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第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答 3.1 3.1 逆逆解法和半逆解法解法和半逆解法 多项式解答多项式解答在常体力情况下，在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数为求解一个应力函数，它必须满足，它必须满足1.在区域内的相容方程在区域内的相容方程2.在边界上的应力边界条件在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界假设全部为应力边界条件条件)3.在多连体中，还须满足位移单值条件。在多连体中，还须满足位移单值条件。(在在s上上)3.1逆解法和半逆解法多项式解答求出应力函数求出应力函数 后，便可求出应力分量后，便可求出应力分量.然后再求应变分量和位移分量。然后再求应变分量和位移分量。由于相容方程由于相容方程 是四阶偏是四阶偏微微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。求出应力函数后，便可求出应力分量.然后再求应变分量和位移(1)先设定满足先设定满足 的应力函数的应力函数；(2)根据根据 求出应力分量；求出应力分量；(3)在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力，即力反推出相应的面力，即反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可解决的正是上述面力对应的问题）解决的正是上述面力对应的问题）一一.逆解法逆解法(1)先设定满足下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力可忽略不计可忽略不计(fx=fy=0)，应力函数取为多项式。，应力函数取为多项式。1.取应力函数为一次式取应力函数为一次式 =a+bx+cy应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程由由 得应力分量得应力分量不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由应力边界条件应力边界条件 总是得出总是得出一次式一次式=a+bx+cy对应对应无体力，无面力，无应力的无体力，无面力，无应力的状态状态。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力可忽略不计(2.取应力函数为二次式取应力函数为二次式 =ax2+bxy+cy2应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程现分别考察每一项所能解决的问题。现分别考察每一项所能解决的问题。对应对应 =ax2，应力分量是，应力分量是如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x=0,y=2a,xy=yx=0,由应力边界条由应力边界条件可知，左右两边没有面力，上下两件可知，左右两边没有面力，上下两边有均布面力边有均布面力2a。可见，应力函数可见，应力函数 =ax2 能解决能解决矩形矩形板在板在 y 方向受均布力的问题方向受均布力的问题。2.取应力函数为二次式=ax2+bxy如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x=0,y=0,xy=yx=b,由应力边界条由应力边界条件可知，左右上下两边分别有与面相件可知，左右上下两边分别有与面相切的面力切的面力 b。可见，应力函数可见，应力函数 =bxy 能解决能解决矩形矩形板受均布剪力的问题板受均布剪力的问题。对应对应 =bxy，应力分量是应力分量是对应对应 =cy2，应力分量是，应力分量是 应力函数应力函数 =cy2 能解决能解决矩形板在矩形板在 x方向受均布方向受均布 力的问题力的问题。=ax2+bxy+cy2 表示表示常量的正应力和切应力。常量的正应力和切应力。如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x=0,y=04.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件。其中的系数必须满足一定的条件。应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程对应对应 =ay3，应力分量是应力分量是对于图示矩形板和坐标轴对于图示矩形板和坐标轴当当 时，时，上下两边没有面力；左右上下两边没有面力；左右两边没有两边没有 y 方向面力，只方向面力，只有按直线变化的的水平面有按直线变化的的水平面力，而每一边的水平面力力，而每一边的水平面力合成为一个力偶。合成为一个力偶。可见，应力函数可见，应力函数 =ay3 能解决能解决矩形梁纯弯曲问题矩形梁纯弯曲问题。3.取应力函数为三次式取应力函数为三次式 =ay34.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须逆解法没有针对具体问题进行求解逆解法没有针对具体问题进行求解,而是找出满足相而是找出满足相容方程的应力函数容方程的应力函数,来考察它们能解决什么问题。这来考察它们能解决什么问题。这种方法可以积累弹性力学的基本解答。种方法可以积累弹性力学的基本解答。逆解法没有针对具体问题进行求解,而是找出满足相容方程的应力二二.半逆解法半逆解法半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下：体步骤如下：1.