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第七章立体几何第七章立体几何-2-2-7.1基本立体图形7.1基本立体图形-4-知识梳理双基自测1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征平行相等平行-4-知识梳理双基自测1.空间几何体的结构特征平行相等平-5-知识梳理双基自测平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形-5-知识梳理双基自测平行且相等一点一点平行四边形三-6-知识梳理双基自测(2)旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形 圆矩形扇形扇环-6-知识梳理双基自测(2)旋转体的结构特征垂直一点一-7-知识梳理双基自测2.直观图(1)画法:常用画法.(2)规则原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为 ,z轴与x轴和y轴所在平面.原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中,平行于y轴的线段长度在直观图中.3.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.斜二测45(或135)垂直保持不变变为原来的一半所有侧面的面积之和-7-知识梳理双基自测2.直观图斜二测45(或135)-8-知识梳理双基自测4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2rl rl(r1+r2)l-8-知识梳理双基自测4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面-9-知识梳理双基自测5.柱、锥、台和球的表面积和体积Sh 4R2-9-知识梳理双基自测5.柱、锥、台和球的表面积和体积Sh-10-知识梳理双基自测6.常用结论(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”-10-知识梳理双基自测6.常用结论-11-知识梳理双基自测(3)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(4)几个与球切、接有关的常用结论-11-知识梳理双基自测(3)与体积有关的几个结论2-12-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(3)若圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的侧面积是2S.()(4)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.()(5)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(6)在用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中A=45.()2-12-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“”-13-知识梳理双基自测234152.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()B-13-知识梳理双基自测234152.已知圆柱的高为1,它的-14-知识梳理双基自测234153.如图,长方体ABCD-ABCD被截去一部分,其中EHAD,截去的几何体是三棱柱,则剩下的几何体是.五棱柱-14-知识梳理双基自测234153.如图,长方体ABCD-15-知识梳理双基自测234154.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.-15-知识梳理双基自测234154.已知一个正方体的所有顶-16-知识梳理双基自测234155.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为直角三角形,ACB=90,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C,则其爬行路程的最小值为.解析由题意知,把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上,如图所示,连接A1C即可,则A1,P,C三点共线时,CP+PA1最小.-16-知识梳理双基自测234155.如图所示,在直三棱柱A-17-考点1考点2考点3例1(1)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线考点4D-17-考点1考点2考点3例1(1)下列结论正确的是()-18-考点1考点2考点3(2)将数字1,2,3,4,5,6写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体,则柱体和的表面(不含地面)数字之和分别是()A.47,48B.47,49 C.49,50 D.50,49思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?考点4A-18-考点1考点2考点3(2)将数字1,2,3,4,5,6-19-考点1考点2考点3考点4解析(1)A错误,如图是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图,若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,则所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.-19-考点1考点2考点3考点4解析(1)A错误,如图是-20-考点1考点2考点3考点4(2)骰子实质上就是正方体,根据其结构特征可知相互平行的两个面上的数字间的关系:1与6相对,3与4相对,2与5相对.所以题图中,上方第一个骰子表面(5个)上的数字有5个:5,1,6,4,3;中间骰子表面(4个)上的数字有4个:2与5,6与1;下方的骰子表面(4个)上的数字有4个:1与6,3与4.所以柱体的表面数字之和为(5+1+6+3+4)+(2+5+6+1)+(1+6+3+4)=47;同理,柱体的表面数字之和为(6+2+5+3+4)+(2+5+6+1)+(2+5+3+4)=48.故选A.-20-考点1考点2考点3考点4(2)骰子实质上就是正方体,-21-考点1考点2考点3解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.考点4-21-考点1考点2考点3解题心得1.要想真正把握几何体的结-22-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)设有以下命题:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;底面是矩形的平行六面体是长方体;四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;棱台的相对侧棱延长后必交于一点;直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.其中真命题的序号是.(2)如图,一个封闭的长方体,它的六个表面上各标出了A,B,C,D,E,F这六个字母,现放成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已标明,则字母A,B,C对面的字母依次分别为()A.D,E,FB.F,D,EC.E,F,DD.E,D,F考点4D-22-考点1考点2考点3对点训练1(1)设有以下命题:考点-23-考点1考点2考点3考点4解析命题符合平行六面体的定义,故命题是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题是错误的;命题正确,如图,PD平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明PAB,PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题由棱台的定义知是正确的;命题错误,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥.如图所示,它是由两个同底圆锥组成的.-23-考点1考点2考点3考点4解析命题符合平行六面体的-24-考点1考点2考点3考点4(2)第一个正方体已知A,B,C,第二个正方体已知A,C,D,第三个正方体已知B,C,E,且不同的面上写的字母各不相同,则可知A对面标的是E,B对面标的是D,C对面标的是F.选D.-24-考点1考点2考点3考点4(2)第一个正方体已知A,B-25-考点1考点2考点3例2(1)已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为.(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()考点4A-25-考点1考点2考点3例2(1)已知等腰梯形ABCD,上-26-考点1考点2考点3考点4-26-考点1考点2考点3考点4-27-考点1考点2考点3思考用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些?