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性&1.复变函数的定义复变函数的定义&2.映射的概念映射的概念&3.反函数或逆映射反函数或逆映射复变函数的概念复变函数的概念 1.复变函数的定义复变函数的概念复变函数的定义复变函数的概念1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似A 定义定义2.1设设E是复平面上的点集是复平面上的点集,若对任何若对任何z=x+iy E,都存在一个或几个复数都存在一个或几个复数w=u+iv和和z对应对应,称在称在 E上确上确定了一个复变函数，用定了一个复变函数，用w=f(z)表示表示.E 称为该函数的定义域称为该函数的定义域.1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似 定义定义2.1设设E该函数的值域为：该函数的值域为：该函数的值域为：该函数的值域为：例例1例例2例例1例例2oxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)woxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在几何上，在几何上，w=fA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平在复变函数中用两个复平例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解例例3解解关于实轴对称的一个映射见图关于实轴对称的一个映射见图1-11-2旋转变换旋转变换(oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)ooxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为E，函数值集合为，函数值集合为G，那么那么则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.3.反函数或逆映射例反函数或逆映射例 设设 z=w2 则称则称&1.函数的极限函数的极限&2.相关定理相关定理&3.函数的连续性函数的连续性复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性 1.函数的极限复变函数的极限与连续性函数的极限复变函数的极限与连续性 定义定义2.2设复变函数设复变函数w=f(z)在在z0的某个去心的某个去心邻域内有定义邻域内有定义,A是复常数是复常数.若对任意给定的若对任意给定的e e 0,存在存在d d 0,使得对一切满足使得对一切满足0|z-z0|d d 的的z,都有都有 成立成立,则称当则称当z趋于趋于z0时时,f(z)以以A为极限，并记做为极限，并记做 或或 注意注意:定义中定义中zz0的方式是任意的的方式是任意的.复变函数的极限复变函数的极限 定义定义2.2设复变函数设复变函数w=f(z)在在z0的某的某几何意义几何意义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中几何意义几何意义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:相关定理相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理2.1 相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理2.1定理定理2.2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!定理定理2.2 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!例例1例例2例例3例例1例例2例例3函数的连续性函数的连续性定义定义2.3函数的连续性定义函数的连续性定义2.3例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。定理定理2.5设设 则则 f(z)在在 处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是 都在都在 点连续点连续.定理定理2.3 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;定理定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。定理定理2.5设设 则则 f(z)在在 处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是 有界性：有界性：有界性：有界性：2.22.2 解析函数的概念解析函数的概念2.2 解析函数的概念解析函数的概念一、一、复变函数的导数复变函数的导数1、导数的定义导数的定义 定义定义2.4设设 是定义在区域是定义在区域D上的上的存在，则称存在，则称 在在 点点可导可导,并把这个极并把这个极限值称为限值称为 在在 点的点的导数导数，记做，记做 复变函数复变函数,z0是区域是区域D内的定点内的定点.若极限若极限 一、复变函数的导数一、复变函数的导数1、导数的定义导数的定义 定义定义2.4 定义中的极限式可以写为定义中的极限式可以写为 即当即当 在在 点可导时点可导时,注意注意的方式是任意的的方式是任意的.定义中的极限式可以写为定义中的极限式可以写为 即当即当 此时，对此时，对D内任意一点内任意一点z,有有 也可用也可用 等表示等表示 在在z点的导数点的导数.若若 在区域在区域 D内每一点都可导内每一点都可导,则称则称 在区域在区域 D内可导内可导.此时，对此时，对D内任意一点内任意一点z,有有 也可用也可用 等表示等表示则则 例例1设设 在复平面内在复平面内处处可导，且处处可导，且 解因为解因为所以所以则则 例例1设设 在复平面内处处可导，且在复平面内处处可导，且 解因为所以解因为所以例例2证明证明 在复面内处处在复面内处处连续，但处处不可导连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点证明对复平面内任意点z,有有 故故 这说明这说明 在复面内处处连续在复面内处处连续.例例2证明证明 在复面内处处连续，但处处不可导在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面证明对复平面但是但是,设设 沿着平行于沿着平行于x 轴的轴的方向趋向于方向趋向于 0,即即于是于是但是但是,设设 沿着平行于沿着平行于x 轴的方向趋向于轴的方向趋向于 0,所以所以的导数的导数不存在不存在.设设 沿着平行于沿着平行于y 轴的方向趋向于轴的方向趋向于 0,即即所以的导数不存在所以的导数不存在.