第四章 正交试验设计与数据处理课件

第四章第四章 正交试验设计与数据处理正交试验设计与数据处理 在在生生产产实实践践中中，试试制制新新产产品品、改改革革工工艺艺、寻寻求求好好的的生生产产条条件件等等，这这些些都都需需要要做做试试验验，而而试试验验总总是是要要花花费费时时间间，消消耗耗人人力力、物物力力。因因此，试验的次数应尽可能少。此，试验的次数应尽可能少。全面试验：全面试验：如如 4 个个 3 水平的因素，要做水平的因素，要做 3481 次试验；次试验；6 个个 5 水平的因素，要做水平的因素，要做 5615625次试验。非常困难。次试验。非常困难。能否减少试验次数，而又不影响试验效果呢？能否减少试验次数，而又不影响试验效果呢？有有正交试验正交试验正交试验正交试验4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正正交交表表的的记记号号：L9（34）表表示示 4 个个因因素素，每每个个因因素素取取 3 个个水平的正交表。格式如水平的正交表。格式如表表41所示。所示。2水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析第四章 正交试验设计与数据处理 在生产实践中，试制新14.1 正交表及其用法正交表及其用法 正正交交表表记记为为 Ln（mk），m 是是各各因因素素的的水水平平，k（列列数数）是是因因素的个数，素的个数，n 是安排试验的次数（行数）。是安排试验的次数（行数）。L9（34）4因因素素3水水平平正正交交试试验验，共共做做9次次试试验验，面面全全面面试试验验要要做做 34=81 次，减少了次，减少了72次。次。L25（56）6因因素素5水水平平正正交交试试验验，共共做做25次次试试验验，面面全全面面试试验验要做要做 56=15625 次，减少了次，减少了15600次。次。正交表的两条重要性质：正交表的两条重要性质：（1）每每列列中中不不同同数数字字出出现现的的次次数数是是相相等等的的，如如 L9（34），每每列列中不同的数字是中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。它们各出现三次。（2）在在任任意意两两列列中中，将将同同一一行行的的两两个个数数字字看看成成有有序序数数对对时时，每每种种数数对对出出现现的的次次数数是是相相等等的的，如如如如 L9（34），有有序序数数对对共共有有9个个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（），（3，2），（），（3，3），），它们各出现一次它们各出现一次。4.1 正交表及其用法 正交表记为 Ln24.1 正交表及其用法正交表及其用法 由由于于正正交交表表的的性性质质，用用它它来来安安排排试试验验时时，各各因因素素的的各各种种水水平平是是搭配均衡的。搭配均衡的。下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。例例1 某某炼炼铁铁厂厂为为了了提提高高铁铁水水温温度度，需需要要通通过过试试验验选选择择最最好好的的生生产产方方案案，经经初初步步分分析析，主主要要有有 3 个个因因素素影影响响铁铁水水温温度度，它它们们是是焦焦比比、风风压压和和底底焦焦高高度度，每每个个因因素素都都考考虑虑 3 个个水水平平，具具体体情情况况如如表表42，问问对对这这 3 个个因因素素的的 3 个个水水平平如如何何安安排排，才才能能获获得得最最高高的的铁铁水温度？水温度？解解：在在这这个个问问题题中中，人人们们关关心心的的是是铁铁水水温温度度，我我们们称称它它为为试试验验指指标标，如如何何安安排排试试验验才才能能获获得得最最高高的的铁铁水水温温度度，这这只只有有通通过过试试验验才才能能解解决决，这这里里有有3个个因因素素，每每个个因因素素有有3个个水水平平，是是一一个个3因因素素、3水水平平的的问问题题，如如果果每每个个因因素素的的每每个个水水平平都都互互相相搭搭配配着着进进行行全全面面试试验验，必须做试验必须做试验33=27次，将这种搭配试验编号列在次，将这种搭配试验编号列在表表43中。中。4.1 正交表及其用法 由于正交表的性质3例例1 进进行行27次次试试验验 要要花花很很多多时时间间，耗耗费费不不少少人人力力、物物力力，为为了了减减少少试试验验次次数数，但但又又不不能能影影响响试试验验的的效效果果，因因此此，不不能能随随便便地地减减少少试试验验，应应当当把把有有代代表表性性的的搭搭配配保保留留下下来来，为为此此，按按 L9（34）表表中中前前3列列的的情情况况从从27个个试试验验中中选选取取9个个，它它们们的的序序号号分分别别为为1，5，9，11，15，16，21，22，26，将将这这9个个试试验验按按新新的的编编号号19写写出出来来，正正好好是是正正交表交表 L9（34）的前的前3列，如列，如表表44所示。所示。为为了了便便于于分分析析计计算算，把把考考查查指指标标（铁铁水水温温度度）列列于于表表44的的右右边，做成一个新的边，做成一个新的表表45，利用张表进行分析计算。，利用张表进行分析计算。从表从表45中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查指标（铁水温度）的影响按大小次序来说应当是指标（铁水温度）的影响按大小次序来说应当是A（焦比）、焦比）、C（底焦高度）、底焦高度）、B（风压），最好的方案应当是风压），最好的方案应当是A3C2B2，即：即：例1 进行27次试验 要花很多时间，耗费不少人力4例例1 C2：底焦高度，第底焦高度，第2水平，水平，1.5；A3：焦比，焦比，第第3水平，水平，1：14；B2：风压，风压，第第2水平，水平，230。得得出出的的最最好好方方案案在在已已经经做做过过的的9次次试试验验中中没没有有出出现现，与与它它比比较较接接近近的的是是第第9号号试试验验，在在第第9号号试试验验中中只只有有风风压压B不不是是处处于于最最好好水水平平，而而且且风风压压对对铁铁水水温温度度的的影影响响是是3个个因因素素中中最最小小的的。