材料力学ppt课件第六章截面图形的几何性质

第六章截面图形的几何性质16-1 截面的静距与形心位置截面的静距与形心位置第第第第六六六六章章章章 截面图形的几何性质截面图形的几何性质截面图形的几何性质截面图形的几何性质6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩6-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 6-4 惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的转轴转轴公式公式 截面的截面的主惯性轴和主主惯性轴和主惯性矩惯性矩6-1截面的静距与形心位置第六章截面图形的几何性质62 为什么要研究截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 结论与讨论结论与讨论为什么要研究截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径3 为什么要研究截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质第6章截面的几何性质4 不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。FN为什么要研究截面的几何性质为什么要研究截面的几何性质不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截5重心和形心的坐标公式重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式xyPPiCiCC1P1x1xCxio右图认为是一个平面力系，则右图认为是一个平面力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的重心，合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理由合力矩定理即即于是有于是有同理有同理有重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式xyPPiC6 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x x，y(y(本本本本节中的节中的节中的节中的x x轴就是以前我们所用的轴就是以前我们所用的轴就是以前我们所用的轴就是以前我们所用的z z轴轴轴轴)的一些几何性质，例的一些几何性质，例的一些几何性质，例的一些几何性质，例如：如：如：如：惯性矩(moment of inertia)惯性积(product of inertia)6-1 截面的静距与形心位置截面的静距与形心位置工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中7 1.静矩静矩CxydAxCxyCyOI-1截面的静矩和形心的位置截面的静矩和形心的位置2.形心形心3.形心与静形心与静矩的关系矩的关系图形对某轴的静矩图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的形心，则图形对该轴的静矩为零的静矩为零。1.静矩CxydAxCxyCyOI-1截面的静8 例例6-1求图示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐的静矩及其形心坐标标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，所以所以4、组合图形的形心与静矩、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩）组合图形的静矩（2）组合图形的形心）组合图形的形心例6-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的9解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三三部分，以图形的铅垂对称轴为部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂直的轴线取轴垂直的轴线取为为x轴，则轴，则例例6-2求图示图形的形心。求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：由于对称知：xC=0解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形10解：组合图形，图形分割及坐标如图901201010 xyC1C2例6-3试确定下图的形心。解：组合图形，图形分割及坐标如图901201010 xyC11 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章截面的几何性质12图形对图形对y 轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对z轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对y z 轴的轴的惯性积惯性积图形对图形对O 点的点的极惯性矩极惯性矩zyOdAyzrA第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 图形对y轴的惯性矩图形对z轴的惯性矩图形对13图形对图形对y 轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对z 轴的轴的惯性半径惯性半径zyOdAyzrA第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 图形对y轴的惯性半径图形对z轴的惯性半径zy1400或或000第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 zyOdAyzrA00或000第6章截面的几何15第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 zyOdAyzrA第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径zy16已知：已知：圆截面直径圆截面直径d求：求：Iy，Iz，IPdrdrdACyz例例 题题2解：解：取圆环微元面积取圆环微元面积第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 已知：圆截面直径ddrdrdACyz例题2解：取圆环微元17已知：已知：矩形截面矩形截面b h求：求：Iy，IzC Cy yz zb bh hz zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A解：解：取平行于取平行于x轴和轴和y轴的微元面积轴的微元面积例例 题题3第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性半径 已知：矩形截面bhCyzbhzdzdAydydA解：取平18 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的移轴定理19移轴定理（移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 移轴定理（parallel-axisthe20AzyOdAyzz1y1O y1=ya z1=zb 已知：已知：Iy，Iz，Iyz求：求：Iy1，Iz1，Iy1z1y1z1ab第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 AzyOdAyzz1y1Oy1=ya已知：Iy，Iz21 y1=ya z1=zbAzyOdAyzz1y1Oy1z1ab第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 y1=yaAzyOdAyzz1y1Oy1z1ab第6章22如果如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的轴通过图形形心，上述各式中的SySz0 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的SySz0惯性23 因为面积及包含因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。