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八年级全等三角形辅助线的作法红安县 马井中学 杨勇系列微课八年级全等三角形辅助线的作法红安县 马井中学 杨勇系1八年级全等三角形辅助线的作法第一讲 截长补短法红安县 马井中学 杨勇八年级全等三角形辅助线的作法 第一讲 截长补短法红安县 马井2一、截长补短一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等分析：要证AB=AC+CD，此三条线段都不在同一直线上可以有截长和补短两条思路。一、截长补短分析：要证AB=AC+CD，此三条线段都不在同3EE4E证法证法1 1：延长：延长ACAC到点到点E E使得使得CE=CD,CE=CD,则则E=CDEE=CDE ACB=2E,ACB=2E,又又 ACB=2BACB=2B B=E,B=E,又又ADAD平分平分BAC,BAC,1=21=2 在在ABDABD和和AEDAED中中 B=E B=E（已证）（已证）1=2 1=2（已知）（已知）AD=AD AD=AD（公共边）（公共边）ABDAED ABDAED（AASAAS）AB=AE AB=AE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）又又AE=AC+CE,CE=CDAE=AC+CE,CE=CDAB=AE=AC+CD,AB=AE=AC+CD,即即AB=AC+CDAB=AC+CDE证法1：延长AC到点E使得CE=CD,则E=CDE5FF6F证法2：在AB上截取AF=AC由SAS易证AFDACD 则CD=FD,C=AFD,又ACB=2B则AFD=2B又AFD=B+BDFBDF=BFD=FBAC=AF,FD=FB,FD=CD,AB=AF+FB=AC+CD,即AB=AC+CD F证法2：在AB上截取AF=AC7练习练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分8练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD证明：证明：在AC上截取AF=AE，连接OFAD、CE分别平分BAC、ACB，ABC=60BAC+ACB+B=180（三角形内角和定理）则1+2=60（角平分线性质），4=6=1+2=60（三角形外角性质）显然，AEOAFO（SAS），5=4=60(全等三角形性质)，7=180（4+5）=60（平角性质）在DOC与FOC中，6=7=60（已证），2=3(已证)，OC=OC（公共边）DOCFOC（ASA），CF=CD（全等三角形性质）AC=AF+CF=AE+CD（等量代换）练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分9注意：截长补短不仅适用于线段之间，也适用于角之间。一般地，当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截取一部分使之与一个小角相等；或将小角扩大使其与大角相等注意：截长补短不仅适用于线段之间，也适用于角之间。一般地，当10 11？12PE=PD（已证）CD=AECD=AE（已证）PE=PD（已证）CD=AE（已证）13第一讲 截长补短法红安县 马井中学 杨勇谢谢观赏 第一讲 截长补短法红安县 马井中学 杨勇14八年级全等三角形辅助线的作法第二讲 中线倍长法红安县 马井中学 杨勇八年级全等三角形辅助线的作法 第二讲 中线倍长法红安县 马井15二、中线倍长二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路例3已知ABC中，AD是其BC边上的中线。(1)求证：|AB-AC|2ADAB+AC(2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上的中线的取值范围.分析：从此不等式可以看出非常像三角形的三边关系，因此我们需要构造一个以AB、AC及2AD为边的三角形，所以我们就要加倍延长中线AD到点E使得AE=2AD,连接BE，若证得BE=AC,则问题得证。第（2）问则根据第一问的关系可以直接写出AD的范围。二、中线倍长分析：从此不等式可以看出非常像三角形的三边关系16（1）证明）证明：如图所示，延长AD至E，使DE=ADAD是BC边上的中线，BD=CD又ADC=EDB（对顶角相等）ADCEDB（SAS）BE=AC(全等三角形性质)在ABE中|AB-AC|AEAB+AC（三角形三边关系性质定理）即|AB-AC|2ADAB+AC (2)解：解：由（1）知7-52AD7+51AD6例3已知ABC中，AD是其BC边上的中线。(1)求证：|AB-AC|2ADAB+AC(2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上的中线的取值范围.（1）证明：如图所示，延长AD至E，使DE=AD17练习3.已知:如图ABC中，CD=AB,BAD=BDA,AE是其BD边上的中线。求证：AC=2AE18例4已知：如图点E是BC的中点，BAE=CDE.求证：AB=CDDE后，DE后，19证明证明：如图所示，延长DE至F，使DE=EF则易证DECFEB(SAS)DC=BF,D=F(全等三角形性质)又D=BAEBAE=FAB=BF又DC=BFAB=CD例4已知：如图点E是BC的中点，BAE=CDE.求证：AB=CD证明：如图所示，延长DE至F，使DE=EF2021小结：在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，证明全等时常见的两种辅助线1.截长补短：当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法；当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截取一部分使之与一个小角相等；或将小角扩大使其与大角相等2.倍长中线：三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路；小结：在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，证明全等时常见的22第二讲 中线倍长法红安县 马井中学 杨勇谢谢观赏 第二讲 中线倍长法红安县 马井中学 杨勇23
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