从从实实际际做做出出的的结结果果看看出出第第9号号试试验验中中的的铁铁水水温温度度是是14100C，是是9次次试试验验中中最最高高的的，这这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。也说明我们找出的最好方案是符合实际的。为为了了最最终终确确定定试试验验方方案案C2A3B2是是不不是是最最好好方方案案，可可以以按按这这个个方方案案再再试试验验一一次次，若若比比9号号好好，作作为为最最好好结结果果，若若比比9号号差差，则则以以9号号为为最最佳佳条条件件。如如出出现现后后一一结结果果，说说明明我我们们的的理理论论分分析析与与实实践践有有一一定的差距，最终还是要接受实践的检验。定的差距，最终还是要接受实践的检验。例1 C2：底焦高度，第2水平，1.5；5正交试验步骤归纳如下：正交试验步骤归纳如下：1、确定要考核的试验指标；、确定要考核的试验指标；2、确定要考察的因素和各因素的水平；、确定要考察的因素和各因素的水平；以上两条要实践经验来决定。以上两条要实践经验来决定。3、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不致太多，省工省时；验次数又不致太多，省工省时；4、试验，测定试验指标；、试验，测定试验指标；5、试验结果分析计算，得出合理的结论。、试验结果分析计算，得出合理的结论。以上的方法以上的方法直观分析法。简单、计算量小、很实用。直观分析法。简单、计算量小、很实用。正正交交试试验验的的主主要要分分析析工工具具是是正正交交表表，而而在在因因素素及及其其水水平平都都确确定定的的情情况况下下，正正交交表表并并不不是是唯唯一一的的，常常见见的的正正交交表表见见本本书书末末P214的附表的附表6。正交试验步骤归纳如下：1、确定要考核的试验指标；2、确定要考64.2 多指标的分析方法多指标的分析方法习题习题 4.1 在在例例1中中，试试验验指指标标只只有有一一个个，考考察察起起来来比比较较方方便便，但但实实际际问问题题中中，需需要要考考察察的的指指标标往往往往不不止止一一个个，有有时时有有两两个个、三三个个或或更更多多。如何评价考察指标呢？如何评价考察指标呢？两种方法两种方法。一、综合平衡法一、综合平衡法 通过具体的例子来加以说明。通过具体的例子来加以说明。例例2 为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要检验检验3项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方有个指标越小越好。根据以往的经验，配方有3个重要因素：个重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有水分、粒度和碱度。它们各有3个水平，具体数据如个水平，具体数据如表表46所示。所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。试进行试验分析，找出最好的配方方案。4.2 多指标的分析方法习题 4.1 在7第四章第四章 习题习题4.1 为提高烧结矿的质量，做下面的配料试验。各因素水平如下为提高烧结矿的质量，做下面的配料试验。各因素水平如下 表（单位：表（单位：t）：）：因素因素水平水平A精矿精矿B生矿生矿C焦粉焦粉D石灰石灰E白云石白云石F铁屑铁屑18.05.00.82.01.00.529.54.00.93.00.51.0 反反映映质质量量好好坏坏的的试试验验指指标标为为含含铁铁量量，越越高高越越好好。从从附附表表6中中选选择择L8（27）的的正正交交表表安安排排试试验验。各各因因素素依依次次放放在在正正交交表表的的16列列上上，8次次试试验验所所得得含含铁铁量量（%）依依次次为为：50.9,47.1,51.4,51.8,54.3,49.8,51.5,51.3。第四章 习题4.1 为提高烧结矿的质量，做下面的8一、综合平衡法（例一、综合平衡法（例2的解）的解）解解 3因因素素3水水平平，应应选选L9（34）正正交交表表来来安安排排试试验验，将将3个个因因素素依依次次放放在在前前3列列（第第4列列不不要要），得得出出一一张张具具体体的的试试验验方方案案表表，测测出出需需要要检检验验的的指指标标结结果果，列列于于表表47中中，然然后后用用直直观观分分析析法法对对每每个个指指标分别进行计算分析。标分别进行计算分析。将将3 个个指指标标分分别别进进行行计计算算分分析析后后，得得出出3个个好好的的方方案案：对对抗抗压压强强度度是是A2B3C1；对对落落下下强强度度是是A3B3C2；对对裂裂纹纹度度是是A2B3C1，这这3个个方方案案不不完完全全相相同同，对对一一个个指指标标是是好好方方案案，而而对对另另一一个个指指标标却却不不一一定定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？综综合合分分析析，将将指指标标随随因因素素水水平平变变化化的的情情况况用用图图形形表表示示出出来来，如如图图41所所示示（为为了了看看得得清清楚楚，将将各各点点用用直直线线连连接接起起来来，实实际际上上并并不不一定是直线。一定是直线。把把图图41和和表表47结结合合起起来来分分析析，看看每每一一个个因因素素对对各各指指标标的的影影响。响。一、综合平衡法（例2的解）解 3因素3水9图图41图4110一、综合平衡法（例一、综合平衡法（例2的解的综合分析）的解的综合分析）（1）粒粒度度B对对抗抗压压强强度度和和落落下下强强度度来来讲讲，极极差差最最大大，是是最最大大的的影影响因素。从响因素。从图图41中看出三个指标中看出三个指标B均取均取8为最好为最好即取即取B3。（2）碱碱度度C，极极差差不不大大，次次要要因因素素。由由图图41分分析析，取取1.1时时两两个个指标好，指标好，1个指标稍差，对三个指标综合考虑，个指标稍差，对三个指标综合考虑，C取取1.1即取即取C1。（3）水水分分A，对对裂裂纹纹度度影影响响极极差差最最大大，A取取9最最好好，由由图图41综综合合考虑考虑A取取9即取即取A2。