微积分第二章极限与连续课件

极限的产生过程极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的对无限的恐惧恐惧”，他们避免明显的，他们避免明显的“取极限取极限”，而是借助于间接证，而是借助于间接证法法归谬法来完成有关的证明。归谬法来完成有关的证明。微积分I 第二章 极限与连续2024/5/241极限的产生过程极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历微积分I 第二章 极限与连续到了到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。分的社会背景。2024/5/242微积分I 第二章 极限与连续到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在微积分I 第二章 极限与连续 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击。到了怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。到了对极限作出过各自的定义。到了19世纪，法国数学家柯西在世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。2024/5/243微积分I 第二章 极限与连续 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小微积分I 第二章 极限与连续我国春秋战国时期的哲学名著我国春秋战国时期的哲学名著庄子庄子记载着惠施的一句名言记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。直观上体现了极限思想。因此，极限是事物发展的一中趋势，只需要无限接近即可，因此，极限是事物发展的一中趋势，只需要无限接近即可，不必相等。因此，在这一章里不必相等。因此，在这一章里,我们将建立极限的基本概念，我们将建立极限的基本概念，讨论极限的基本性质与计算方法讨论极限的基本性质与计算方法,在此基础上介绍连续函数的在此基础上介绍连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质概念和闭区间上连续函数的性质.2024/5/244微积分I 第二章 极限与连续我国春秋战国时期的哲学名著庄子第二章、极限与连续第二章、极限与连续第一节：数列的极限一一.数列概念数列概念二二.数列极限数列极限三数列极限的性质三数列极限的性质第二章、极限与连续第一节：数列的极限一.数列概念二.数列一一.数列概念数列概念定义定义2.1 是定义在正整数集合上的函数,当自变量n 按正整数的顺序取值时,称函数值 相应排列成的一串数为数列数列,简记为 f(n),f(n)叫做数列的一般项(或通项).数列中的每个数叫做数列的项,第n项例例1：例例2：例例3：微积分I 第二章 极限与连续2024/5/246一.数列概念定义2.1 是定义在正整数集合上的函数数0,此时,我们就说数列 yn 以 0为极限.二二.数列极限数列极限 对于数列 yn,我们需要研究的问题是:当n无限增大时(记为n ),数列的一般项 yn 的变化趋势.特别地,当n无限增大时,如果 yn 能与某个确定的常数a无限接近,则称常数a为数列 yn 当 n 时的极限.,不难看出,当n 时,yn 无限地趋近于常考察数列与常数 0的接近程度可用2024/5/247微积分I 第二章 极限与连续数0,此时,我们就说数列 yn 以 0为极限.二无论给定多么小的正数,在 n无限增大的变化过程中,总有那么一个时刻N,在这个时刻以后（即nN 或 n 充分大以后）,由此可见,对于数列 都小于那个正数.2024/5/248微积分I 第二章 极限与连续无论给定多么小的正数,在 n无限增大的变化过程中,总有那要使则当 n10 时,都能满足与0的距离小于 即对于第10项 若再取一个更小的正数 要使则当 n100时,即自第100项后的任一项y101,y102,都满足 来表示.若令小于某个正数y11,y12,都能满足以后的任一项2024/5/249微积分I 第二章 极限与连续要使则当 n10 时,都能满足与0的距离小于 即对于第1意给定的 ,总存在正整数N,当nN时,不等式如果不存在这样的常数,则称数列yn没有极限,或者称数列yn是发散发散的.定义定义2.2 设 yn 为一数列,如果存在常数 对于任恒成立,则称常数 是数列 yn 当n趋于无穷大时的极限,或称yn收敛于 记为2024/5/2410微积分I 第二章 极限与连续意给定的 ,总存在正整数N,当nN时例1:用极限定义证明：证明证明 对任意给定的 ,要使不等式当nN时,恒有故成立,只需则对于任意给定的 即可.