根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式；部应力分量的函数形式；2.根据根据 由应力推出应力函数由应力推出应力函数 的形式；的形式；3.将将 代入相容方程，求出代入相容方程，求出 的具体表达式；的具体表达式；二.半逆解法半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体4.将将 代入代入 求出求出对应的应力分量。对应的应力分量。5.将应力代入边界条件将应力代入边界条件在在s上上考察它们是否满足全部边界条件考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须对于多连体，还须满足位移单值条。如果所有的条件均能满足，上述满足位移单值条。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。进行求解。4.将代入思考题：逆解法与半逆解法有何区别？思考题：逆解法与半逆解法有何区别？思考题：逆解法与半逆解法有何区别？3.2 3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.2矩形梁的纯弯曲（d）满足。（c）的边界条件无法精确满足。（d）满足。（c）的边界条件无法精确满足。式（式（d）的第一式是自然满足的）的第一式是自然满足的当当 时，即使时，即使 在边界上面力不同于在边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式（d）的第一式是自然满足的当时结论如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足，则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量，主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。结论如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出h/2 h/2lyx(l h)oMM矩形梁纯弯曲时的应力分量矩形梁纯弯曲时的应力分量：如何求位移分量？如何求位移分量？3-3位移分量的求出h/2h/2lyx(l平面应力问题物理方程：平面应力问题物理方程：平面应力问题物理方程：平面问题几何方程：平面问题几何方程：对x积分对y积分上式代入平面问题几何方程：对x积分对y积分上式代入移项得移项得：只是y的函数只是x的函数积分积分代入位移函数得代入位移函数得：须由约束条件求得移项得：只是y的函数只是x的函数积分积分代入位移函数得：须纯弯曲问题的讨论：纯弯曲问题的讨论：铅直线段的转角铅直线段的转角：同一横截面上的各铅直线段的转角相同,说明横截面保持平面。纯弯曲问题的讨论：铅直线段的转角：同一横截面上的各铅纯弯曲问题的讨论：纯弯曲问题的讨论：梁的各纵向纤维曲率：梁的各纵向纤维曲率：由小变形假设知：由小变形假设知：纯弯曲问题的讨论：梁的各纵向纤维曲率：由小变形假设知：如果梁是简支梁，则在铰支座如果梁是简支梁，则在铰支座O O处没有水平位移和铅直位移，处没有水平位移和铅直位移，在连杆支座在连杆支座A A处没有铅直位移，因此约束条件是处没有铅直位移，因此约束条件是MoxAMy如果梁是简支梁，则在铰支座O处没有水平位移和铅直位移，在连杆代入代入 得得代入 和材料力学中的和材料力学中的结果相同果相同 。梁轴的挠度方程是梁轴的挠度方程是和材料力学中的结果相同。MoxMy 如果梁是悬臂梁，左端自由右端固定，则在梁如果梁是悬臂梁，左端自由右端固定，则在梁的右端。对于的右端。对于y y的任何值，都要求的任何值，都要求 在多项式解答中，这个条件无法满足，工程实际上，在多项式解答中，这个条件无法满足，工程实际上，也没有完全固定的约束条件。也没有完全固定的约束条件。现现在在，和和材材料料力力学学中中一一样样，假假定定右右端端截截面面的的中中点点不不移移动动，该该点点的的水水平平线线段段不不转转动动。这这样样，约约束束条条件件是是代入式中，得出下列三个方程来决定代入式中，得出下列三个方程来决定现在，和材料力学中一样，假定右端截面的中 求解之后，得求解之后，得代入式中，得出该悬臂梁的位移分量代入式中，得出该悬臂梁的位移分量求解之后，得代入式中，得出该悬臂梁的位移分量 梁轴的挠度方程是梁轴的挠度方程是也和材料力学的解答相同。也和材料力学的解答相同。对对于于平平面面应应变变情情况况下下的的梁梁，需需在在以以上上形形变变公公式式和和位位移移公公式式中中，把把 换换为为 ，把把 换换为为 。例如，梁的纵向纤维的曲率公式。例如，梁的纵向纤维的曲率公式,应该变换为应该变换为梁轴的挠度方程是设有矩形截面梁，深度为设有矩形截面梁，深度为h，长度为，长度为2l,，体力可以不，体力可以不计，受均布载荷计，受均布载荷q，由两端的反力，由两端的反力ql 维持平衡。维持平衡。(=1 )xylh/2h/2Oqlqlql此问题用此问题用半逆解法半逆解法，步骤如下：，步骤如下：1.假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式由材料力学知：由材料力学知：弯应力弯应力x 主要是由弯矩主要是由弯矩 M 引起的，引起的，切应力切应力xy 主要是由剪力主要是由剪力Fs引起的，引起的，挤压应力挤压应力y 主要是由直接载荷主要是由直接载荷 q 引起的。引起的。因因q不随不随x变，因而可以假设变，因而可以假设y不随不随 x 变，也就是假变，也就是假设设 y 只是只是 y 的函数：的函数：y=f(y)3.4 简支梁受均布载荷设有矩形截面梁，深度为h，长度为2l,，体力可以不计，受均布3.