人工智能课程模糊逻辑课件

模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑与模糊推理Motivationl一提到数学，人们自然会想到它是精确的一提到数学，人们自然会想到它是精确的(set)(set)。然而。然而精确数学却不能有效描述现实世界里普遍存在的模糊精确数学却不能有效描述现实世界里普遍存在的模糊想象，如想象，如“好与坏好与坏”，“长与短长与短”、“一大堆一大堆”，“一小撮一小撮”，“太冷太冷”，“太热太热”，“物美价廉物美价廉”，这，这些些“量量”在人们的头脑都有一个人们普遍接受的标准，在人们的头脑都有一个人们普遍接受的标准，利用这些模糊量非但没有影响人们的信息交流，反倒利用这些模糊量非但没有影响人们的信息交流，反倒能便于理解与记忆。能便于理解与记忆。l模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是一种通模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是一种通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具息的方法和工具.l模糊逻辑，不同于经典逻辑在真和假之间没有精模糊逻辑，不同于经典逻辑在真和假之间没有精确的边界，即从真到假之间的转变是逐渐，这个确的边界，即从真到假之间的转变是逐渐，这个过程通过隶属度函数来描述。过程通过隶属度函数来描述。l模糊并非来源于集合组成元素的随机性，而是来模糊并非来源于集合组成元素的随机性，而是来源于抽象思维和概念的不确定性及不精确本质。源于抽象思维和概念的不确定性及不精确本质。HistorylThe precision of mathematics（精确数学）（精确数学）owes its success in large part to the efforts of Aristotle（亚里（亚里斯多德）。斯多德）。lTheir efforts led to a concise theory of logic and mathematics.lThe“Law of the Excluded Middle”（排除中间）（排除中间）states that every proposition must either be True or False.lPlato反对这种非此即彼的思维方法，他认为在真与假之反对这种非此即彼的思维方法，他认为在真与假之间应该存在一种介于真与假之间的灰色地带的第三区域。间应该存在一种介于真与假之间的灰色地带的第三区域。lThere were strong and immediate objections（缺陷）（缺陷）.For example,Heraclitus（赫拉（赫拉 克利特）克利特）proposed that things could be simultaneously True and not True.Historyl一百多年前，罗素曾经指出过二元逻辑的局限性。一百多年前，罗素曾经指出过二元逻辑的局限性。lLukasiewicz(波兰科学家，卢卡谢维奇波兰科学家，卢卡谢维奇)对亚里斯多德的二值对亚里斯多德的二值逻辑进行改进。提出了多值逻辑。逻辑进行改进。提出了多值逻辑。lIn the early 1900s,Lukasiewicz described a three-valued logic.The third value can be translated as the term“possible,”and he assigned it a numeric value between True and False.lLater,he explored four-valued logics,five-valued logics,and declared that in principle there was nothing to prevent the derivation of an infinite-valued logic.HistorylKnuth(高德纳高德纳)proposed a three-valued logic similar to Lukasiewiczs.（卢卡谢维奇）卢卡谢维奇）lHe speculated(推测推测)that mathematics would become even more elegant than in traditional bi-valued logic.lHis insight was to use the integral range(区间区间)-1,0+1 rather than 0,1,2.HistorylLotfi Zadeh（扎德扎德）,at the University of California at Berkeley,first presented fuzzy logic in the mid-1960s.lZadeh developed fuzzy logic as a way of processing data.Instead of requiring a data element to be either a member or non-member of a set,he introduced the idea of partial set membership.