惯性积有可能增加也可能减少。第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之24 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质25 所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴的概念惯性矩与惯性积的转轴的概念 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标26一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式转轴公式：注意：注意：是是x轴与轴与x1轴的夹角，由轴的夹角，由x轴逆时针转到轴逆时针转到x1轴时的轴时的 为正。为正。惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质一、惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式：注意：a是x轴与x1轴27y1=|AC|dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy已知：已知：Ix、Iy、Ixy、，求，求、。=|AD|-|EB|=ycos-xsin 利用三角变换，得到利用三角变换，得到同理，利用：同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin 得到得到公式推导：公式推导：y1=|AC|dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已28dAyzzyO 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质dAyzzyO惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几29dAyzzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOdAzy 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质dAyzzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOdA30zyOz0y000如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的坐标轴为过这一点的主轴（主轴（principalaxes）。）。图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩称为称为主惯性矩主惯性矩（principalmomentofinertiaofanarea）。）。因为惯性积因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质zyOz0y000如果图形对于过一点的一31材料力学ppt课件第六章截面图形的几何性质32材料力学ppt课件第六章截面图形的几何性质33 可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩zyOz0y000第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，34 主轴的方向角以及主惯主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定惯性矩和惯性积确定:zyOz0y000 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和35 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质36 对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为通过形心的主轴称为形心主轴形心主轴，图形对形心主轴的，图形对形心主轴的I Iy y惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩形心主矩。工程计算工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。中有意义的是形心主轴与形心主矩。第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的37图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，如坐标原点与形心重合如坐标原点与形心重合,通过形心的主轴称为通过形心的主轴称为形心主形心主轴轴，图形对形心主轴的惯性矩称为图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩，简简称为称为形心主矩形心主矩。zyOz0y000 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主38工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyOz0y000第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyOz0y0039 有对称轴截面的惯性主轴有对称轴截面的惯性主轴有对称轴截面的惯性主轴有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0当图形有一根对称当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者直的任意轴即为过二者交点的主轴。交点的主轴。第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=40 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质41工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。组合图形的形心、形心主轴、组合图形的形心、形心主轴、组合图形的形心、形心主轴、组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法形心主惯性矩的计算方法形心主惯性矩的计算方法形心主惯性矩的计算方法 第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性42因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、43求截面形心主惯性矩的基本思路求截面形心主惯性矩的基本思路、建立坐标系。、建立坐标系。、求形心位置。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，、求形心主轴方向、求形心主轴方向 0、求形心主惯性矩求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-+=求截面形心主惯性矩的基本思路、建立坐标系。、求形心位置。4445例例 试确定下图的形心主惯性矩。801201010ZyC1(45;5)C2(5;60)解：解：1、图形分割及坐标如图、图形分割及坐标如图2、确定形心坐标、确定形心坐标c(19.5;39.7)ZCYC45例试确定下图的形心主惯性矩。