多元函数的极值及其应用课件

7-7 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用17-7 多元函数的极值及其应用1复复 习习1.隐函数求导公式隐函数求导公式公式法公式法：谁看成变量谁看成变量.时把谁看成常量，时把谁看成常量，注意求注意求直接法直接法：两边求导两边求导,这时若对这时若对x求导求导,把把z看成看成x和和y的函数的函数2.求隐函数求隐函数 偏导的两个方法偏导的两个方法2复 习1.隐函数求导公式公式法：谁看成变量.时把谁看成一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、多元函数的最值二、多元函数的最值 三、条件极值三、条件极值 第七章 第七节第七节多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用3一、多元函数的极值 二、多元函数的最值 三、条件极值 第七章一、多元函数的极值一、多元函数的极值4一、多元函数的极值4一、多元函数的极值一、多元函数的极值5一、多元函数的极值5一、多元函数的极值一、多元函数的极值6一、多元函数的极值6一、多元函数的极值一、多元函数的极值7一、多元函数的极值7一、多元函数的极值一、多元函数的极值8一、多元函数的极值8一、多元函数的极值一、多元函数的极值9一、多元函数的极值9一、多元函数的极值一、多元函数的极值10一、多元函数的极值10一、多元函数的极值一、多元函数的极值11一、多元函数的极值11一、多元函数的极值一、多元函数的极值12一、多元函数的极值12一、多元函数的极值一、多元函数的极值13一、多元函数的极值13一、多元函数的极值一、多元函数的极值14一、多元函数的极值14一、多元函数的极值一、多元函数的极值15一、多元函数的极值15一、多元函数的极值一、多元函数的极值16一、多元函数的极值16一、多元函数的极值一、多元函数的极值17一、多元函数的极值171、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义设函数设函数设函数设函数在点在点在点在点的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，对于对于对于对于该邻域内异于该邻域内异于该邻域内异于该邻域内异于的点的点的点的点如果都适合不等式如果都适合不等式如果都适合不等式如果都适合不等式则称函数在点则称函数在点则称函数在点则称函数在点有有有有极大值极大值极大值极大值如果都适合不如果都适合不如果都适合不如果都适合不等式等式等式等式则称函数在点则称函数在点则称函数在点则称函数在点有有有有极小值极小值极小值极小值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.181、二元函数极值的定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义说明：说明：说明：说明：1.1.从几何上看，二元函数的极大值点是其图形从几何上看，二元函数的极大值点是其图形从几何上看，二元函数的极大值点是其图形从几何上看，二元函数的极大值点是其图形的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点.2.2.由定义知：极值点应在由定义知：极值点应在由定义知：极值点应在由定义知：极值点应在定义区域内部定义区域内部定义区域内部定义区域内部取得，取得，取得，取得，而而而而不能在边界上取得不能在边界上取得不能在边界上取得不能在边界上取得.191、二元函数极值的定义说明：1.从几何上看，二元函数的极例例1 1(1)（椭圆抛物面）（椭圆抛物面）例例(2)（圆锥曲面）（圆锥曲面）例例（双曲抛物面或称马鞍面双曲抛物面或称马鞍面）(3)20例1(1)（椭圆抛物面）例(2)（圆锥曲面）例（双曲抛物2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件回顾：回顾：回顾：回顾：一元函数取得极值的条件一元函数取得极值的条件一元函数取得极值的条件一元函数取得极值的条件定理定理定理定理(必要条件必要条件必要条件必要条件)(费马定理费马定理费马定理费马定理)处处处处取得极值取得极值取得极值取得极值设函数设函数设函数设函数在点在点在点在点 处处处处可导可导可导可导，且在点且在点且在点且在点即：即：即：即：可导函数在极值点处导数必为零可导函数在极值点处导数必为零可导函数在极值点处导数必为零可导函数在极值点处导数必为零.