若取2024/5/2411微积分I 第二章 极限与连续例1:用极限定义证明：证明 对任意给定的 注注 (1)在数列极限定义中在数列极限定义中,可以任意给定是很重要可以任意给定是很重要 的的,如果让正数如果让正数任意小任意小,则不等则不等 式式充分表达出充分表达出yn 与与a无限接近的意思无限接近的意思.(2)正整数正整数N与与有关有关,随着随着的给定而可选定的给定而可选定.(3)数列极限定数列极限定义只能只能验证某一个数是否某一个数是否为数列的极限数列的极限,但不能用于求数列的极限但不能用于求数列的极限.2024/5/2412微积分I 第二章 极限与连续 注 (1)在数列极限定义中,可以任意给证明证明对任意给定的对任意给定的 0,要使不等式要使不等式成立成立,只需只需则当则当n N时时,恒有恒有例例2 用极限定义证明：用极限定义证明：根据数列极限的定义：根据数列极限的定义：2024/5/2413微积分I 第二章 极限与连续证明对任意给定的 0,要使不等式成立,只需则当2024/5/24微积分I 第二章 极限与连续14成立.2023/8/3微积分I 第二章 极限与连续14成立.三数列极限的性质三数列极限的性质 定理定理2.1.1(极限的唯一性极限的唯一性)如果数列如果数列 yn 收敛收敛,则其极限唯一则其极限唯一.定理定理2.1.2 (有界性有界性)如果数列如果数列 yn 收敛收敛,则则 yn 一定有界一定有界.注注 上述定理的逆不成立上述定理的逆不成立.数列有界是数列收敛的必要条件数列有界是数列收敛的必要条件,有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛.例如例如 定理定理2.1.3(保号性保号性)如果如果,且且则存在正整数则存在正整数N,当当时时,恒有恒有三数列极限的性质 定理2.1.1(极限的唯一性)如2.2 函数的极限函数的极限一一.函数极限的概念函数极限的概念二二.函数极限的性质函数极限的性质2.2 函数的极限一.函数极限的概念二.函数极限的一一.函数极限的概念函数极限的概念 在在2.1中中,我们讨论了特殊函数我们讨论了特殊函数数列数列f(n)的极限的极限,现在我现在我们来讨论一般函数们来讨论一般函数f(x)的极限的极限.由于一般函数由于一般函数 f(x)中的自变量中的自变量x 的变化趋势通常可分为的变化趋势通常可分为“x ”和和“x x0”两种两种,所以我们将所以我们将分两种情况分别予以讨论分两种情况分别予以讨论.一.函数极限的概念 在2.1中,我们讨论了特殊1.当当 x 时时,函数函数(x)的极限的极限 仿照数列极限的定义仿照数列极限的定义,下面我们给出下面我们给出 x 时时,(x)的极限的极限的定义的定义.定义定义2.3设函数设函数(x)当当 大于某一正数时有定义，大于某一正数时有定义，如果存在如果存在常数常数 A,对于任意给定的对于任意给定的 ,总存在总存在使得当使得当x 满足不等满足不等式式 时时,不等式不等式恒成立恒成立,则称常数则称常数 A为当为当 x 时函数时函数(x)的极限的极限,或称当或称当x 时时(x)收敛于收敛于A,记作记作（当（当 x ）或或1.当 x 时,函数(x)的极限 仿照数例例1 证明证明证明证明例1 证明证明如果如果把上面定把上面定)那么只要那么只要且无限增大且无限增大(记作记作就可得就可得义中的义中的改为改为的定义的定义.同样同样,而而无限增大无限增大(记作记作)那么只要把那么只要把便得便得的定义的定义.改为改为由定义由定义2.2.1可以证明：可以证明：的充要条件是的充要条件是如果把上面定)那么只要且无限增大(记作就可得义中的改为的定定义定义2.4设函数设函数(x)在在x0 的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义,如如 2.时时,函数函数(x)的极限的极限果存在常数果存在常数A,恒成立恒成立,则称常数则称常数A为当为当 x x0 时函数时函数(x)的的极限极限.记为记为注注表示表示(x)在点在点 x0 是否有定义并无关系是否有定义并无关系,我们关心的是我们关心的是 x x0 时时,(x)的变化趋势而不是的变化趋势而不是(x)在点在点 x0 处是否有意义处是否有意义.x x0 时时(x)有没有极限有没有极限,与与定义2.4设函数(x)在x0 的某个去心邻域内有定义,只须只须 由于当由于当 x=1 时时,无定义无定义,则当则当 x1 时时,恒有恒有成立成立.即即要使要使 ,即即 故可取故可取证明证明 例例3只须 由于当 x=1 时,无定义,则当 x1 时,微积分第二章极限与连续课件在定义在定义2.2.2中中,极限过程极限过程 x x0包括了包括了x 同时从同时从 x0的左、右的左、右两侧无限的趋于两侧无限的趋于x0.但是但是,有时我们只能或只需考虑有时我们只能或只需考虑 x 仅从仅从 x0的左侧或右侧趋于的左侧或右侧趋于 x0（记为（记为 x x0-或或 x x0+）时）时,f(x)的变的变化趋势化趋势.