通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：B3：粒度取第粒度取第3水平，水平，8；C1：碱度取第碱度取第1水平，水平，1.1；A2：水分取第水分取第2水平，水平，9。一、综合平衡法（例2的解的综合分析）（1）粒度B对抗压强度和11二、综合评分法二、综合评分法 对对多多指指标标的的问问题题，真真正正做做到到好好的的综综合合平平衡衡，有有时时很很困困难难，这这是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。例例3 某某厂厂生生产产一一种种化化工工产产品品，需需要要检检验验两两个个指指标标：核核酸酸纯纯度度和和回回收收率率，这这两两个个指指标标都都是是越越大大越越好好。有有影影响响的的因因素素有有4个个，各各有有3个个水水平平，具具体体情情况况如如表表48所所示示。试试通通过过试试验验分分析析出出较较好好方方案案，使使产品的核酸含量和回收率都有提高。产品的核酸含量和回收率都有提高。解解 这这是是4因因素素3水水平平的的试试验验，可可以以选选用用正正交交表表L9（34）安安排排出出试试验验方方案案（这这里里有有4个个因因素素，正正好好将将表表排排满满），进进行行试试验验，将将得得出出的结果列入的结果列入表表49中。中。综综合合评评分分法法是是根根据据各各个个指指标标的的重重要要性性的的不不同同，按按照照得得出出的的试试验验结结果果综综合合分分析析，给给每每一一个个试试验验评评出出一一个个分分数数，作作为为这这个个试试验验的的总总指指标。根据这个总指标作进一步的分析。标。根据这个总指标作进一步的分析。二、综合评分法 对多指标的问题，真正做到好的综12二、综合评分法（例二、综合评分法（例3的解）的解）这个方法的关键是如何评分。这个方法的关键是如何评分。在在这这个个试试验验中中，两两个个指指标标的的重重要要性性是是不不同同的的，根根据据实实践践经经验验知知道道，纯纯度度的的重重要要性性大大于于回回收收率率，从从实实际际分分析析，可可以以认认为为纯纯度度是是回回收收率率的的4倍倍。也也就就是是纯纯度度占占权权数数为为4，回回收收率率占占权权数数为为1，按按这这个个权权数数给出这个试验的总分为：给出这个试验的总分为：总分总分4纯度纯度1回收率回收率 由由上上式式计计算算出出这这个个试试验验的的总总分分数数，列列于于表表49的的最最右右边边，再再根据这个分数，用直观分析法进行分析。根据这个分数，用直观分析法进行分析。从从表表49看看出出，A、D两两个个因因素素的的极极差差都都很很大大，是是对对试试验验影影响响很很大大的的两两个个因因素素，A1、D1为为好好；B因因素素的的极极差差比比A、D的的极极差差小小，对对试试验验的的影影响响比比A、D都都小小；B因因素素取取B3为为好好；C因因素素的的极极差差最最小小，影影响响最最小小，C取取C2为为好好。综综合合考考虑虑，最最好好的的试试验验方方案案应应当当是是A1B3C2D1，按影响大小次序排列为：按影响大小次序排列为：二、综合评分法（例3的解）这个方法的关键是如13二、综合评分法（例二、综合评分法（例3的解）的解）A1：时间，时间，25小时；小时；D1：加水量，加水量，1：6；B3：料中核酸含量，料中核酸含量，6.0；C2：pH值，值，6.0。可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验个试验中是没有的，可以按这个方案再试验一次，中是没有的，可以按这个方案再试验一次，看能不能得出比第看能不能得出比第1号号试验更好的结果试验更好的结果，从而确定出真正最好的试验方案。，从而确定出真正最好的试验方案。综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。单纯从数学上是无法解决的。习题习题42二、综合评分法（例3的解）A1：时间，14习题习题42 某厂生产液体葡萄糖，要对生产工艺进行优选试验。因素水平某厂生产液体葡萄糖，要对生产工艺进行优选试验。因素水平如下表所示：如下表所示：因因 素素 水水 平平A粉浆浓度粉浆浓度（%）B粉浆酸度粉浆酸度C稳压时间稳压时间D工作压力工作压力（105Pa）1161.502.22182.052.73202.5103.2 试试验验指指标标有有两两个个：(1)产产量量，越越高高越越好好；（2）总总还还原原糖糖，在在3240%之间。用正交表之间。用正交表L9（34）安排试验，安排试验，9次试验所得结果如下：次试验所得结果如下：产量产量(kg):498，568，568，577，512，540，501，550，510；还原糖还原糖(%)：41.6,39.4,31.0,42.4,37.2,30.2,42.2,40.4,30.0。试用综合平衡法对结果进行分析。找出最好的生产方案。试用综合平衡法对结果进行分析。找出最好的生产方案。习题42 某厂生产液体葡萄糖，要对生产工艺进154.3 混合水平的正交试验设计混合水平的正交试验设计 在在实实际际情情况况中中，有有时时做做试试验验时时，每每个个因因素素的的水水平平数数是是不不同同的的混合水平混合水平。两种解决方案。两种解决方案。一、混合水平正交表及其用法一、混合水平正交表及其用法 混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种。比如种正交表有好多种。比如 L8（4124）就是一个混合水平的正交表，就是一个混合水平的正交表，如如表表410所示。所示。其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说的两点。面所说的两点。例例4 某某农农科科站站进进行行品品种种试试验验，具具体体试试验验因因素素及及水水平平如如表表411所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。安排试验，找出最好的试验方案。