由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数将将 y=f(y)代入代入对对 x 积分，得积分，得其中其中 f(y),f1(y),f2(y)都是待定的都是待定的 y 的函数。的函数。2.推求应力函数的形式推求应力函数的形式将将 代入代入 得得有有3.由相容方程求解应力函数将y=f(y)代这是这是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的全梁的 x 都应该满足它都应该满足它),可见它的系数和自由项都必可见它的系数和自由项都必须等于零，即须等于零，即前两个方程要求前两个方程要求这里这里 f1(y)的常数项被略去，这是因为这一项在的常数项被略去，这是因为这一项在 的表的表达式中成为达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量。的一次项，不影响应力分量。第三个方程要求第三个方程要求即即其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应力分量。力分量。这是x的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的得应力函数得应力函数4.由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量将将 代入代入将代入得应力函数4.由应力函数求应力分量将代入将代入xylh/2h/2Oqlqlql注意到注意到yz面是梁和载荷的对称面面是梁和载荷的对称面,所以所以,应力分布应对应力分布应对称于称于yz面。这样面。这样,x,y应该是应该是 x 的偶函数的偶函数,而而 xy 应该应该是是 x 的奇函数。的奇函数。E=F=G=0于是，有于是，有xylh/2h/2Oqlqlql注意到yz面是梁和载荷的对称5.考察边界条件（确定待定系数考察边界条件（确定待定系数)通常梁的跨度远大于梁的深度，通常梁的跨度远大于梁的深度，梁的上下两个边界是主要边界。梁的上下两个边界是主要边界。在主要边界上应力边界条件必须在主要边界上应力边界条件必须完全满足；次要边界上如果边界完全满足；次要边界上如果边界条件不能完全满足，可引用圣维条件不能完全满足，可引用圣维南原理用三个积分条件来代替。南原理用三个积分条件来代替。xylh/2h/2Oqlqlql先来考虑上下两个主要边界条件：先来考虑上下两个主要边界条件：将将y,xy代入主要边界条件，得代入主要边界条件，得5.考察边界条件（确定待定系数)通常梁的跨度远大于梁的深度xylh/2h/2Oqlqlql联立求解，得联立求解，得将上述结果代入右边三式，得将上述结果代入右边三式，得xylh/2h/2Oqlqlql联立求解，得将上述结果代入右xylh/2h/2Oqlqlql现在考虑左右两边的次要边界条件；现在考虑左右两边的次要边界条件；由于问题的对称性，只需考虑其由于问题的对称性，只需考虑其中一边，如右边。边界条件：中一边，如右边。边界条件：当当 x=l 时，时，h/2 y h/2,x=0,这是不可能满足的，除非这是不可能满足的，除非 q=H=K=0 xylh/2h/2Oqlqlql现在考虑左右两边的次要边界条xylh/2h/2Oqlqlql应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。将右边将右边x,xy 代入上式代入上式由前两式得：由前两式得：第三式自然满足。第三式自然满足。xylh/2h/2Oqlqlql应用圣维南原理，用三个积分条xylh/2h/2Oqlqlql 代入并整理，得代入并整理，得各应力沿各应力沿y方向分布方向分布h/2h/2xyxyxylh/2h/2Oqlqlql代入并整理，得各应力沿y方6.比较弹性力学和材料力学比较弹性力学和材料力学关于简支梁受均布载荷的解答关于简支梁受均布载荷的解答取梁宽取梁宽 =1 时，时，I=h3/12,S=h2/8 y2/2xylh/2h/2Oqlqlql代入右式：代入右式：6.比较弹性力学和材料力学取梁宽d=1时，I=xylh/2h/2Oqlqlql长度远大于深度长度远大于深度(lh)的长梁，的长梁，应力各项的数量级：应力各项的数量级：挤压应力挤压应力y 的第一项与的第一项与 q 同阶大小同阶大小,为更次要应力。材为更次要应力。材料力学中不考虑。料力学中不考虑。弯应力弯应力 x 的第一的第一 项与项与 同阶大小同阶大小,为为主要应力。与材料力学解答相同。第二主要应力。与材料力学解答相同。第二项是材料力学没有的，是修正项，但只项是材料力学没有的，是修正项，但只是是 q 级。级。切应力切应力 xy 与与 同阶大小同阶大小,为次要应为次要应力。与材料力学解答完全相同。力。与材料力学解答完全相同。xylh/2h/2Oqlqlql长度远大于深度(lhxylh/2h/2Oqlqlql 因此因此,对于长梁对于长梁(长度长度：深度：深度 4),材料力学的解材料力学的解答虽是近似的答虽是近似的,但已足够精确但已足够精确,符合工程上的要求。符合工程上的要求。7.弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边界条件界条件(小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局部区域部区域)。由此可见，弹性力学与材料力由此可见，弹性力学与材料力学解答的区别，只反映在最小学解答的区别，只反映在最小的的q量级量级上，而上，而 ,量量级的值完全相同。级的值完全相同。xylh/2h/2Oqlqlql因此,对于长梁(长材料力学的解方法材料力学的解方法:在许多方面都作了近似处理，只在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解答。