多元函数取得极值也有相似的必要条件多元函数取得极值也有相似的必要条件多元函数取得极值也有相似的必要条件多元函数取得极值也有相似的必要条件212、多元函数取得极值的条件回顾：一元函数取得极值的条件定理(2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理定理定理1 1(必要条件必要条件必要条件必要条件)设函数设函数设函数设函数在点在点在点在点可导，可导，可导，可导，且在点且在点且在点且在点处处处处有极值，有极值，有极值，有极值，则在该点的偏导数必然为零，则在该点的偏导数必然为零，则在该点的偏导数必然为零，则在该点的偏导数必然为零，证证不妨设不妨设不妨设不妨设在点在点在点在点处有极大值，处有极大值，处有极大值，处有极大值，则对于则对于则对于则对于的某邻域内任意的点的某邻域内任意的点的某邻域内任意的点的某邻域内任意的点都有都有都有都有故当故当故当故当时，时，时，时，有有有有说明一元函数说明一元函数说明一元函数说明一元函数在在在在处处处处有极大值，有极大值，有极大值，有极大值，必有必有必有必有类似可证类似可证类似可证类似可证即即即即222、多元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点可导，推广：推广：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点驻点驻点驻点极值点极值点极值点极值点(可导函数可导函数可导函数可导函数)均称为函数的均称为函数的均称为函数的均称为函数的驻点驻点驻点驻点.（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）23推广：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点极值点驻点驻点驻点驻点极值点极值点极值点极值点(可导函数可导函数可导函数可导函数)问题：问题：问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：注意：注意：又如又如又如又如,因函数在该点的因函数在该点的因函数在该点的因函数在该点的偏导不存在偏导不存在偏导不存在偏导不存在.1.1.驻点驻点驻点驻点2.2.偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点.所以，所以，所以，所以，x xy yz zo o如如如如,点点点点(0,0)(0,0)是函数是函数是函数是函数z=xy的驻点，的驻点，的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点但不是极值点但不是极值点.点点点点(0,0)(0,0)是函是函是函是函数数数数的的的的极值点极值点极值点极值点.但点但点但点但点(0,0)(0,0)并并并并不是不是不是不是函函函函数数数数的的的的驻点，驻点，驻点，驻点，极值点可能是：极值点可能是：极值点可能是：极值点可能是：24驻点极值点(可导函数)问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注定理定理定理定理2(2(充分条件充分条件充分条件充分条件)设函数设函数设函数设函数在点在点在点在点的某邻域的某邻域的某邻域的某邻域内内内内连续，连续，连续，连续，且有一阶二阶偏导数，且有一阶二阶偏导数，且有一阶二阶偏导数，且有一阶二阶偏导数，又又又又令令令令则则则则在点在点在点在点处是否处是否处是否处是否取得极值取得极值取得极值取得极值的条件如下：的条件如下：的条件如下：的条件如下：(1(1)时时时时具有极值，具有极值，具有极值，具有极值，且当且当且当且当时时时时有极大值，有极大值，有极大值，有极大值，当当当当时时时时有极小值；有极小值；有极小值；有极小值；(2)(2)时时时时没有极值；没有极值；没有极值；没有极值；(3)(3)时时时时可能有极值，可能有极值，可能有极值，可能有极值，也可能没有极值，也可能没有极值，也可能没有极值，也可能没有极值，还需还需还需还需另作讨论另作讨论另作讨论另作讨论.注意注意注意注意 该定理只适用于该定理只适用于该定理只适用于该定理只适用于二元函数二元函数二元函数二元函数,不能推广到三元函数不能推广到三元函数不能推广到三元函数不能推广到三元函数.25定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内连续，且有一阶二阶偏导求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解,求函数求函数求函数求函数的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：第一步第一步第一步第一步:解方程组解方程组解方程组解方程组第二步第二步第二步第二步:求出求出求出求出二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数的值的值的值的值A、B、C.第三步第三步第三步第三步:定出定出定出定出的符号，的符号，的符号，的符号，再判断是否为极值再判断是否为极值再判断是否为极值再判断是否为极值.得驻点得驻点得驻点得驻点.对于每一个对于每一个对于每一个对于每一个驻点驻点驻点驻点26求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤：第一步:例例1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数27例1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0)在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;28在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.