(他首次提出他首次提出fuzzy logical，引入部分属于的思想，引入部分属于的思想)l1965年发表关于模糊集合理论的论文。年发表关于模糊集合理论的论文。l 1966年马里诺斯（年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。）发表关于模糊逻辑的研究报告。l 以后，扎德（以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。）又提出关于模糊语言变量的概念。l 1974年扎德（年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。）进行有关模糊逻辑推理的研究。l 扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起。扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起。Historyl模糊理论起源于美国，但是它在美国却因为传统的习惯力模糊理论起源于美国，但是它在美国却因为传统的习惯力量，发展并不顺利，同样在欧洲也受到一定程度的抵制。量，发展并不顺利，同样在欧洲也受到一定程度的抵制。西方人喜欢在精确问题上钻牛角尖，偏好亚里斯多德的二西方人喜欢在精确问题上钻牛角尖，偏好亚里斯多德的二元逻辑系统。东方人擅长兼蓄思维，西方人娴熟于分析推元逻辑系统。东方人擅长兼蓄思维，西方人娴熟于分析推理，这种文化沉淀上的差异也可以从对模糊逻辑的接受程理，这种文化沉淀上的差异也可以从对模糊逻辑的接受程度上反映出来。度上反映出来。l模糊是相对于精确而言的。对于多因素的复杂状况，模糊模糊是相对于精确而言的。对于多因素的复杂状况，模糊往往显示出更大的精确。过份精确还可能导致过于克板、往往显示出更大的精确。过份精确还可能导致过于克板、缺乏灵活性。如，我们到机场去接一位不认识的朋友，需缺乏灵活性。如，我们到机场去接一位不认识的朋友，需要知道的是对方的几个主要特徵，而不需要对他的高低胖要知道的是对方的几个主要特徵，而不需要对他的高低胖瘦精确到几尺几寸；有的人作演讲，按提纲讲要点，临场瘦精确到几尺几寸；有的人作演讲，按提纲讲要点，临场发挥，就可以做到疏而不漏；发挥，就可以做到疏而不漏；l水至清则无鱼，人至察则无友！水至清则无鱼，人至察则无友！Applicationl七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业方面的应用研究：七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业方面的应用研究：实现了第一个试验性的蒸汽机控制；实现了第一个试验性的蒸汽机控制；热交换器模糊逻辑控制试验；热交换器模糊逻辑控制试验；转炉炼钢模糊逻辑控制试验；转炉炼钢模糊逻辑控制试验；温度模糊逻辑控制；温度模糊逻辑控制；十字路口交通控制；十字路口交通控制；污、废水处理等。污、废水处理等。Application 八十年代日本情况：八十年代日本情况：列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能1114%1114%；汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）；汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）；港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制；港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制；家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空 调、电冰箱等）。调、电冰箱等）。Applicationl19871987年年,日本人研制成功新一代数字模糊微处理器日本人研制成功新一代数字模糊微处理器;l19901990年年,美国加美国加 利福尼亚的利福尼亚的公司推出第二代数字模糊微处理器公司推出第二代数字模糊微处理器110;110;l19921992年年,德国西德国西 门子公司宣布第三代数字模糊微门子公司宣布第三代数字模糊微处理器处理器Fuzzy 166Fuzzy 166研制成功研制成功,从而标志着模糊控制从而标志着模糊控制理论、模糊控制系统应用和计算机的结合已进入理论、模糊控制系统应用和计算机的结合已进入成熟的实用阶段成熟的实用阶段.模糊逻辑的特点模糊逻辑的特点 l模糊逻辑是界于传统人工智能的符号推理和传模糊逻辑是界于传统人工智能的符号推理和传统控制理论的数值计算之间的方法。统控制理论的数值计算之间的方法。l它不依赖于模型，用语言来表示变量，用规则它不依赖于模型，用语言来表示变量，用规则进行模糊推理，处理事物。进行模糊推理，处理事物。l承认真值承认真值(True)(True)与假值与假值(False)(False)的中间过渡性，的中间过渡性，认为事物在形态和类属方面亦此亦彼，模棱两认为事物在形态和类属方面亦此亦彼，模棱两可，相邻中介之间是相互交叉和渗透的。可，相邻中介之间是相互交叉和渗透的。模糊集定义模糊集定义经典集合经典集合模糊集合模糊集合定义：设在论域定义：设在论域U上给定一个映射上给定一个映射 CA:U0,1 则：则：集合集合CA=u|CA(u)=1,u U集合集合A的特征函数为：的特征函数为：定义：设在论域定义：设在论域U上给定一个映射上给定一个映射 A:U0,1 u|A(u)则则:A称作论域称作论域U上的模糊集，上的模糊集，A(u)称称为为A的隶属函数。