例如函数例如函数只能从只能从2的右侧趋于的右侧趋于2,从而就必须引进函数左、右极限的概念从而就必须引进函数左、右极限的概念.在定义2.2.2中,极限过程 x x0包括了x 同时从 定义定义2.5 设函数设函数(x)在点在点x0右侧某个去心邻域内有定义右侧某个去心邻域内有定义,如果存在常数如果存在常数A,对于任意给定的对于任意给定的 0,总存在总存在 0,使得使得当当x 满足不等式满足不等式恒成立恒成立,那么常数那么常数A就叫做函数就叫做函数(x)当当时的时的右极限右极限,记做记做 定义2.5 设函数(x)在点x0右侧某个去心邻就可以得到在就可以得到在 x0处的处的左极限左极限.记为记为类似地类似地,在在 的定义中的定义中,把把 改改为为 左极限和右极限统称为左极限和右极限统称为单侧极限单侧极限.由极限定义易知以下的由极限定义易知以下的充要条件成立充要条件成立.定理定理2.1 函数函数 y=(x)当当 x x0 时极限存在且为时极限存在且为 A 的充的充要条件是函数要条件是函数y=(x)的左极限和右极限都存在且等于的左极限和右极限都存在且等于A.即即就可以得到在 x0处的左极限.记为类似地,在 微积分第二章极限与连续课件微积分第二章极限与连续课件例例 4解解 讨论当讨论当 时时,函数函数 的极限的极限.当当 x 0 时时,有有由于由于，所以，所以不存在不存在.例 4解 讨论当 时,例例5 设函数设函数 ,讨论讨论 是否存在是否存在?解解因此因此 不存在不存在.当当 x 0 时时,有有例5 设函数 ,讨二二.函数极限的性质函数极限的性质 由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不同的形式，下面仅以同的形式，下面仅以定理定理2.2.2(唯一性唯一性)若若注注 若极限不唯一若极限不唯一,变化趋势不定变化趋势不定.例如例如于函数极限性质的一些定理于函数极限性质的一些定理.至于其他极限形式的性质至于其他极限形式的性质,只只要相应地作一些修改便可得出要相应地作一些修改便可得出.这种形式给出关这种形式给出关存在存在,则极限值则极限值 A 唯一唯一.二.函数极限的性质 由于函数极限的定义按自变量的变化定理定理2.2.3 (局部有界性局部有界性)若若证证取取=1,因为因为则存在则存在当当 时时,于是于是,当当 时时取取当当 有有存在存在,那么存在那么存在常数常数M0和和0，使得当，使得当时时,定理2.2.3 (局部有界性)若证取=1,因为则必存在那么一个时刻必存在那么一个时刻,在此时刻以后在此时刻以后,就恒有就恒有即即证证设设 A 0取正数取正数 由由 lim(x)=A 的定义的定义,定理定理2.2.4(局部保号性局部保号性)若若且且 A 0(或或 A 0,使得当使得当时时,(x)0(或或(x)0).必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有即证设 A 2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一一.无穷小无穷小二二.无穷大无穷大三三.无穷小的性质无穷小的性质2.3 无穷小与无穷大一.无穷小二.无穷大三.无穷小的 本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量：本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量：无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量.为叙述简便我们用为叙述简便我们用来表示在来表示在自变量各种变化过程中函数的极限自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程自变量的变化过程,包包括括xx0，xx0+，xx0-，x ，x+,x-，n 等等.本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量：无穷一一.无穷小无穷小定义定义2.3.1 如果在自变量如果在自变量 的某个变化过程中的某个变化过程中,则称函数则称函数 f(x)为为在该变化过程中的在该变化过程中的无穷小量无穷小量,简称简称无穷小无穷小.简单地说简单地说,以零为极限的变量称为无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量.例如例如一.无穷小定义2.3.1 如果在自变量 的某个变 注注(1)无穷小是极限为零的变量，不能把它与绝对值很小无穷小是极限为零的变量，不能把它与绝对值很小的非零常数相混淆的非零常数相混淆.在常数中在常数中,只有零可以作为无穷小，但只有零可以作为无穷小，但无穷小却不一定是零无穷小却不一定是零.