例例2：求函数求函数解解解方程组解方程组得驻点得驻点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)故所求函数的极值为故所求函数的极值为:对驻点对驻点对驻点对驻点所以函数在所以函数在 处无极值处无极值.的极值的极值所以，所以，29例2：求函数解解方程组得驻点(1,1),(0,0)故所求函数解解30解30例例4:所以，函数不可能在原点取得极值所以，函数不可能在原点取得极值.31例4:所以，函数不可能在原点取得极值.31求最值的一般方法求最值的一般方法求最值的一般方法求最值的一般方法：与一元函数相类似，与一元函数相类似，与一元函数相类似，与一元函数相类似，二、多元函数的最值二、多元函数的最值二、多元函数的最值二、多元函数的最值求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.为最大值，为最大值，为最大值，为最大值，边界上的最大值和最小值相互比较，边界上的最大值和最小值相互比较，边界上的最大值和最小值相互比较，边界上的最大值和最小值相互比较，将所有驻点处的函数值及在将所有驻点处的函数值及在将所有驻点处的函数值及在将所有驻点处的函数值及在D D的的的的如如如如:求函数求函数求函数求函数在区域在区域在区域在区域上上上上的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值.其中最大者即其中最大者即其中最大者即其中最大者即最小者即为最小值最小者即为最小值最小者即为最小值最小者即为最小值.我们可以利用函数的极值来我们可以利用函数的极值来我们可以利用函数的极值来我们可以利用函数的极值来32求最值的一般方法：与一元函数相类似，二、多元函数的最值求函数有界闭区域有界闭区域有界闭区域有界闭区域D D上连续函数的最值的步骤：上连续函数的最值的步骤：上连续函数的最值的步骤：上连续函数的最值的步骤：（1）找最值可疑点找最值可疑点找最值可疑点找最值可疑点 D内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点边界上的可能极值点边界上的可能极值点边界上的可能极值点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最比较以上各点处的函数值，最比较以上各点处的函数值，最比较以上各点处的函数值，最大大大大（小小小小）者即）者即）者即）者即为所求的最为所求的最为所求的最为所求的最大大大大（小小小小）值值.求二元函数在闭区域求二元函数在闭区域求二元函数在闭区域求二元函数在闭区域D D上的最值上的最值上的最值上的最值,值就是所求的最值值就是所求的最值值就是所求的最值值就是所求的最值.又知函数在又知函数在又知函数在又知函数在D D内内内内可微可微可微可微,但如果根据问题的实际意义但如果根据问题的实际意义但如果根据问题的实际意义但如果根据问题的实际意义,知道函数在知道函数在知道函数在知道函数在D D内存在最值内存在最值内存在最值内存在最值,且只有唯一驻点且只有唯一驻点且只有唯一驻点且只有唯一驻点,则该点处的函数则该点处的函数则该点处的函数则该点处的函数往往比较复杂往往比较复杂往往比较复杂往往比较复杂.33有界闭区域D上连续函数的最值的步骤：（1）找最值可疑点 解方程组解方程组例例5解解34解方程组例5解343535求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解,求函数求函数求函数求函数的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：第一步第一步第一步第一步:解方程组解方程组解方程组解方程组第二步第二步第二步第二步:求出求出求出求出二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数的值的值的值的值A、B、C.第三步第三步第三步第三步:定出定出定出定出的符号，的符号，的符号，的符号，再判断是否为极值再判断是否为极值再判断是否为极值再判断是否为极值.得驻点得驻点得驻点得驻点.对于每一个对于每一个对于每一个对于每一个驻点驻点驻点驻点内容小结内容小结36求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤：第一步:作业：作业：P319,1(1)(2)P319,1(1)(2)预习：从预习：从316316到到319319页页37作业：P319,1(1)(2)预习：从316到319页37注意：注意：(1)偏导数不存在的点也可能是极值点偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导不可导,则则极值点可能是极值点可能是驻点驻点,也可能是也可能是偏导数不存在的点偏导数不存在的点.(2)驻点要同时满足驻点要同时满足:38注意：(1)偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导,则极值点所以，所以，(0,0)点不是函数的极值点点不是函数的极值点.又因函数处处可微，所以该函数没有极值点又因函数处处可微，所以该函数没有极值点又因函数处处可微，所以该函数没有极值点又因函数处处可微，所以该函数没有极值点.例例1：39所以，(0,0)点不是函数的极值点.又因函数处处可微，所以该