4.3 混合水平的正交试验设计 在实际16例例 4 的的 解解解解 这个问题中有这个问题中有4个因素，个因素，1个是个是4水平的，水平的，3个是个是2水平的，正好水平的，正好可以选用混合正交表可以选用混合正交表 L8（4123），），因素因素A为为4水平，放在第水平，放在第1列，列，其余其余3个个2水平的因素水平的因素B、C、D顺序放在顺序放在2、3、4列上，第列上，第5列不用。列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然后按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然后进行分析，见进行分析，见表表412。经分析得最佳方案为：经分析得最佳方案为：A2B2C2D2。因为，从极差分析可知，因为，从极差分析可知，因素因素D影响很小，这个方案影响很小，这个方案与第与第4号试验结果号试验结果A2B2C2D1很接近很接近，从，从试验试验 结果看出，第结果看出，第4号试验是号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有个试验中产量最高的，因此完全有理由取第理由取第4号试验作为最好的试验方案加以推广。号试验作为最好的试验方案加以推广。例 4 的 解解 这个问题中有4个因素，1个是4水平17二、拟水平法二、拟水平法例例5 今今有有某某一一试试验验，试试验验指指标标只只有有一一个个，它它的的数数值值越越小小越越好好，这这个个试试验验有有4个个因因素素A、B、C、D，其其中中因因素素C是是2水水平平的的，其其余余3个个因因素素都都是是3水水平平的的，具具体体数数值值如如表表413所所示示。试试安安排排试试验验，并并对对试试验验结果进行分析，找出最好的试验方案。结果进行分析，找出最好的试验方案。解解：4因因素素试试验验，C为为2个个水水平平，A、B、D为为3个个水水平平。没没有有合合适适的的正正交交表表。设设想想：假假若若C有有3个个水水平平，就就变变成成4因因素素3水水平平的的问问题题了了。如如何何将将C变变成成3水水平平的的因因素素呢呢？从从C中中的的1和和2水水平平中中选选一一个个水水平平让让它它重重复复一一次次作作为为第第3水水平平，这这就就叫叫虚虚拟拟水水平平。取取哪哪一一个个水水平平作作为为第第3水水平平呢呢？一一般般说说，都都是是要要根根据据实实际际经经验验，选选取取一一个个较较好好的的水水平平。比比如如，如如果果认认为为第第2水水平平比比第第1水水平平好好，就就选选第第2水水平平作作为为第第3水水平平。这这样样因因素素水水平平表表413就就变变为为表表414的的样样子子，它它比比表表413多了一个虚拟的第多了一个虚拟的第3水平。水平。二、拟水平法例5 今有某一试验，试验指标只有一个，它的数18例例 5 的的 解解 这这样样就就变变成成了了一一个个4因因素素3水水平平的的试试验验，可可以以按按 L9（34）表表安安排排试试验验，并并对对正正交交表表进进行行重重构构，测测出出结结果果，并并进进行行分分析析，见见表表415所示。所示。从从表表415的的极极差差可可以以看看出出，因因素素D对对试试验验的的影影响响最最大大，取取第第3水水平平最最好好；其其次次是是因因素素A，取取第第3水水平平为为好好；再再者者是是因因素素B，取取第第1水水平平为为好好；因因素素C影影响响最最小小，取取第第1水水平平为为好好。最最优优方方案案为为：A3B1D3C1。这这个个方方案案在在9个个试试验验中中没没有有。从从试试验验结结果果看看8号号试试验验为为最最好好。这这个个试试验验只只有有B不不是是处处在在最最好好情情况况，而而因因素素B的的影影响响是是最最小小的的。可可以以按按这这个个方方案案再再试试验验一一次次，看看是是否否会会得得出出比比第第8号号试试验验更更好好的结果，从而确定出真正的最优方案。的结果，从而确定出真正的最优方案。例 5 的 解 这样就变成了一个4因素3水平的194.4 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计例例6 有有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩块地里，收获后算出平均亩产，记在产，记在表表416中。中。氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）氮肥的效果只加磷肥的效果）在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。4.4 有交互作用的正交试验设计例6 有4块试验20一、交互作用表一、交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，下面介绍交互作用表和它的用法，表表417就是正交表就是正交表 L8（27）所对应的交互作用表。所对应的交互作用表。P214列出了几个交互作用的正交表。列出了几个交互作用的正交表。正交表自由度的确定：正交表自由度的确定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平数水平数1（2）两因素交互作用的自由度）两因素交互作用的自由度 fABfAfB （两因素自由度的乘积）两因素自由度的乘积）对对2因素因素2水平的正交表，因为：水平的正交表，因为：fAfB 21，每列只有一每列只有一个自由度；而个自由度；而fABfAfB 111，所以也占一列。，所以也占一列。一、交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，表21一、交互作用表一、交互作用表 对对于于2 因因素素3水水平平，fAfB 312，每每列列有有2个个自自由由度度；而而fABfAfB 224，由由于于交交互互作作用用列列有有4个个自自由由度度，而而每每列列是是2个个 自自 由由 度度，因因 此此2个个 3水水 平平 因因 素素 的的 交交 互互 作作 用用 列列 占占2列列。对于对于2因素因素n水平，水平，fAfB n1，每列有每列有n个自由度；个自由度；而而两两因因素素交交互互作作用用的的自自由由度度为为：fABfAfB（n1）（n1），所以交互作用列要占（所以交互作用列要占（n1）列。列。