考点4-27-考点1考点2考点3思考用斜二测画法画直观图的方法技巧-28-考点1考点2考点3解题心得在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.考点4-28-考点1考点2考点3解题心得在原图形中与x轴或y轴平行-29-考点1考点2考点3对点训练对点训练2(1)已知正三角形ABC的边长为2,那么ABC的直观图ABC的面积为.考点4C-29-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知正三角形ABC-30-考点1考点2考点3考点4解析(1)如图,图、图所示的分别是实际图形和直观图.从图可知,AB=AB=2,-30-考点1考点2考点3考点4解析(1)如图,图、图-31-考点1考点2考点3考向一几何体的表面积例3(1)圆台的上、下底面半径和高的比为144,若母线长为10,则圆台的表面积为()A.81B.100 C.168 D.169(2)如图所示,在直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体的表面积为.思考求解几何体表面积的关键是什么?考点4C-31-考点1考点2考点3考向一几何体的表面积考点4C-32-考点1考点2考点3考点4-32-考点1考点2考点3考点4-33-考点1考点2考点3考点4(2)根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和,即表面积为-33-考点1考点2考点3考点4(2)根据题意可知,此旋转体-34-考点1考点2考点3解题心得1.求表面积问题的基本思路就是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这也是解决立体几何问题的主要出发点.2.规则几何体的表面积问题,抓住几何体表面的构成,直接代入相关公式求值即可,解决问题的关键是根据已知求出与表面积计算相关的几何度量;多面体的表面积有时需要利用各个侧面面积之和表示其侧面积.3.求不规则几何体的表面积时,通常根据几何体的结构特征将其分割成基本的柱、锥、台、球体等,先求这些几何体的表面积,再通过求和或作差求得该几何体的表面积,注意衔接部分的处理.考点4-34-考点1考点2考点3解题心得1.求表面积问题的基本思路-35-考点1考点2考点3考向二空间几何体的体积例4(1)(2018天津,理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.(2)如图,在ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为.思考求几何体的体积的关键是什么?考点496-35-考点1考点2考点3考向二空间几何体的体积(2)如图-36-考点1考点2考点3考点4-36-考点1考点2考点3考点4-37-考点1考点2考点3考点4-37-考点1考点2考点3考点4-38-考点1考点2考点3考点4-38-考点1考点2考点3考点4-39-考点1考点2考点3解题心得求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.(2)割补法:把不规则的图形分割成规则的图形计算其体积;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.(3)等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.考点4-39-考点1考点2考点3解题心得求空间几何体的体积的常用方-40-考点1考点2考点3考点4BB-40-考点1考点2考点3考点4BB-41-考点1考点2考点3考点4C-41-考点1考点2考点3考点4C-42-考点1考点2考点3考点4-42-考点1考点2考点3考点4-43-考点1考点2考点3考点4-43-考点1考点2考点3考点4-44-考点1考点2考点3考点4-44-考点1考点2考点3考点4-45-考点1考点2考点3考点4例5(1)我国古代数学名著九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.现有一块底面两直角边长为3和4,侧棱长为12的“堑堵”形石材,将之切削、打磨,加工成若干个相同的石球,并让石球的体积最大,则所剩余的石料体积为()A.72-16B.72-12C.72-8D.72-6(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()CC-45-考点1考点2考点3考点4例5(1)我国古代数学名著-46-考点1考点2考点3考点4(3)已知一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O的体积为V1,圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2,则的值为.思考解决与球有关的切、接问题的关键是什么?2-46-考点1考点2考点3考点4(3)已知一个圆柱的轴截面是-47-考点1考点2考点3考点4-47-考点1考点2考点3考点4-48-考点1考点2考点3考点4(2)方法一(直接法)如图,作出直三棱柱的外接球.由题意,直三棱柱的底面三角形ABC是直角三角形,所以底面ABC外接圆的圆心是BC的中点E,底面三角形A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1.由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心就是线段EE1的中点O,连接OA.-48-考点1考点2考点3考点4(2)方法一(直接法)如图,-49-考点1考点2考点3考点4方法二(补形法)如图,将直三棱柱ABC-A1B1C1的底面补成矩形,得到长方体ABDC-A1B1D1C1.显然,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球就是长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球.而长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径等于长方体的体对角线长,-49-考点1考点2考点3考点4方法二(补形法)如图,将直三-50-考点1考点2考点3考点4-50-考点1考点2考点3考点4-51-考点1考点2考点3考点4解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.-51-考点1考点2考点3考点4解题心得解决球与其他几何体的-52-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)如图,一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9cm,高为36cm.玻璃杯内水深为33cm,将一个球放在杯口,球面恰好与水面接触,并且球面与杯口密闭.若不计玻璃杯的厚度,则球的表面积为()A.900cm2B.450cm2C.800cm2D.400cm2(2)若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是,表面积是.(3)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则棱锥E-ABCD的体积为.A4-52-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)如图,一-53-考点1考点2考点3考点4解析(1)其轴截面图如图所示.设球的半径为Rcm,则R2=92+(R-3)2,解得R=15(cm).S球面=4R2=900(cm2).选A.-53-考点1考点2考点3考点4解析(1)其轴截面图如图所-54-考点1考点2考点3考点4-54-考点1考点2考点3考点4-55-考点1考点2考点3考点4-55-考点1考点2考点3考点4-56-思想方法转化思想在立体几何计算中的应用空间几何体的体积、表面积结合命题是高考的热点,旨在考查学生的识图、用图能力及空间想象能力与运算能力.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解.-56-思想方法转化思想在立体几何计算中的应用-57-典例如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.-57-典例如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1-58-反思提升1.利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.2.求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算.-58-反思提升1.利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面
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