的隶属函数。隶隶属属函函数数为为0或或1的的特特例例Bivalence and FuzzCrisp set vs.Fuzzy setA traditional crisp setA fuzzy setCrisp set vs.Fuzzy set模糊集概念模糊集概念 举例举例经典集合经典集合模糊集合模糊集合(1)U为离散的为离散的(1)U为离散的为离散的 8 7 6 5 4 3 2 14cmCA长度大于长度大于4cm的线段的线段 则：则：CA=8,7,6,5 即：即：A长线段长线段 则：则：A=?根据线段越根据线段越短属于长线段的隶属度递减可以短属于长线段的隶属度递减可以设：设：8 7 6 5 4 3 2 14cm 1 2 3 4 5 6 7 81 1 2 3 4 5 6 7 81模糊和概率模糊和概率 是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？性的概念？Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值和客观测量值(赌博为例，赌徒总认为他所认为事件概率大赌博为例，赌徒总认为他所认为事件概率大)Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的他方法都是不充分的(直接指向模糊理论直接指向模糊理论)随机和模糊在概念和理论上都是有区别的随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配律合和命题的结合律、交换律、分配律 区别：对待区别：对待 。经典集合论，。经典集合论，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在代表概率上不可能的事件。而模糊建立在Randomness vs.FuzzinessExample1:There is a 20%chance to rain.(probability&objectiveness，客观，客观)Its a light rain.(fuzziness&subjectiveness，主观，主观)Example 2:Next figure will be an ellipse or a circle,a 50%chance for every occasion.(probability&objectiveness)Next figure will be an inexact ellipse.(fuzziness&subjectiveness)l1orAn inexact ellipseSets and Fuzzy SetsClassical sets are also called crisp(sets)(易碎集和易碎集和).(列举列举)Lists:A=apples,oranges,cherries,mangoes A=a1,a2,a3 A=2,4,6,8,(定义定义)Formulas:A=x|x is an even natural number A=x|x=2n,n is a natural number (特征函数特征函数)Membership or characteristic function Classical setsl用特征函数可以表示一个集合。例如，一个学用特征函数可以表示一个集合。例如，一个学习小组共习小组共6人人A(女女),B(男男),C(男男),D(女女),E(男男),F(男男),则男生和女生的集合可以分别表示为。则男生和女生的集合可以分别表示为。l男生男生=0/x1+1/x2+1/x3+0/x4+1/x5+1/x6l女生女生=1/x1+0/x2+0/x3+1/x4+0/x5+0/x6经典集合的运算(并、交、补、差)经典集合的运算经典集合的运算例例lS=a,b,c,d,A=a,b,c,B=b,c,dl使用隶属度，使用隶属度，A,B两个集合可表示为：两个集合可表示为：lA=1/a+1/b+1/c+0/dlB=0/a+1/b+1/c+1/dlAUB=max(1,0)/a+max(1,1)/b+max(1,1)/c+max(0,1)/dlAC=(1-1)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-0)/dlBC=(1-0)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-1)/d=1/a+0/b+0/c+0/dlA-B=min(1,1)/a+min(1,0)/b+min(1,0)/c+min(0,0)/d 1/a+0/b+0/c+0/d隶属度函数隶属度函数l给定论域给定论域U上的一个模糊集合上的一个模糊集合F用一个在闭区间用一个在闭区间0，1上取值的隶属度函数上取值的隶属度函数 表示，即表示，即u隶属集合隶属集合F的的程度，即：程度，即：常见隶属度函数定义为：常见隶属度函数定义为：lAfuzzysetAinXisexpressedasasetoforderedpairs:UniverseoruniverseofdiscourseFuzzysetMembershipfunction(MF)A fuzzy set is totally characterized by aA fuzzy set is totally characterized by amembership function(MF).membership function(MF).