能得到近似解答。例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分的物体的物体(h dx b)的平衡条件，而不是微分体的平的平衡条件，而不是微分体的平衡条件；材料力学中忽略了衡条件；材料力学中忽略了y 的影响，并且在主要的影响，并且在主要边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力学的解答成为近似解答。学的解答成为近似解答。一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解。的解法来求解。材料力学的解方法:在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解设有楔形体设有楔形体,左面铅直左面铅直,右边与铅直方向成角右边与铅直方向成角,下下端无限长端无限长,受到重力和液体压力受到重力和液体压力,楔形体密度为楔形体密度为 1,1,液体密度为液体密度为 2 2,试求应力分量。试求应力分量。解：解：采用半逆解法采用半逆解法1.应用量纲分析方法假设应力分量的应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式函数形式 xyO 1g 2g(1)(1)在楔形体的任意一点，每个应力分在楔形体的任意一点，每个应力分量都由两部分组成：一部分由重力引起，量都由两部分组成：一部分由重力引起，与与 1 1g g 成正比，第二部分由液体压力引成正比，第二部分由液体压力引起，与起，与 2 2g g成正比成正比。3.5 3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力设有楔形体,左面铅直,右边与铅直方向成角,下端无限长因应力与因应力与 1g 和和 2g 成正比，而应力成正比，而应力量纲（量纲（L-1MT-2)只比只比 1g和和 2g量纲量纲(L-2MT-2)高一次幂的长度量纲，因此，高一次幂的长度量纲，因此，应力只能是应力只能是 1g和和 2g与与x,y 的一次式的一次式相乘相乘,A 1gx,B 2gx,C 1gy,D 2gy的组合的组合,A,B,C,D 是量刚一的是量刚一的量量，只与只与 有关有关，应力只能是应力只能是x,y的的纯一次式。纯一次式。xyO 1g 2g因应力与1g和2g成正比，而应力量纲（L-1MT-2(2)由应力函数与应力分量的关系式由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应是应是x,y的纯三次式。因此，假设的纯三次式。因此，假设2.此应力函数此应力函数 自然满足相容方程自然满足相容方程3.将此应力函数将此应力函数 代入代入fx=0,fy=1g(2)由应力函数与应力分量的关系式2.此应力函数自然满足(1)x=0 时，应力边界条件：时，应力边界条件：4.考察边界条件考察边界条件将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：解出解出 d,c,得得代入右式，得代入右式，得(2)右面是斜边界，它的边界线方程是右面是斜边界，它的边界线方程是斜面上无面力斜面上无面力 xyO 1g 2g(1)x=0时，应力边界条件：4.考察边界条件将右式右面斜边界应力边界条件：右面斜边界应力边界条件：将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：由图可见由图可见将上式代入式将上式代入式(a),解得解得 xyO 1g 2gn 右面斜边界应力边界条件：将右式代入边界条件，得：由图可见将上将上式代入右式，得李维解答：将上式代入右式，得李维解答：xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化:将上式代入右式，得李维解答：xyO1g2gnx图xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化:x沿沿 x 轴没有变化轴没有变化,此结果不能由材料力学公式求得。此结果不能由材料力学公式求得。y沿沿 x 轴按直线变化轴按直线变化,在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同。与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同。xy沿沿 x 轴也按直线变化轴也按直线变化,在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与等截面梁的切应力变化规律不同。与等截面梁的切应力变化规律不同。xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿x 以上所得解答，一向被当作是三角形重力坝中以上所得解答，一向被当作是三角形重力坝中应力的基本解答，但必须注意以下三点：应力的基本解答，但必须注意以下三点：（1 1）严格来说，这不是一个平面问题，但如）严格来说，这不是一个平面问题，但如果此坝分缝，可看成平面应力问题。果此坝分缝，可看成平面应力问题。（2 2）这里假定楔形体在下端是无限长，可以）这里假定楔形体在下端是无限长，可以自由地变形。自由地变形。（3 3）坝顶总有一定的宽度，而不会是一个顶）坝顶总有一定的宽度，而不会是一个顶尖。尖。重力坝的精确应力分析目前大都采用有限元法。重力坝的精确应力分析目前大都采用有限元法。以上所得解答，一向被当作是三角形重力坝中应力的基本解ThanksThanks
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