二、水平数相同的有交互作用的正交设计二、水平数相同的有交互作用的正交设计 例例7 某产品的产量取决于某产品的产量取决于3个因素个因素A、B、C，每个因素都有每个因素都有两个水平，具体数值如两个水平，具体数值如表表418所示。每两个因素都有交互作用，所示。每两个因素都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。验结果，找出最好的方案。一、交互作用表 对于2 因素3水平，fA22例例7的解的解 解解 这这是是3因因素素2水水平平的的试试验验。3个个因因素素A、B、C要要占占3列列，它它们们之之间间的的交交互互作作用用AB、B C、A C又又各各占占3列列，共共占占6列列，可可以以用用正正交交表表 L8（27）来来安安排排试试验验。若若将将A、B放放在在第第1、2列列，从从表表417查查出出AB应应在在第第3列列，因因此此C就就不不能能放放在在第第3列列，否否则则就就要要和和AB混混杂杂。现现将将C放放在在第第4列列，由由表表417查查出出A C应应在在第第5列列，B C应应在在第第6列列。按按这这种种安安排排进进行行试试验验。测测出出结结果果，用用直直观观分分析析法法进进行行分分析析，把把交交互互作作用用当当成成新新的的因因素素看看待待。整整个个分分析析过过程程记记录录在在表表419中。中。最最后后要要说说明明一一点点，在在这这里里只只考考虑虑两两列列间间的的交交互互作作用用AB、B C、A C，3个个因因素素的的交交互互作作用用ABC，一一般般影影响响很很小小，这这里里不不去考虑它。去考虑它。例7的解 解 这是3因素2水平的试验23习题习题 43 在在梳梳棉棉机机上上纺纺粘粘棉棉混混纱纱，为为了了提提高高质质量量，选选了了3个个因因素素，每每个个因素有两个水平，因素有两个水平，3因素之间有一级交互作用。因素水平如下：因素之间有一级交互作用。因素水平如下：因素因素水平水平A金属针布金属针布B产量水平（产量水平（kg）C速度（速度（r/min）1甲地产品甲地产品62382乙地产品乙地产品10320 试试验验指指标标为为棉棉结结粒粒数数，越越小小越越好好。用用L8（27）安安排排试试验验，8次次试试验验所所得得试试验验指指标标的的结结果果依依次次为为：0.3，0.55,0.40,0.30,0.15,0.40,0.50,0.35。试对结果进行分析，选出最佳工艺条件。试对结果进行分析，选出最佳工艺条件。习题 43 在梳棉机上纺粘棉混纱，为了提244.5 正交表的构造法正交表的构造法 从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。一、阿达玛矩阵法一、阿达玛矩阵法1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵 阿阿阵阵 定定义义：以以1，1为为元元素素，并并且且任任意意两两列列都都是是正正交交的的矩矩阵。阵。性质：性质：（1）每列元素个数都）每列元素个数都 是偶数；是偶数；（2）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；（3）任意一列（或行）乘）任意一列（或行）乘1以后，仍为阿阵。以后，仍为阿阵。标准阿阵：第一列全为标准阿阵：第一列全为1列（用对行乘列（用对行乘1可得）。可得）。阿方阵：行、列相等阿方阵：行、列相等阿阵，偶阶方阵。阿阵，偶阶方阵。4.5 正交表的构造法 从前面的内容可251、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵 n 阶阿阵记为阶阿阵记为Hn。感兴趣：感兴趣：第一列，第一行全为第一列，第一行全为 1 的阿阵。例如：的阿阵。例如：直积构造高阶阿阵的方法：直积构造高阶阿阵的方法：定义：设两个定义：设两个2阶方阵阶方阵A、B它们直积记为它们直积记为A B，定义如下：1、阿达玛矩阵 n 阶阿阵记为Hn。感兴趣：第261、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵这是一个这是一个4阶方阵。阶方阵。有下面两个定理：有下面两个定理：定理一定理一 设设2阶方阵阶方阵A、B如果它们中的两列是正交的，则它如果它们中的两列是正交的，则它们的直积们的直积A B的任意两列也是正交的。定理二定理二 两个阿阵的直积是一个高阶阿阵两个阿阵的直积是一个高阶阿阵。据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿阵，例如有：阵，例如有：1、阿达玛矩阵这是一个4阶方阵。有下面两个定理：271、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵依此类推有：依此类推有：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：都是都是2 阶阿阵阶阿阵H2，但我们最感兴趣的是第一个但我们最感兴趣的是第一个标准阿阵标准阿阵标准阿阵标准阿阵。1、阿达玛矩阵依此类推有：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如282、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 有了第有了第1列第列第1行全为行全为1的标准阿阵，构造的标准阿阵，构造2水平的正交表就非水平的正交表就非常方便了。常方便了。（1）L4（23）正交表的构造正交表的构造 取标准阿阵取标准阿阵H4 如下：如下：将全将全1列去掉，得出：列去掉，得出：2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法 有了第1列第292、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 将将1 改写为改写为2，按顺序配上列号、行号，就得到，按顺序配上列号、行号，就得到2水平正交表水平正交表 L4（23），），见见表表428所示。所示。