定积分在几何学的应用课件

典型例题典型例题 体体 积积平面曲线的弧长平面曲线的弧长第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1典型例题 体 积平面曲线的弧长第二节 定积分在几何学上圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、体一、体 积积旋转体旋转体旋转体旋转体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕由一个平面图形绕这平面内一条直线这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体1.旋转体的体积旋转体的体积2圆柱圆锥圆台一、体 积旋转体这直线叫做旋转轴由一个平面图形旋转体的体积旋转体的体积采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线直线直线及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素(1)3旋转体的体积采用元素法如果旋转体是由连续曲线直线及 x 轴所如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?(2)直线直线体积元素体积元素旋转体的体积旋转体的体积4如果旋转体是由连续曲线及 y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转解解体积元素体积元素例例取积分变量为取积分变量为x,oxy旋转体的体积：旋转体的体积：5解体积元素例取积分变量为x,oxy旋转体的体积：5解解 两曲线的交点为两曲线的交点为绕绕y轴旋转轴旋转 1 04d)(yyy 例例6解两曲线的交点为绕y轴旋转-=1 04d 例例 连连接接坐坐标标原原点点O及及点点P(h,r)的的直直线线、直直线线x h及及x轴轴围围成成一一个个直直角角三三角角形形.将将它它绕绕x轴轴旋旋转转构构成成一一个个底底半半径径为为r、高为高为h的圆锥体的圆锥体.计算这圆锥体的体积计算这圆锥体的体积.圆锥体的体积公式推导：圆锥体的体积公式推导：解解 7 例 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线解（解（1）则旋转椭球体的体积为则旋转椭球体的体积为 椭球体的体积公式推导：椭球体的体积公式推导：例例 计计算算由由椭椭圆圆 所所成成的的图图形形分分别别绕绕x,y 轴轴旋旋转转而成的旋转体的体积。而成的旋转体的体积。8解（1）则旋转椭球体的体积为 椭球体的体积公式推导：此题也可利用椭圆的参数方程求解则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积9此题也可利用椭圆的参数方程求解则特别当b=a 时,就得解（解（2）10解（2）10解解例例求摆线求摆线的一拱的一拱与与y=0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴旋转而成的轴旋转而成的旋转体的体积旋转体的体积.绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积变量代换变量代换11解例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y轴轴旋转构成的旋转旋转构成的旋转体的体积之差体的体积之差.摆线摆线令令 2 023dsin)sin(tttta12绕 y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕 2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积立体体积如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体但却知道该立体的体积也可用定积分来计算的体积也可用定积分来计算.那么那么,这个立体这个立体表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积,为为x的已知连续函数的已知连续函数.采用元素法采用元素法体积元素体积元素132.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面解解 取坐标系如图取坐标系如图 底圆方程底圆方程例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底底高高截面面积截面面积立体体积立体体积 V14解取坐标系如图底圆方程例一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆作一下垂直于作一下垂直于y轴轴的截面是的截面是截面长为截面长为宽为宽为矩形矩形截面面积截面面积 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?15作一下垂直于y轴的截面是截面长为宽为矩形截面面积 可否选择y二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长设设A、B是曲线弧上是曲线弧上在弧上在弧上插入分点插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长此折线的长的极限存在的极限存在,则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧AB的弧长的弧长.1.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念的两个端点的两个端点,定理定理 光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.17二、平面曲线的弧长设A、B是曲线弧上在弧上插入分点并依次连接弧长元素弧长元素弧长弧长2.直角坐标情形直角坐标情形小切线段的长小切线段的长以对应小以对应小切线段的长代替小线段的长切线段的长代替小线段的长设曲线弧为设曲线弧为其中其中有有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间18弧长元素弧长2.直角坐标情形小切线段的长以对应小切线段的长 例例 长度长度.因此因此,所求弧长为所求弧长为 解解 曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：19 例 长度.因此,所求弧长为 例例.求连续曲线段求连续曲线段解解:的弧长.20例.求连续曲线段解:的弧长.20曲线弧为曲线弧为弧长弧长3.参数方程情形参数方程情形其中其中具有连续导数具有连续导数.21曲线弧为弧长3.参数方程情形其中具有连续导数.21解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为对称性对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 求星形线求星形线的全长的全长.22解星形线的参数方程为对称性第一象限部分的弧长例求星形线的全长曲线曲线x (t)、y (t)(t )的弧长：的弧长：例例 求摆线求摆线x a(sin),y a(1 cos)的一拱的一拱(0 2 )的长度的长度.解解 于是所求弧长为于是所求弧长为 弧长元素为弧长元素为23曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：曲线弧为曲线弧为弧长弧长4.极坐标情形极坐标情形其中其中具有连续导数具有连续导数.24曲线弧为弧长4.极坐标情形其中具有连续导数.24解解25解25 例例 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 a (a0)相应于相应于 从从0到到2 一段一段的弧长的弧长.解解 于是所求弧长为于是所求弧长为 弧长元素为弧长元素为曲线曲线 ()()的弧长：的弧长：26 例 求阿基米德螺线a(a0)相应例解解27例解27三、典型例题选解三、典型例题选解28三、典型例题选解28解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有29解由对称性,有由对称性,有29由对称性由对称性,有有30由对称性,有30例解解圆环的面积31例解圆环的面积313232例.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积33例.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点34且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点3例.设非负函数设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得面积为 2,体积最小?即故得35例.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数又又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值.36又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值.思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.37思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 2.试用定积分求圆试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提示提示:方法方法 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.382.试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下求体积:提示:方法3.求曲线图形的公共部分的面积.解解：与所围成得所围区域的面积为393.求曲线图形的公共部分的面积.解：与所围成得所围区域的面设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.若选 y 为积分变量,则 40设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2