模糊集合表示模糊集合表示l对于离散论域对于离散论域。模糊集合的表示方法和经典集合表示方法的相同：可用。模糊集合的表示方法和经典集合表示方法的相同：可用特征函特征函数法（序偶法）、数法（序偶法）、扎德表示法扎德表示法、向量法表示、向量法表示。l假设论域假设论域X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,设设A表示一个接近于表示一个接近于0的模糊集合，各元素的隶的模糊集合，各元素的隶属度函数依次为属度函数依次为=1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,则则A可表示为可表示为 序偶法序偶法 (0，1.0),(1，0.9),(2,0.8),(3,0.7),(4,0.6),(5,0.5),(6,0.4),(7,0.3),(8,0.2),(9,0.1)扎德表示法扎德表示法：向量表示法向量表示法:1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1注：用扎德方法表示时，隶属度函数等于注：用扎德方法表示时，隶属度函数等于0 0的项可以省略。用向量表示时，隶属度函数等于的项可以省略。用向量表示时，隶属度函数等于0 0的项不可以省略。的项不可以省略。模糊集合表示模糊集合表示l如果论域如果论域U是实数域，即是实数域，即U，论域中有无穷多个连续的点，该论域称，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域为连续论域,连续论域上的模糊集合可表示为连续论域上的模糊集合可表示为:l这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中每个元素这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中每个元素 都都定义了相应的隶属函数定义了相应的隶属函数.l若以年龄作为论域若以年龄作为论域,并设并设X=0，200。设。设O表示模糊集合表示模糊集合“年老年老”，其隶属度函数为：其隶属度函数为：l则年老集合可表示为：则年老集合可表示为：模糊集两要素：模糊集两要素：论域、隶属度函数论域、隶属度函数0 x50lX=0,1,2,3,4,5,6为家庭可以拥有孩子的数目为家庭可以拥有孩子的数目模糊集合模糊集合A=“家庭拥有孩子最明智的个数家庭拥有孩子最明智的个数”A=(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)l令令X=R+表示人类可能年龄集合，模糊集合表示人类可能年龄集合，模糊集合B=“50岁岁左右左右”可以表示为可以表示为B=x,(x)其中其中(x)=1/(1+(x-50)/10)4)幂集、全集、空集幂集、全集、空集论域论域U中模糊子集的全体，称为中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作中的模糊幂集，记作F(U)，即：即：对于任一对于任一 ，若，若 ，则称，则称A为空集为空集 ，若若 ，则称，则称A=U为全集为全集。几个定义几个定义l支集支集(0)x|A(x)0l核核(=1)x|A(x)=1l正态性正态性(=1，存在，存在),x|A(x)=1非空非空l交叉点交叉点(=0.5)，x|A(x)=0.5l（强）截集，（强）截集，A=x|A(x)l凸性凸性l模糊数：实轴，满足正态和凸模糊数：实轴，满足正态和凸l对称对称左开，右开，闭左开，右开，闭l模糊集合模糊集合A是左开的，如果是左开的，如果 和和l模糊集合模糊集合A是右开的，如果是右开的，如果 和和l闭，闭，和和l对于一个正态的模糊集合和凸的模糊集合，带宽或宽对于一个正态的模糊集合和凸的模糊集合，带宽或宽度定义为度定义为Width(A)=|x1-x2|其中其中x1和和x2的隶属度为的隶属度为0.5例例模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算 模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算定理 模糊集运算的基本定律：设U为论域，A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：（1）、幂等律（2）、结合律（3）、交换律（4）、分配律（5）、同一律（6）、零一律（7）、吸收律（8）、德.摩根律（9）、双重否认律模糊集合的几何图示：模糊集合的几何图示：l将论域X的所有模糊子集的集合模糊幂集合看成一个超立方体，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素x1，x2所有可能的模糊子集。四个顶点代表x1，x2的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。越靠近模糊立方体的中点，A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点，A就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。