（2）L8（27）正交表的构造法正交表的构造法 取标准阿阵取标准阿阵 H8 如下：如下：2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法 将1 改写为2，按顺302、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 去掉全去掉全 1 列；列；将将 1 改写为改写为2，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表 L8（27），），见见表表429。总总结结：先先取取一一个个标标准准阿阿阵阵 Hn，去去掉掉全全1列列，将将1 列列改改写写为为2，配上列号、行号，就得正交表配上列号、行号，就得正交表 Ln（2n1）。）。上法只能构造上法只能构造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法来解决。丁方的方法来解决。2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法 去掉全 1 列；将 31二、正交拉丁方的方法二、正交拉丁方的方法1、拉丁方、拉丁方定定义义：用用 n 个个不不同同的的拉拉丁丁字字母母排排成成一一个个 n 阶阶方方阵阵（n26），如如 果果每每个个字字母母在在任任一一行行、任任一一列列中中只只出出现现一一次次，则则称称这这种种方方 阵为阵为 nn 拉丁方，简称为拉丁方，简称为 n 阶拉丁方。阶拉丁方。例如，用例如，用3个字母个字母 A、B、C 可排成：可排成：33 拉丁方拉丁方用用4个字母个字母 A、B、C、D 可排成：可排成：44 拉丁方拉丁方这这两两个个拉拉丁丁方方不不是是唯唯一一的。的。二、正交拉丁方的方法1、拉丁方定义：用 n 个不同的拉丁字母321、拉丁方、拉丁方感性趣感性趣感性趣感性趣正交拉丁方。正交拉丁方。定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。3阶阶拉拉丁丁方方与与是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。1、拉丁方感性趣正交拉丁方。定义：设有两个同阶的拉丁方，如果33四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方与与 4阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有3个；个；5阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有4个；个；6阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有5个；个；数数学学上上已已经经证证明明：n 阶阶拉拉丁丁方方的的正正交交拉拉丁丁方方个数为：（个数为：（n1）个。个。1、拉丁方、拉丁方四阶正交拉丁方与 341、拉丁方、拉丁方 将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如 3 阶拉阶拉丁方可写为：丁方可写为：与与为正交拉丁方。为正交拉丁方。其它的正交拉丁方见其它的正交拉丁方见P236附表附表8。2、3水平正交表的构造水平正交表的构造 首先考虑两个首先考虑两个 3 水平因素水平因素A、B，把它们所有水平搭配都写出把它们所有水平搭配都写出来来 32 9个，个，按下面的方式排成两列按下面的方式排成两列：1、拉丁方 将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没353、4水平正交表水平正交表因素因素A、B两个两个4水平的全排列水平的全排列 4216个，构成基本列；个，构成基本列；三个正交拉丁方，按三个正交拉丁方，按1，2，3，4列分别按顺序排成列分别按顺序排成1列，共列，共3列，放在基本列右则，得列，放在基本列右则，得5列列16行矩阵。行矩阵。得表得表431，为，为L16（45）正交表正交表。3、4水平正交表因素A、B两个4水平的全排列 4216个，36四、混合型正交表的构造法四、混合型正交表的构造法 混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过“并列法并列法”改造而成。举典型的例子加以说明。改造而成。举典型的例子加以说明。例例8 混合型正交表混合型正交表 L8（424）的构造法。的构造法。解：解：（1）先列出正交表）先列出正交表 L8（424），），见见表表432。（2）取出）取出表表432中的中的1，2列，将数对（列，将数对（1，1）、）、（1，2）、）、（2，1）、（）、（2，）与单数字，）与单数字1，2，3，4依次对应，作为依次对应，作为 新表第新表第1列。列。（3）去掉去掉12的第的第3列列。交互作用。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次变为新表的列左移，依次变为新表的2，3，4，5列列。四、混合型正交表的构造法 混合型正交表可以由一37表表432 L8（27）正交表正交表其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。请自学其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。请自学例例9、例、例10、表432 L8（27）正交表其它正交表的构造法，与此法384.6 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。一、正交试验设计方差分析的步骤与格式一、正交试验设计方差分析的步骤与格式通过例题加以说明。通过例题加以说明。二、二、3水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析例例11 为了提高产量，需要考虑为了提高产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取和溶液浓度，每个因素都取3个水平，具体数值如个水平，具体数值如表表439所示。