设设 沿着平行于沿着平行于y 轴的方向趋向于轴的方向趋向于2、可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f(z)在在z0处处可导可导，则在，则在z0处一定处一定连续连续,但但函数函数f(z)在在z0处连续不一定在处连续不一定在z0处可导处可导.事实上事实上,由由 f(z)在在z0点可导点可导,必有必有).()()()(000zfzzfzzfz-D D-D D+=D Dr r令令2、可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f(z)在在z0处可导处可导,)()(lim000zfzzfz=D D+D D所以所以再由再由即即在在处连续处连续.反之反之,由由 知知,不可导不可导.但是二元实函数但是二元实函数 连续连续,于是根据于是根据 知知,函数函数 连续连续.,)()(lim000zfzzfz=D+D所以再由即在处所以再由即在处3、求导法则、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同证明方法相同.求导公式与法则求导公式与法则:(1)其中其中c为复常数为复常数.(2)其中其中n为正整数为正整数.3、求导法则、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实由于复变函数中导数的定义与一元实其中其中其中其中与与是两个互为反函数的单值函数是两个互为反函数的单值函数,且且其中其中与是两个互为反函数的单值函数其中其中与是两个互为反函数的单值函数,且且二、二、解析函数解析函数 定义定义2.5 在区域在区域D有定义有定义.(1)设设 ,若存在若存在 的一个邻域，使得的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导在此邻域内处处可导,则称则称 在在 处处解析解析,也称也称 是是 的的解析点解析点.(2)若若 在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 在区域在区域D内解析内解析,或者称或者称 是区域是区域D内的内的解析函数解析函数.二、二、解析函数解析函数 定义定义2.5 在区域在区域D有有(3)设设G是一个区域，若闭区域是一个区域，若闭区域 且且 在在G内解析，则称内解析，则称 在闭区域在闭区域 上上 解析解析.函数函数 在在 处解析和在处解析和在 处可导意义处可导意义不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一邻域内可导的某一邻域内可导,但后者只要求在但后者只要求在 处可导处可导.函数函数 在在 处解析和在处解析和在 的某一个邻的某一个邻域内解析意义相同域内解析意义相同.(3)设设G是一个区域，若闭区域是一个区域，若闭区域 且且 在在G内内 复变函数在复变函数在区域内解析区域内解析与在该与在该区域内可导区域内可导是是等价等价的的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导区域内可导.反之反之,设函数设函数 在区域在区域D内可导内可导,则对则对任意任意 存在存在z的某一个邻域的某一个邻域U,使得使得U D,由由 在在D内可导内可导,可知可知 在在U内可导内可导,即即在在z处解析处解析.复变函数在区域内解析与在该区域内可导复变函数在区域内解析与在该区域内可导 若函数若函数 在在 处处不解析不解析，则称，则称 是是 的的奇点奇点.若若 是是 的奇点的奇点,但在但在 的某邻域内的某邻域内,除除 外外,没有其他的奇点，则称没有其他的奇点，则称 是函数是函数 的的孤立奇点孤立奇点.由例由例1和例和例2知知,函数函数 是全是全平面内的解析函数，但是函数平面内的解析函数，但是函数 是处处不解析的连续函数是处处不解析的连续函数.若函数若函数 在在 处不解析，则称处不解析，则称 是是 根据求导法则，很容易得到下面的结论根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理定理2.6 设函数设函数 在区域在区域D内解析内解析,则则 也在也在D内解析内解析.当当 时时,是是的解析点的解析点.特别地特别地,多项式多项式P(z)在全平面内解析在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点分母为零的点是有理分式的孤立奇点.根据求导法则，很容易得到下面的结论根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理定理2.6 设函数设函数 例例3证明证明 在在 处可导处可导,但处处不解析但处处不解析.证明根据导数的定义证明根据导数的定义,因此因此 在在 处可导，且处可导，且 当当 时时,由由 得得 例例3证明证明 故故虽然虽然但是当但是当 z分别从平行于分别从平行于x,y轴方向趋于轴方向趋于z0时，时，分别分别 以以1和和-1为极限，因此为极限，因此 不存在不存在.又因为又因为 所以所以 不存在，即不存在，即 在在 时不可导时不可导,从而在复平面内处处不解析从而在复平面内处处不解析.故虽然但是当故虽然但是当 z分别从平行于分别从平行于x,y轴方向趋于轴方向趋于z0时，时，2.3 复函数可导与解析的充要复函数可导与解析的充要条件条件2.3 复函数可导与解析的充要条件复函数可导与解析的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性A 记忆记忆定义定义2.6 对于二元实函数对于二元实函数u(x,y)和和v(x,y)，方程，方程 称为称为柯西柯西-黎曼方程黎曼方程(简称简称C-R方程方程).记忆定义记忆定义2.6 对于二元实函数对于二元实函数u(x,y)和和v定理定理2.7 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是（1）u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微；可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程上述条件满足时，有上述条件满足时，有定理定理2.7 设设 f(z)=u(x,y)+ivA 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.定理定理2.72.7的证明略。由解析函数的定义的证明略。由解析函数的定义2.52.5及定理及定理2.72.7，我们可以得到定理，我们可以得到定理2.8.2.8.