Proposition:A is properly fuzzy iff iff模糊集合的大小基数A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X,In,M）定义了模糊理论的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。模糊集合之间的距离模糊集合之间的距离两个模糊集合A和B的距离：距离就是欧几里德距离。最简单的距离就是模糊汉明距离，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉明距离，基数M可以重写成距离的形式：模糊集合的模糊程度模糊熵A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式：常常见见一一维维隶隶属属度度函函数数钟型隶属度函数钟型隶属度函数l改变c和a可改变隶属度函数的中心和宽度，通过b来控制交叉点处的斜度。Sigmoid隶属度函数隶属度函数l此类函数常用于人工神经网络。l参数a定义左开和右开。适合用来描述“非常大”或“非常负”。(b)和(d)的作用在于构造闭且非对称的隶属度函数。二维隶属度函数二维隶属度函数二维隶属度函数二维隶属度函数l一维扩展(CylindricalExtension)Base set ACylindrical Ext.of A2D MF Projection(2D MF Projection(二维投影二维投影二维投影二维投影)Two-dimensionalMFProjectiononto XProjectiononto Yproject.m通过极小极大运算产生二维隶属度函数通过极小极大运算产生二维隶属度函数Trap(x)=trapezoid(x;-6,-2,2,6)Trap(y)=trapezoid(y;-6,-2,2,6)Bell(x)=bell(x;4,3,0);bell(y)=bell(y;4,3,0)隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性遵守的基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合；例如“速度适中”的隶属度函数在一定范围内或者一定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性从最大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必须是单调递减的，而不许有波浪性总之，隶属度函数呈单峰馒头形(凸模糊集合，一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线)凸模糊集合非凸模糊集合2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的 模糊变量的标称值选择一般取39个为宜，通常取奇数（平衡）在“零”、“适中”或者“合适”集合的两边语言值通常取对称（如速度适中，一边取“速度高”，一般另一边取“速度低”，满足对称）。3、隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠 在相同的论域上使用的具有语义顺序关系的若干标称的模糊集合，应该合理的排列。下面的排列是错误的。适中高很高032速度交叉越界的隶属度函数示意图隶属度函数是模糊控制的应用基础如何确定隶属函数?初步确定隶属函数自学习修改和完善隶属函数的选择方法模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法(1)模糊统计法 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。模糊集如：年轻人清晰集“1730岁的人“、2535岁的人”，对于同一个模糊集可以有不同的清晰集。模糊统计法计算步骤：N越大，隶属频率就越稳定，但是计算量比较大。（2）例证法 例证法由已知的有限个隶属函数的值，来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。（3）专家经验法 专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。（4）二元对比排序法 二元对比排序法是通过多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来确定这些失去对该特征的隶属函数的大体形状。模糊控制中的隶属函数图形大概有以下三大类：1、左大右小的偏小型下降函数（Z函数）2、左小右大的偏大型上升函数（S函数）3、对称型凸函数（II函数）x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)图 Z函数图 S函数xx01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)01.0u(x)图 II函数 关系关系 描写事物之间联系的数学模型之一就是关系。如：例如x对y有余弦关系（y=cosx）；a对b有大小次序关系（ab）。在现代数学中，关系常用集合来表现。在集合A与集合B中各取出一元素排列成序对（或称序偶），所有这样的序对构成的集合叫做A和B的直积集，记为：AB（a，b）|aA，bB。序对(a，b)是和顺序有关的，即（a，b）（b，a），所以ABBA注意：关系是有向的模糊关系模糊关系模糊关系是普通关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关系的多少。