所示。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。的工艺条件。解：解：所有一级交互作用：所有一级交互作用：AB、AC、BC；自由度：自由度：fA （水平数水平数1）312 fB fC ；4.6 正交试验设计的方差分析本节用方差分析法对正交试39二、二、3水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析 fAB fA fB224 fBC fAC 各占两列。各占两列。共有共有9列，选用正交表列，选用正交表L27（313），），见见表表440所示。所示。m 个因素的试验（个因素的试验（m9）；）；试验次数（试验次数（n27）；）；试验结果试验结果分别为：分别为：x1，x2，xk，xn；每个因素有每个因素有na 个水平（个水平（na3）；）；每个水平做每个水平做a次试验（次试验（a9），），则则nana3 9 27。1、计算离差平方和、计算离差平方和（1）总离差平方和）总离差平方和ST记记（相当于例（相当于例11产量的平均值）产量的平均值）二、3水平正交设计的方差分析 fAB fA fB2401、计算离差平方和、计算离差平方和记为：记为：ST反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。两方面的原因：两方面的原因：因素水平变化；因素水平变化；试验误差。试验误差。（2）各因素离差的平方和）各因素离差的平方和 以因素以因素A为例为例SA，用用xij 表示表示A的系的系 i 水平第水平第 j 个试验结个试验结果（果（i1，2，3，na），（），（j1a）。）。1、计算离差平方和记为：ST反应了试验结果411、计算离差平方和、计算离差平方和记为：记为：Ki 第第 i 个水平个水平 a 次试验结果的和。次试验结果的和。1、计算离差平方和记为：Ki 第 i 个水平 a 次试验421、计算离差平方和、计算离差平方和 用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的交互作用，把它当成一个新的因素看待。如果交互作用占两列，交互作用，把它当成一个新的因素看待。如果交互作用占两列，则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。比如：则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。比如：（3）试验误差的离差平方和）试验误差的离差平方和 SE 设设 S因因+交交 为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和，为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和，因为：因为：所以：所以：1、计算离差平方和 用同样的方法可以计算其它因432、自由度计算、自由度计算各因素自由度：各因素自由度：两因素交互作用的自由度：两因素交互作用的自由度：试验误差自由度：试验误差自由度：见表见表441所示所示2、自由度计算各因素自由度：两因素交互作用的自由度：试验误差443、计算平均离差平方和（均方）、计算平均离差平方和（均方）MS 在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的情况。为了消除项的影响，引入平均离差平方和：情况。为了消除项的影响，引入平均离差平方和：见表见表见表见表4414414、求、求F 比比3、计算平均离差平方和（均方）MS 在计算各因455、对因素进行显著性检验、对因素进行显著性检验给出检验水平给出检验水平a a，以以Fa a（f因因，fE）查（查（P208）F分布表；分布表；比较若比较若F Fa a（f因因，fE），），说明该因素对试验结果的影响显著。说明该因素对试验结果的影响显著。F F0.010.01（f因因，fE）影响高度显著，影响高度显著，“”；F0.010.01（f因因，fE）F F0.050.05（f因因，fE）影响显著，影响显著，“”；F F0.050.05（f因因，fE）影响不显著。影响不显著。计算结果见计算结果见表表441、表、表442所示所示。5、对因素进行显著性检验给出检验水平a，以Fa（f因，fE）46三、三、2水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析 由于由于2水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。分析方法。1、一般分析法、一般分析法 2水平正交设计，各因素离差平方和为：水平正交设计，各因素离差平方和为：上式同样适用于交互作用项。上式同样适用于交互作用项。三、2水平正交设计的方差分析 由于2水平正交设47例例12 某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知，影响农药收率的因素有然是越大越好。据经验知，影响农药收率的因素有4个，个，每个每个 因素都是两水平的，具体参数见因素都是两水平的，具体参数见表表443a所示。考所示。考虑虑A、B的交互作用。选用正交表的交互作用。选用正交表L8（27）安排试验。按安排试验。按试验号依次进行试验。得出试验结果分别为（试验号依次进行试验。得出试验结果分别为（%）：）：86、95、91、94、91、96、83、88。试进行方差分析。试进行方差分析。解解 列出正交表列出正交表L8（27）和试验结果见和试验结果见表表443。说明：误差平方和说明：误差平方和SE SEST(S因因S交交)还可以用另一种算法计算还可以用另一种算法计算SESES空列空列S5列列S6列列5方差分析见方差分析见表表444。2、2水平正交表的耶茨算法水平正交表的耶茨算法（自学自学）例12 某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然48四、混合型正交一表的方差分析四、混合型正交一表的方差分析 与一般水平相同，与一般水平相同，注意各列水平数的差别！