801201010ZyC145463、建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。463、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。4647801201010ZyC1(45;5)C2(5;60)c(19.5;39.7)ZCYCZCOYCO4、求形心主轴方向、求形心主轴方向 047801201010ZyC1(45;5)C2(5;60)c47485、求形心主惯性矩求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-+=485、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzy48例例例例 题题题题1212已知：图形尺寸如图所示。已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩求：图形的形心主矩5027030300第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩例题12已知：图形尺寸如图所示。502703049解解 ：1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1C25027030300第第第第6 6 6 6章章章章 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩解：1将所给图形分解为简单图形的组合C1C250250C1C22.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 yzyC1505027030300C第第第第6 6章章章章 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩C1C22.建立初始坐标，确定形心位置yzyC150551 Iy0=Iy0()+Iy0(II)90C1C2Cyz150603.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 y0z0第第第第6 6章章章章 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩Iy0=Iy0()+Iy0(II)90C1C2Cyz52 Iz0=Iz0()+Iz0()3.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 90C1C2Cyz15060y0z0第第第第6 6章章章章 截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩Iz0=Iz0()+Iz0()3.确定形心主惯性矩5312010101070例例I-7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心C为形心，在为形心，在C点建立坐标点建立坐标系系xCy如图如图将整个图形分成将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯形心主惯性矩大小性矩大小12010101070例I-7计算图示截面的形心主轴和形54如图所示图形，求形心主惯性矩Ixc。解：（2）求形心位置。（3）求：IxC 例3（1）建立坐标系如图。604545208050yx1xcC如图所示图形，求形心主惯性矩Ixc。解：（2）求形心位置。55（3）求：IxC 604545208050yx1xcC（3）求：IxC604545208050yx1xcC56在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。(b=1.5d)解：（1）建立坐标系如图。（2）求形心位置。（3）建立形心坐标系；求：IxC，IyC，I xCyC db2dxOyCxC例4C在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。(b=1.5d57db2dxOxCyCx1Cdb2dxOxCyCx1C58【例【例I-7】已知图中截面的形心为已知图中截面的形心为C，求形心主轴，求形心主轴Z主惯性矩。主惯性矩。方法方法1：把整个截面分为把整个截面分为面积面积A1,A2,A3如下：如下：附录【例I-7】已知图中截面的形心为C，求形心主轴Z主惯性矩59方法二：方法二：截面可看出整个矩形减去蓝色图形的面积截面可看出整个矩形减去蓝色图形的面积方法二：截面可看出整个矩形减去蓝色图形的面积附录60：【思考题思考题】求正方形截面求正方形截面Z轴的惯性矩和对原点轴的惯性矩和对原点O的极惯性矩。的极惯性矩。：【思考题】求正方形截面Z轴的惯性矩和对原点O的极惯性矩。61例例I-8求图示正方形对过形心求图示正方形对过形心的的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1 解：由于：解：由于：，则则同理同理，例I-8求图示正方形对过形心的x1、y162 结论与讨论结论与讨论第第6章章 截面的几何性质截面的几何性质结论与讨论第6章截面的几何性质63平面图形几何性质小结平面图形几何性质小结一、一、简单图形的静面矩简单图形的静面矩静面矩的几个规律：静面矩的几个规律：图形对过形心轴的静面矩为零形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面矩 为零，则此轴一定过图形的形心。图形对对称轴的静面矩一定为零对称轴的静面矩一定为零。二、简单图形的形心二、简单图形的形心 S Sz z=Ay=Ayc c；S Sy y=Az=Azc c。可以作为公式使用。重点平面图形几何性质小结一、简单图形的静面矩静面矩的几个规律：64形心确定的规律：形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。三、组合图形的静面矩：三、组合图形的静面矩：四、组合图形的形心：四、组合图形的形心：五、简单图形的惯性矩五、简单图形的惯性矩重点形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。65简单图形惯性矩的计算简单图形惯性矩的计算 圆形截面：圆形截面：矩形截面：矩形截面：六、简单图形的惯性积六、简单图形的惯性积规律：规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。重点简单图形惯性矩的计算圆形截面：矩形截面：六、简单图形6667七、惯性矩、惯性积的平移轴公式七、惯性矩、惯性积的平移轴公式八、组合图形的惯性矩、惯性积：八、组合图形的惯性矩、惯性积：注意：注意：ZC、YC必须是形心坐标。必须是形心坐标。a a、b b为图形形心在为图形形心在yozyoz坐标系的坐坐标系的坐标值，有正负之分。标值，有正负之分。重点九、转轴公式：九、转轴公式：重点67七、惯性矩、惯性积的平移轴公式八、组合图形的惯性矩、惯性67十、主平面、主惯性矩的确定十、主平面、主惯性矩的确定难点十、主平面、主惯性矩的确定难点682 2、主惯性矩：、主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。Iz0、Iy0为图形中惯性矩的最大和最小值。3 3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0。且zc、yc为形心轴。zc0、yc0为形心主轴）。4 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Izc0、Iyc0）。十一、几个概念：十一、几个概念：1 1、主惯性轴（主轴）：、主惯性轴（主轴）：如果图形对某一对坐标轴的惯性积为零，则此对轴为主惯性轴。（Iz0y0=0，z0、y0轴为主轴）。