在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）-100来表示标准体重，这就给出了身高A与体重B的普通关系，若A=140，150，160，170，180B=40，50，60，70，80身高与体重的普通关系如下表所示：但人胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如下表所示的模糊关系。显然，它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系模糊关系模糊关系l例l二元模糊关系是X*Y上的模糊集合，将X*Y上的每个元素映射为0到1之间的隶属度。l定义设X和Y是两个论域，则关系R=(x,y),(x,y)常见的二元关系x接近于y；（x,y是数字）x取决于y；（x,y是事件）x和y看上去很相似（x,y是人或物体)如x是大的，则y是小的(x是观察到的数，Y为采取的行动推理）模糊关系：U、V是论域，则称集合UV(u,v)|u U,v V为笛 卡儿积，以UV为域，设R F(UV)，它的隶属函数：就确定了从U到V的模糊关系记做：注意：关系是有向的 当U和V是有限有限的时候，可以用行表示U，列表示V则域UV上的关系R可以表示为：1000.9100.90.80.5 R张三 李四 王二麻张三 李四 王二麻模糊矩阵：设矩阵 R=(rij)mn rij0,1 则称R为模糊矩阵特别当rij0,1则称R为布尔矩阵。例例X=Y=R+，且R=“y远远大于x”，R的隶属度函数主观定义为：如果x=3，4，5，Y=3，4，5，6，7则关系矩阵：xy例如：例如：当U=V=张三、李四、王二麻，则：UV(张三,张三),(张三,李四),(张三,王二麻),(李四,李四),(李四,张三),(李四,王二麻),(王二麻,王二麻),(王二麻,张三),(王二麻,李四)模糊关系 R=(1,0,0,1,0.9,0,0.5,0.9,0.8)，表示三者之间的信 任关系。张三王二麻李四 100010.50.90.90.81 相等2 包含3 并4 交5 余R1:X与Y具有血缘关系；R2：X与Y具有兄弟关系，R3：X与Y同是某人的儿子模糊关系复合运算模糊关系复合运算l在日常生活中，两个单纯关系的组合，可以构一种新的合成关系。例如，有u,v,w三个人，若u是v的妹妹，而v又是w的丈夫，则与就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成运算符。l扎德所提出极大-极小复合模糊关系复合运算模糊关系复合运算l极大-乘积复合例：例：lR1=“x与y相关”lR2=“y与z相关”lX=1，2，3，Y=y1,y2,y3,y4,Z=a,blR1=R2=lR3（2，a）=R1。R2（2，a）=极大-极小max(min(0.4,0.9),min(0.9,0.7)lR3（2，a）=R1。R2（2，a）=极大-乘积lMax(0.4*0.9,0.9*0.7)X=2Z=a123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7l假设有两个模糊关系的合成如下：l则模糊关系P 与模糊关系Q 的合成为：语言变量语言变量l采用近似的方式采用模糊集合而不精确数字来表示和概括信息。（如年纪，身高，红色）语言变量语言变量l语言变量。可可用一个有五个元素的集合(x,T(x),X,G,M)来表征，其中x是语言变量名；T(x)为语言变量x的语言值或语言术语集合；X为语言变量x的论域；G为产生T(x)中术语的句法规则，用于产生语言变量值的；M是赋予每个语言值A以含义M(A)的语法规则，即隶属度函数。T(年纪）=年轻，不年轻，不很年轻,中年，不是中年,年老，非常年老,不年轻也不老,.语言变量语言变量lT（年纪）中的每一个术语可表征为论域X=0，100上的模糊集合，通常我们用“年纪是青的”来表示给语言变量“年纪”赋以语言值“年轻“。相反，当将年纪作为一个数值变量，使用表达式”年纪=20”来赋予数值变量“年纪”以数值20。语言变量语言变量句法规则：通过否定词（不）或程度词（非常、或多或少）来修饰几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。压缩与扩张算子K1,压缩（很）；kB表示X*Y上的模糊关系R，则由“x是A/”和模糊规则“如果X是A，则Y是B”导出的模糊集合B/定义为：对于单一前件的单一规则模糊推理模糊推理l对于多个前件的单一规则l具有两个前件的模糊if-then规则通常写为“如果x是A，y是B，则z是C”，GMP（广义假言推理）相应的问题为：前提1（事实）x是A/，y是B/前提2（规则）如果x是A，y是B，则z是C后件（结论）z是C/。2.多前提单规则上式的前半部分称为激励程度或满足度，表示前件部分被满足的程度。3)多前提多规则隶属函数的计算：模糊推理模糊推理l前两部分称为激励强度和饱和度，表示规则前件部分被满足的程度。l模糊推理过程可分为四步1.计算匹配度2.计算激励度（某个规则激励程度）3.对规则的后件作用激励强度，生成有效的后件的MF表示在一个模糊隐含句中4.综合所有的有效后件，求得总输出MF模糊推理系统模糊推理系统l模糊推理系统是建立在模糊集合理论，模糊if-then规则和模糊推理等概念基础之上的先进的计算框架。l模糊推理系统包括三部分：规则库；数据库，所有隶属度函数；推理机制。