注意各列水平数的差别！说明：说明：试验结果试验结果试验次数试验次数每个水平试验次数每个水平试验次数第第 i 个水平试验结果的和个水平试验结果的和水平数水平数四、混合型正交一表的方差分析 与一般水平相同，49例例14 某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理，以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求处理，以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内，硬度越低越好，试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参范围内，硬度越低越好，试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度（数。考察的指标是洛氏硬度（HRc），），经分析研究，要考虑的因素经分析研究，要考虑的因素有有3个：个：退火温度（退火温度（A），），取取4个水平：个水平：A1：730，A2：760，A3：790，A4：820；保温时间（保温时间（B），），2个水平，个水平，B1：1h，B2：2h；冷却介质（冷却介质（C），），2个水平，个水平，C1：空气，空气，C2：水。选用水。选用混合正交表混合正交表L8（424）。）。A、B、C分别放在第分别放在第1，2，3列。列。试验结果及计算列于试验结果及计算列于表表447。方差计算与分析列于方差计算与分析列于表表448及表及表449中中。例14 某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需50五、拟水平法的方差分析五、拟水平法的方差分析 与一般方法无本质性的区别，与一般方法无本质性的区别，在计算拟水平列时要注意各水平在计算拟水平列时要注意各水平的重复次数不同的重复次数不同。例例15 钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如如表表450所示。所示。解：解：选取正交表选取正交表L9（34），），将因素将因素C虚拟虚拟1个水平。据经验知，个水平。据经验知，海鸥牌比海鸥牌比OP牌的效果好，故虚拟第牌的效果好，故虚拟第2水平（海鸥牌）安排在第水平（海鸥牌）安排在第1列，列，因素因素B、A、D依次安排在第依次安排在第2，3，4列，表已排满，进行试验，测列，表已排满，进行试验，测试结果列于试结果列于表表451右边。右边。方差计算与分析列于方差计算与分析列于表表452、表、表453。五、拟水平法的方差分析 与一般方法无本质性的区51六、重复试验的方差分析六、重复试验的方差分析 重重复复试试验验就就是是对对每每个个试试验验号号重重复复多多次次，这这样样能能很很好好地地估估计计试试验验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：（1）计算）计算K1，K2，时，要用各号试验重复时，要用各号试验重复 r 次的数据之和；次的数据之和；（2）计计算算因因素素离离差差平平方方和和时时，公公式式中中的的“水水平平重重复复数数 a 要要改改写写为为 “ar”。每个水平试验次数每个水平试验次数第第 i 个水平试验结果的和个水平试验结果的和水平数水平数试验次数试验次数重复试验次数重复试验次数（3）总总体体试试验验误误差差平平方方和和 SE 由由两两部部分分构构成成：第第一一类类误误差差，即即空空列列误差误差 SE1；第二类误差即重复试验误差第二类误差即重复试验误差 SE2。六、重复试验的方差分析 重复试验就是对每个试验52六、重复试验的方差分析六、重复试验的方差分析SESE1SE2，自由度自由度fEfE1fE2，SE2 的计算公式为：的计算公式为：fE2n（r）六、重复试验的方差分析SESE1SE2，自由度fE53例例16例例16 硅硅钢钢带带取取消消空空气气退退火火工工艺艺试试验验。空空气气退退火火能能脱脱除除一一部部分分碳碳，但但钢钢带带表表面面会会生生成成一一层层很很厚厚的的氧氧化化皮皮，增增加加酸酸洗洗的的困困难难欲欲取取消消这这道道工工序序，为为此此要要做做试试验验。试试验验指指标标是是钢钢带带的的磁磁性性，看看一一看看取取消消空空气气退退火火工工艺艺后后钢钢带带磁磁性性有有没没有有大大的的变变化化。本本试试验验考考虑虑2个个因因素素每每个个因因素素2个个水水平平，退退火火工工艺艺A，A1为为进进行行空空气气退退火火，A2为为取取消消空空气气退退火火；成成品厚度品厚度B，B1：0.2mm，B2：0.35mm。解解：选选用用L4（23）正正交交表表安安排排试试验验，每每个个试试验验号号重重复复5次次，试验结果与计算列于试验结果与计算列于表表454。方差分析与计算结果列于方差分析与计算结果列于表表455。例16例16 硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱除54七、重复取样的方差分析七、重复取样的方差分析 重重复复试试验验增增加加了了试试验验次次数数，这这样样会会使使试试验验费费用用增增加加，时时间间延延长长。如如果果试试验验得得出出的的产产品品是是多多个个，可可以以采采用用重重复复取取样样的的方方法法来来考考察察因因素素的的影影响响。重重复复取取样样和和重重复复试试验验在在计计算算 ST、S因因、SE 时时，方方法法是是一一样样的的。但但要要注注意意的的是是：重重复复取取样样误误差差反反映映的的是是产产品品的的不不均均匀匀性性与与试试样样测测量量误误差差（称称为为局局部部试试验验误误差差）。一一般般说说这这种种误误差差较较小小，应应该该说说不不能能用用它它来来检检验验各各因因素素水水平平之之间间是是否否存存在在差差异异，但但是是如如果果符符合合下下面面两两种种情情况况，可可以以把把重重复复取取样样得得出出的的误误差差平平方方和和 SE2 作作为为试试验误差。验误差。（1）正正交交表表的的各各列列全全部部排排满满，无无