向量及其代数运算课件

11/28281机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束用代数的方法来研究几何问题用代数的方法来研究几何问题第八章 空间解析几何与向量代数用代数的方法来研究几何问题22/28282机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小结六、小结 思考题思考题7.1 向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、33/28283机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量：向量：既有大小又有方向的量。既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.模长为模长为0 0 的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或或或或或1 1、概念概念单位向量：单位向量：零向量零向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M M与原点构成的向量与原点构成的向量.向量：既有大小又有方向的量。向量表示：模长为1的向量.模44/28284机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、两非零向量的关系、两非零向量的关系相等：相等：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.平行或共线：平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量方向相同或相反的两个非零向量.垂直：垂直：方向成方向成9090夹角的两个非零向量夹角的两个非零向量.【注意注意】由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都零向量与任何向量都平行平行或或垂直垂直。共面：共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.向量的夹角向量的夹角一、向量的概念2、两非零向量的关系相等：大小相等且方向相同55/28285机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1 1、向量的加减法、向量的加减法 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）1、向量的加减法二、向量的线性运算 加法：（平行四边形法则66/28286机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：交换律：交换律：结合律：结合律：加负律：加负律：减法减法向量的加法符合下列运算规律：交换律：结合律：加负律：77/28287机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法 定义：定义：数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：结合律：分配律：分配律：线性运算：线性运算：向量的加法及数乘统称为向量的向量的加法及数乘统称为向量的线性运算线性运算。2、向量与数的乘法二、向量的线性运算 定义：数与向量的乘88/28288机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1 1】化简化简【解解】【例例2 2】试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形平行四边形.【证证】与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.课本课本【例【例1】【例1】化简【解】二、向量的线性运算【例2】试用向量方法证明99/28289机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明上式表明一个非零向量除以它的模的结果是一个与一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量原向量同方向的单位向量.单位向量的表示单位向量的表示【注意注意】与三个坐标轴同向的单位向量的记法与三个坐标轴同向的单位向量的记法.按照向量与数的乘积的规定，上式表明一个非零向量除以它的模1010/282810机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束两个向量的平行关系两个向量的平行关系【证证】充分性显然；充分性显然；下面证明必要性下面证明必要性两式相减，得两式相减，得两个向量的平行关系二、向量的线性运算【证】充分性显然；下面1111/282811机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【注注】此定理是建立数轴的理论依据此定理是建立数轴的理论依据.【注】此定理是建立数轴的理论依据.1212/282812机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz坐标系坐标系或或 O;i,j,k 坐标系坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.1 1、坐标系的构成、坐标系的构成 坐标轴：坐标轴：横轴、纵轴、竖轴横轴、纵轴、竖轴 坐标面：坐标面：xOy面、面、yOz面、面、zOx面面 卦限：卦限：、横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Oxyz坐标系三个坐标轴的正方1313/282813机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限面面面空间直角坐标系共有八个卦限三、空间直角1414/282814机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束空间的点空间的点M M有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标空间的点M有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点三、1515/282815机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束加法加法1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘减法减法数乘数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式加法1、向量的加减法与数乘四、利用坐标作向量的线性运算减1616/282816机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:2 31717/282817机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】【例例3 3】求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得解二元一次方程组，易得【例例4 4】已知两点已知两点A(x1,y1,z1)和和B(x2,y2,z2)以及实数以及实数-1 1，在直线在直线AB上求点上求点M，使，使【解解】设设为直线上的点，为直线上的点，四、利用坐标作向量的线性运算【解】【例3】求解以向量为未知元1818/282818机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束由题意知：由题意知：由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算1919/282819机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量的模向量的模:1 1、向量的模与、向量的模与两点间的距离公式两点间的距离公式:按勾股定理可得按勾股定理可得两点间的距离公式两点间的距离公式:向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:五、向量的模、方2020/282820机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】原结论成立原结论成立.【例例6 6】已知两点已知两点A(5,3,1)和和B(1,0,5),求与求与【解】【解】五、向量的模、方向角、投影【解】原结论成立.【例6】已知两点2121/282821机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点等距解解:设该点为解得故所求点为及思考思考:(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.例.在 z 轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及2222/282822机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹2323/282823机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】设设P P点坐标为点坐标为所求点为所求点为【解】设P点坐标为所求点为五、向量的模、方向角、投影2424/282824机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦空间两向量的夹角的概念空间两向量的夹角的概念:类似地类似地，可定义，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值.2、方向角与方向余弦五、向量的模、方向角、投影空间两向量的2525/282825机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角方向角.方向角方向角显然有显然有方向余弦方向余弦由图分析可知由图分析可知方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向.向量的向量的方向余弦方向余弦方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：特殊地：单位向量的方向余弦为单位向量的方向余弦为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.五、向量的模、方向2626/282826机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例7.已知两点已知两点和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向2727/282827机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 例8.设点 A 位于第一卦限,解:已知角依次为求点 A 2828/282828机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影x轴与向量轴与向量 的关系的关系向量在向量在u轴上投影轴上投影五、向量的模、方向角、投影3、向量在轴上的投影x轴与向量 2929/282829机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量在三坐标轴上的投影向量在三坐标轴上的投影向量投影的性质向量投影的性质五、向量的模、方向角、投影向量在三坐标轴上的投影向量投影3030/282830机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】【解】五、向量的模、方向角、投影3131/282831机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且 求OA 在 OM 方向上的投影.解解:如图所示,记 MOA=,例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA3232/282832机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、向量概念一、向量概念1 1、概念、概念2 2、两非零向量的关系、两非零向量的关系二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 1、向量的加减法、向量的加减法2 2、向量与数的乘法向量与数的乘法三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1 1、坐标系的构成、坐标系的构成2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线四、利用坐标作向量的线性运算性运算1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式五、向量的模五、向量的模,方向角方向角,投影投影1 1、向量的模与两点间的距离、向量的模与两点间的距离公式公式2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影六、小结六、小结思考题思考题在空间直角坐标系中，指在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？出下列各点在哪个卦限？1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦A:;B:;C:;D:;7.1 向量及其线性运算一、向量概念1、概念2、两非零向