由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个当一个定理定理2.8 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内解内解析的充要条件是析的充要条件是（1）u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微可微（2）u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程定理定理2.8 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y解析函数的判定方法解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公式或求导法则验证复如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数变函数f(z)的导数在区域的导数在区域D内处处存在内处处存在,则可直则可直接断定接断定f(z)在区域在区域D内解析内解析.(2)如果复变函数如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函中的函数数 u(x,y)和和 v(x,y)在区域在区域D内各个内各个一阶偏导数连一阶偏导数连续续(因而因而u(x,y)和和v(x,y)在区域在区域D内可微内可微),并且满并且满足足柯西柯西-黎曼方程黎曼方程,则由解析函数的充要条件可则由解析函数的充要条件可以断定函数以断定函数f(z)在区域在区域D解析解析.（P28 推论推论2.1）解析函数的判定方法解析函数的判定方法:(1)如果能够用求导公如果能够用求导公判定复变函数可导性与解析性的步骤：判定复变函数可导性与解析性的步骤：I)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；偏导数的连续性；II)验证验证C-R方程；方程；III）根据推论）根据推论2.1或定义或定义2.5判断函数的解析性。判断函数的解析性。A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函并不是两个实函数分别关于数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.复变函数复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处在可导点处的导数为的导数为判定复变函数可导性与解析性的步骤：判定复变函数可导性与解析性的步骤：前面我们常把复变前面我们常把复变二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则二二.举例例举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R方程，故方程，故(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R方程，故方程，故(3)设设z=x+iy解解 由由w=z Re(z)=x2+ixy,得得u=x2,v=xy,所以所以当且仅当当且仅当 x=y=0时时,因而函数仅在因而函数仅在z=0可导可导,但在复平面内任何地方都但在复平面内任何地方都不解析不解析.例例2 2 判断下列函数在何处可导判断下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解 由由w=z Re(z)=x2+ixy,得得u 例例3 设设 其中其中 a,b,c,d是常数，问它们取何值时是常数，问它们取何值时,函数函数 f(z)在复平面上解析在复平面上解析.解：显然，解：显然，在全平面可微，且在全平面可微，且 例例3 设设 其中其中 a,b,c,d是常数，问它们取何值时是常数，问它们取何值时容易看出容易看出,当当 时时,函数函数满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程,这时函数这时函数 在全平面解析在全平面解析.容易看出容易看出,当当 2.4 初等函数初等函数2.4 初等函数初等函数&1.指数函数指数函数&2.对数函数对数函数&3.幂函数幂函数&4.三角函数三角函数 1.指数函数指数函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。性质，并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复定义定义：性质：一一.指数函数指数函数定义：定义：性质：性质：一一.指数函数指数函数A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。A 例例1例例2例例3 例例1例例2例例3二二.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义对数的定义二二.对数函数定义对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(当当k=0时，时，为为Lnz的一单值函数，称为的一单值函数，称为Lnz的的主值主值。故故当当k=0时，故时，故特别特别A 特别特别 (2)对数函数的性质对数函数的性质(2)对数函数的性质对数函数的性质例例4例例4三三.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义A 多值多值一般为多值一般为多值三三.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 乘幂乘幂ab定义定义 复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时，乘幂时，乘幂ab与与a 的的 解解例例5解例解例5q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个在整个 除去除去b为正整数外，为多值函数，为正整数外，为多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。四四.三角函数三角函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义四四.三角函数推广到复变数情形定义三角函数推广到复变数情形定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题思考题4）欧拉（）欧拉（Euler）公式对任意复数成立）公式对任意复数成立思考题思考题4）欧拉（）欧拉（Euler）公式对任意复数成立）公式对任意复数成立复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲函数双曲函数定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质复变函数课件第复变函数课件第2章章-复变函数的概念、极限与连续性复变函数的概念、极限与连续性复复变变函函数数连续连续初等解析函数初等解析函数判判别别方方法法可导可导解析解析指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数幂幂 函函 数数本章内容总结本章内容总结复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角