模糊推理系统单点模糊化非单点模糊化去模糊化去模糊化l通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合或者隶属函数，但在实际应用中，特别是在模糊逻辑控制中，必须要用一确定的值才能去控制实际的系统。在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊判决，也称清晰化计算。l解模糊判决通常有下述几种方法，不同的方法所得到的结果也是不同的。理论上用重心法比较合理，但是计算比较复杂，故在实时性要求高的系统不采用这种方法。最简单的方法是最大隶属度方法，这种方法取所有模糊集合或者隶属函数中隶属度最大的那个值作为输出，但是这种方法未顾及其它隶属度较小的那些值的影响，代表性不好，所以它经常用于简单的系统。介于这两者之间的还有各种平均法：如加权平均法、隶属度限幅元素平均法等。重心法重心法l所谓重心法(centerofgrevity,简称COG)就是取模糊隶属度函数曲线与横坐标轴围成面积的重心作为代表点。理论上说，我们应该计算输出范围内一系列连续点的重心，即：面积等分法面积等分法l面积等分法满足：其中极大平均法极大平均法l极大平均法ZMOM：ZMOM使MF达到极大值的z的平均值：其中极大最小法与极大最大法极大最小法与极大最大法l极大最小法ZSOM：ZSOM使得隶属度函数极大化的最小的z。l极大最大法ZLOM：ZLOM使得隶属度函数极大化的最大的z。去模糊化图示例例1一个具有三条规则的单输入，如果x小则y小；如果x中则y中；如果x大则y大。使用极大极小复合和中心去模糊化使用极大极小复合和中心去模糊化例例1例例2 两输入两输入l规则：l如果X小y小则Z负大。l如果X小y大则Z负小。l如果X大y小则Z正小。l如果X大y大则Z正大。例例2使用极大极小复合和中心去模糊化使用极大极小复合和中心去模糊化例例2Fuzzy Logic SystemlThesubway(地铁)inSendai(仙台),JapanusesafuzzylogiccontrolsystemdevelopedbySerjiYasunobuofHitachi(日立).lIttook8yearstocompleteandwasfinallyputintousein1987.Control SystemlBasedonrulesoflogicobtainedfromtraindriverssoastomodelrealhumandecisionsascloselyaspossible(通过向火车司机学习，来获得和人类决策尽可能相同的决策规则)lTask:Controlsthespeedatwhichthetraintakescurvesaswellastheaccelerationandbrakingsystemsofthetrain(控制火车在转弯时的速度,以及加速和停车时的速度).模糊控制过程模糊控制过程 要实现语言控制的模糊逻辑控制器，就必须解决三个基本问题:第一:先通过传感器把要监测的物理量变成电量，再通过模数转换器转换成模糊集合的隶属函数，这一步就称为精确量的模糊化或者模糊量化，其目的是把传感器的输入转换成知识库可以理解和操作的变量格式。第二:根据有经验的操作者或者专家的经验定出模糊控制规则，并进行模糊逻辑推理，以得到一个模糊输出集合即一个新的模糊隶属函数，这一步称为模糊控制规则形成和推理，其目的是用模糊输入值去适配控制规则，为每一个控制规则确定其适配的程度，并且通过加权计算合并那些规则的输出。第三:根据模糊逻辑推理得到的输出模糊隶属函数，用不同的方法找一个具有代表性的精确值作为控制量，这一步称为模糊输出量的解模糊判决；其目的是把分布范围概括合并成单点的输出值，加到执行器上实现控制。模糊控制器基本结构模糊控制器基本结构ut是被控对象的输入，yt是被控对象的输出，st是参考输入，et=st-yt是误差。它根据误差信号et产生合适的控制作用ut，输出给被控对象。模糊化接口模糊化接口一.模糊化接口（Fuzzification）这部分的作用是将输入的精确量转化成模糊化量。其中输入量包括外界的参考输入，系统的输出或状态等。模糊化的具体过程如下：（1）首先对这些输入量进行处理以变成模糊控制器要求的输入量。（2）将上述已经处理过的输入量进行尺度变换，使其变换到各自的的论域范围。（3）将已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理，使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合来表示知识库知识库知识库中包含了具体应用领域中的知识和要求的控制目标。它通常由数据库和模糊控制规则库两部分组成。（1）数据库主要包括各语言变量的隶属度函数，尺度变换因子以及模糊空间的分级数等。（2）规则库包括了用模糊语言变量表示的一系列控制规则。他们反映了控制专家的经验和知识。模糊推理模糊推理 l模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力。该推理过程是基于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的解模糊接口解模糊接口清晰化（解模糊接口）清晰化的作用是将模糊推理得到的控制量（模糊量）变换为实际用于控制的清晰量。它包含以下两部分内容：（1）将模糊的控制量经清晰化变换变成表示在论域范围的清晰量。