2、主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。Iz0、Iy0为图形中惯性69、建立坐标系。、建立坐标系。、求形心位置。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，、求形心主轴方向、求形心主轴方向 0、求形心主惯性矩求形心主惯性矩十二、求截面形心主惯性矩的基本思路十二、求截面形心主惯性矩的基本思路2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-+=、建立坐标系。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iy70 已知任意形状的截面已知任意形状的截面已知任意形状的截面已知任意形状的截面(如图如图如图如图)的面积的面积的面积的面积A A以及对于形心轴以及对于形心轴以及对于形心轴以及对于形心轴xCxC和和和和yCyC的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩及惯性积及惯性积及惯性积及惯性积，现需导出该截面对于与，现需导出该截面对于与，现需导出该截面对于与，现需导出该截面对于与形心轴形心轴形心轴形心轴xCxC，yCyC平行的平行的平行的平行的x x轴和轴和轴和轴和y y轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩IxIx，IyIy和惯性积和惯性积和惯性积和惯性积IxyIxy。截面的形心。截面的形心。截面的形心。截面的形心C C在在在在x x，y y坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为.惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的平行移轴公式已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC71因截面上的任一元素因截面上的任一元素因截面上的任一元素因截面上的任一元素dAdA在在在在x x，y y坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为于是有于是有于是有于是有注意到注意到注意到注意到x xC C轴为形心轴，故上式中的静矩轴为形心轴，故上式中的静矩轴为形心轴，故上式中的静矩轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有等于零，从而有等于零，从而有等于零，从而有因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为于是有注意到x72同理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的注意的是式中的注意的是式中的注意的是式中的a a，b b为坐标，有正负，应用惯性积平行移为坐标，有正负，应用惯性积平行移为坐标，有正负，应用惯性积平行移为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。轴公式时要特别注意。轴公式时要特别注意。轴公式时要特别注意。同理可得以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需73.组合截面的惯性矩及惯性积组合截面的惯性矩及惯性积组合截面的惯性矩及惯性积组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x x，y y两轴的惯性矩和惯性积分别为两轴的惯性矩和惯性积分别为两轴的惯性矩和惯性积分别为两轴的惯性矩和惯性积分别为 y2 y1yx bd1 hOd2x.组合截面的惯性矩及惯性积若组合截面由几个部分组74 例题例题例题例题-6-6图示组合截面由图示组合截面由图示组合截面由图示组合截面由一个一个一个一个25c25c号槽钢截面和两个号槽钢截面和两个号槽钢截面和两个号槽钢截面和两个9090mm90mm12mmmm90mm12mm等边角钢等边角钢等边角钢等边角钢截面组成。试求此截面分别截面组成。试求此截面分别截面组成。试求此截面分别截面组成。试求此截面分别对于形心轴对于形心轴对于形心轴对于形心轴x x和和和和y y的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩IxIx和和和和IyIy。例题-6图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两75解：解：由型钢规格表查得：由型钢规格表查得：由型钢规格表查得：由型钢规格表查得：25c25c号槽钢截面号槽钢截面号槽钢截面号槽钢截面90mm90mm12mm90mm90mm12mm等边角等边角等边角等边角钢截面钢截面钢截面钢截面形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示解：由型钢规格表查得：25c号槽钢截面90mm90mm761.1.求组合截面的形心位置求组合截面的形心位置求组合截面的形心位置求组合截面的形心位置 组合截面的形心组合截面的形心组合截面的形心组合截面的形心C C在对称轴在对称轴在对称轴在对称轴x x上。以两个角钢截面的形心连线上。以两个角钢截面的形心连线上。以两个角钢截面的形心连线上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心为参考轴先求组合截面形心为参考轴先求组合截面形心为参考轴先求组合截面形心C C以该以该以该以该轴为基准的横坐标轴为基准的横坐标轴为基准的横坐标轴为基准的横坐标 ：于是有距离于是有距离于是有距离于是有距离1.求组合截面的形心位置组合截面的形心C在对称轴x772.2.利用平行移轴公式求利用平行移轴公式求利用平行移轴公式求利用平行移轴公式求I Ix x和和和和I Iy y槽钢截面对槽钢截面对槽钢截面对槽钢截面对x x轴和轴和轴和轴和y y轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为2.利用平行移轴公式求Ix和Iy槽钢截面对x轴和y轴的惯性78角钢截面对角钢截面对角钢截面对角钢截面对x x轴和轴和轴和轴和y y轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为79于是有组合截面对于是有组合截面对于是有组合截面对于是有组合截面对x x轴和轴和轴和轴和y y轴的惯性矩：轴的惯性矩：轴的惯性矩：轴的惯性矩：顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：顺便指出，该组合80思考题思考题:图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积已知每根槽钢截面面积已知每根槽钢截面面积已知每根槽钢截面面积A A，每根槽钢截面对于自身形心轴，每根槽钢截面对于自身形心轴，每根槽钢截面对于自身形心轴，每根槽钢截面对于自身形心轴y0y0的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩Iy0Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴以及通过槽钢截面腹板外侧的轴以及通过槽钢截面腹板外侧的轴以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1y1的惯性的惯性的惯性的惯性矩矩矩矩Iy1Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于对于对于对于y y轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩IyIy并说明理由：并说明理由：并说明理由：并说明理由：思考题:图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每81谢谢大家！谢谢大家！第六章结束82