(2)一个变量一个变量f(x)是否为无穷小量与其自变量的变化过程是否为无穷小量与其自变量的变化过程有关有关.如如当当 时时,为无穷小量为无穷小量;当当x不趋于不趋于1时时,则不是无穷小量则不是无穷小量.注(1)无穷小是极限为零的变量，不能把它与绝对值例例1 自变量自变量x在何变化过程中在何变化过程中,下列变量下列变量 f(x)为无穷小？为无穷小？解解(3)无论无论 x 趋于何值趋于何值,例1 自变量x在何变化过程中,下列变量 f(x)二二.无穷大无穷大 定义定义2.3.2 如果在自变量如果在自变量的某个变化过程中的某个变化过程中,函数函数 f(x)的的绝对值无限增大（即绝对值无限增大（即），），则称函数则称函数 f(x)为为在该变在该变化过程中的化过程中的无穷大量无穷大量，简称，简称无穷大无穷大.注注(1)无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而不而不是一个很大的常量是一个很大的常量.当当取正值无限增大取正值无限增大(取负值绝对值取负值绝对值无限增大无限增大)时时,称为正无穷大量称为正无穷大量(负无穷大量负无穷大量).注注(2)通常通常 是极限不存在的记号是极限不存在的记号.二.无穷大 定义2.3.2 如果在自变量的某个变化过程例例2 自变量自变量 x 在何变化过程中在何变化过程中,下列变量为无穷大下列变量为无穷大?解解(1)当当 或或 时时,(2)当当 时时,(3)当当 时时,(4)无论无论 x 趋于何值趋于何值,sinx 都不是无穷大都不是无穷大.例2 自变量 x 在何变化过程中,下列变量为无三三.无穷小的性质无穷小的性质性质性质1 有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小.性质性质2 有界变量与无穷小的乘积为无穷小有界变量与无穷小的乘积为无穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小常数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论推论2 有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小.由上面定理容易得到下面的推论由上面定理容易得到下面的推论.证明从略证明从略.三.无穷小的性质性质1 有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小证明证明下面仅证明下面仅证明 时的情况时的情况.必要性必要性则对任意则对任意 ,存在存在 ,使得使得当当 时，恒有时，恒有 表示为常数与无穷小之和表示为常数与无穷小之和.反之易证充分性反之易证充分性.定理定理2.3.1 自变量自变量 x 在任何变化过程中在任何变化过程中,函数函数 f(x)收敛于常收敛于常数数 A,即即 的充分必要条件是的充分必要条件是 ,其中其中 是在该自变量同一变化过程中的无穷小量是在该自变量同一变化过程中的无穷小量.证明下面仅证明 时的情况.必要性则对无穷小量与无穷大量的关系：无穷小量与无穷大量的关系：例如例如因此因此即即 定理定理2.3.2 在自变量在自变量 x 的某个变化过程中，如果的某个变化过程中，如果 为无为无穷大，则穷大，则 为无穷小；如果为无穷小；如果 为无穷小且为无穷小且 ，则则 为无穷大为无穷大.无穷小量与无穷大量的关系：例如因此即 定理2.3.2 四四.无穷小阶的比较无穷小阶的比较 虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量趋于虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量趋于零的速度却不一定相同零的速度却不一定相同.为了反映不同的无穷小趋于零的快慢程为了反映不同的无穷小趋于零的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较度，我们引入无穷小的阶的比较.定义定义2.6.1 设设，是在自变量同一变化过程中的两个无是在自变量同一变化过程中的两个无穷小，穷小，且且 0，则，则(1)如果如果 ,则称则称 是是 的的高阶无穷小高阶无穷小,记做记做(3)如果如果 ,则称则称 是是 的的低阶无穷小低阶无穷小.(2)如果如果 ,则称则称 与与 是是同阶无穷小同阶无穷小.特别地特别地,当当c=1时时,则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小,记做记做四.无穷小阶的比较 虽然无穷小量都是趋于零的例例1所以所以,当当x0时时,与与 是同阶无穷小是同阶无穷小.例例2 所以当所以当 x0时时,是是x的高阶无穷小；的高阶无穷小；x是是 的低阶无的低阶无穷小；穷小；sin x 与与 x 是等阶无穷小是等阶无穷小.例1所以,当x0时,与微积分第二章极限与连续课件