（2）将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变成实际的控制量。装卸站台举例：货车倒车S3S2S3S3S3B1S1S2S3S2B2B2CE S2S2B2B3B2B1S1B3B3B3B2B3B2S2S3S2S3CEB1B2B3S2S1CEB1B2规则：规则：x=6x=14数！必须规定它们的隶属函和对于输入xjx=6x=14推理举例:max-min乘积总的输出模糊集合总的输出模糊集合Clustering(聚类）聚类）lREMARKS:(1)Thedataset,inthecaseofstudentswouldincludesuchthingsasage,school,income of parents,number of years as student,marital status 数据集数据集l(2)Classicalclusteranalysiswouldpartitionthesetofstudent(withrespecttotheircharacteristics;thatis,theitemsinthedataset)intodisjointsetsPisothatwewouldhave:lWhatdoes“similar”mean?LeastsquareddifferencelMaximumpair-wisedistancelHowmanyclasses“should”therebe?lSometimestheproblemwilldictate;e.g.,classifyinglettersornumeralslSometimesthereisnocleara prioriknowledge;e.g.,theoperationalstatesofasatellite,airplaneCentral IssuesK-means聚类聚类K-means聚类聚类FCM（fuzzy c-means)FCM（fuzzy c-means)FCM（fuzzy c-means)Rows of U(Membership Functions)（fuzzy c-means)模糊模式识别模糊模式识别模式识别：对某个具体对象识别它属何类的问题，例如指纹识别、角膜识别、车牌号识别、卫星军事设施识别等等。模糊模式识 由于或者对象的描述具有模糊性或者对象的特征 具有模糊性，对于这种对象，识别它的类别的问题。例如：几何图形识别、手写字体识别。模糊模式识别模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算 贴近度的原则性定义贴近度的原则性定义要对一个对象进行识别必须能够计算对象的特征和类别的特征的贴近度，当模糊对象、类别的特征采用模糊集合表示的时候，就成为模糊集合之间的贴近度的计算了。模糊集合的贴近度的原则性定义：（采用一般数学描述形式）设A、B、C F(U)，若映射 N:F(U)F(U)0,1满足：1 N(A,B)=N(B,A);2 N(A,A)=1,N(U,)=0;3 若A B C,则N(A,C)N(A,B)N(B,C).则称N(A,B)为F集A与B的贴近度.N称为F(U)上的贴近度函数。模糊模式识别模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算 一些具体计算（一些具体计算（1）U=u1,u2,unU为实数区间a，b1海明贴近度U1AB0 u1.un A(u)-B(u)U=u1,u2,unU为实数区间a，b2欧几里得贴近度模糊模式识别模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算 一些具体计算（一些具体计算（2）3测度贴近度模糊模式识别模糊模式识别模糊集合之间贴近度的数学计算 一些具体计算定义（一些具体计算定义（3）U10(AB)(u)U10(AB)(u)模糊模式识别原则模糊模式识别原则1最大隶属原则识别U的某个元素属于哪个已知模糊集合（概念）设Ai F(U)(i1,2,n)对于u0U,若存在k使得 Ak(u)=maxA1(u0),A2(u0),An(u0)则认为u0隶属于Ak 2 择近原则识别F(U)某个元素属于哪个已知模糊集合（概念）设Ai F(U)(i1,2,n)对于BF(U),若存在k使得 N(Ak,B)=max N(A1,B),N(A2,B),N(An,B)则认为B与Ak为一类 模糊模式识别举例模糊模式识别举例 手写文字的识别1 方格矩阵法：10001100011000111111100011000110001H=(11)5=(1111111111111)X=(111110.400000.40.10.70.60.1111110000100.40.50.2110.90.911)X?11111100001000011111000010000111111111110.400000.40.10.70.60.1111110000100.40.50.2110.90.911Fuzzy image processinglFuzzyContrastAdjustmentlSubjectiveImageEnhancementlFuzzyImageSegmentationlFuzzyEdgeDetectionFuzzyedgedetectionElselFuzzyContrastAdjustmentlSubjectiveImageEnhancementlFuzzyImageSegmentationlFuzzyEdgeDetection