微分中值定理课件

1 第三章第三章第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数.但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率,指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个中它们都与自变量区间内部的某个中间值有关间值有关.1 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 2RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理小结小结 思考题思考题 作业作业ChauchyChauchy中值定理中值定理3.1 微分中值定理微分中值定理推广泰勒公式泰勒公式(第三节第三节)2Rolle定理定理Lagrange中值定理小结中值定理小结 思考题思考题 作作3 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线.有水平的切线有水平的切线3 本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光4Rolle定理定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 使得使得如如,一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理4Rolle定理定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)5几何解释几何解释:5几何解释几何解释:6Fermat引理引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 函数导数为函数导数为0的点的点也称为也称为驻点、稳定驻点、稳定点点或或临界点临界点。6Fermat 引理引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-17Rolle定理定理(1)(2)(3)使得使得证证 所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使有有由由 Fermat引理引理,7Rolle定理定理(1)(2)(3)使得证使得证 所以最值不可能同时所以最值不可能同时8(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,注注结论不一定成立结论不一定成立.Rolle定理定理(1)(2)(3)使得使得 1,0,)(=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点的点,有的函数这样的点可能不止一个有的函数这样的点可能不止一个.8(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,注结论不一定成立注结论不一定成立.Rolle9例例1 1证证(1)(2)定理的假设条件满足定理的假设条件满足结论正确结论正确验证验证Rolle定理的正确性定理的正确性.Rolle定理肯定了定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.,)2,1(内可导内可导在在-9例例1证证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证定理的假设条件满足结论正确验证Rolle10例例2 2证证 由由零点定理得零点定理得即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)存在性存在性10例例2证证 由零点定理得即为方程的小于由零点定理得即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)11(2)唯一性唯一性对可导函数对可导函数 f(x),f(x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程 的一个实根的一个实根.Rolle定理还指出定理还指出,至少存在方程至少存在方程满足满足Rolle定理的条件定理的条件.矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!11(2)唯一性对可导函数唯一性对可导函数 f(x),f(x)=0的的12 练练习习 不不求求导导数数 判判断断函函数数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的的导导数数有几个实根有几个实根 以及其所在范围以及其所在范围 解解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在在1 2 2 3上上满满足足Rolle定理的三个条件定理的三个条件 在在(1 2)内至少存在一点内至少存在一点x x1 使使 f (x x1)=0 x x1是是 f (x)的一个实根的一个实根 在在(2 3)内内至至少少存存在在一一点点x x2 使使f (x x2)=0 x x2也也是是f (x)的一个实根的一个实根 f (x)是二次多项式是二次多项式 只能有两个实根只能有两个实根 分别在区间分别在区间(1 2)及及(2 3)内内 12 练习练习 不求导数不求导数 判断函数判断函数f(x)=(13且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证即即显然显然在在上连续上连续.证：设证：设例例3.设设由由Rolle定理得定理得13且在内可导且在内可导,证明至少存在一点使提示证明至少存在一点使提示:由结论可知由结论可知,只需只需14 现在，微积分里面最著名的定理之一，就要登场了。只要该定理一出场，真可以让一大堆定理顿时黯然失色。不错，我们所说的不是别的，正是中值定理。你大概做梦也不会想到，大名鼎鼎的中值定理，不过只是朴实无华的罗尔定理转个角度，歪斜一下而已。你在看罗尔定理时，若是把脑袋歪向一边，看到的就是中值定理！14 现在，微积分里面最著名的定理之一，就现在，微积分里面最著名的定理之一，就15Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理15Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理16注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间baMeal Value Theorem16注拉格朗日注拉格朗日 Lagrange(法法)1736-18117证证作作辅助函数辅助函数由此得由此得Lagrange中值公式中值公式且且易知易知微分中值定理微分中值定理17证作辅助函数由此得证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值中值公式且易知微分中值18 微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为为“最有价值定理最有价值定理”（MVT）。）。Meal Value Theorem它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数18 微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定19几何解释几何解释:物理解释物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在19几何解释几何解释:物理解释物理解释:某一时刻达到它的平均速度某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中拉格朗日中20Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注注注但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.导数是个等式关系导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称中值定理又称Lagrange中值公式又称中值公式又称 有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.20Lagrange公式可以写成下面的各种形式公式可以写成下面的各种形式:它表达了函它表达了函21还有什么？还有什么？21还有什么？还有什么？22推论推论 1 1推论推论 2 2(C 为常数)推论推论 3 3 用来证明一些重要的不等式推论推论 4 4 用来判断函数的单调性22推论推论 1推论推论 2(C 为常数为常数)推论推论 3 用来证明一用来证明一23例例4 4证证由由推论推论自证自证说明说明欲证欲证只需证在只需证在 上上且且使使,)(0Cxf=,0)(xf23例例4证由推论自证说明欲证只需证在上且使证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,24例例5 5 试证明下列不等式试证明下列不等式(1)设设显然显然f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得由于由于故故证证24例例5 试证明下列不等式试证明下列不等式(1)设显然设显然f(x)在在a,25在在(0,x)（或（或(x,0)）内可导）内可导.即即(介于介于0与与x之间之间).则则 f(t)在在0,x（或（或x,0）上连续，）上连续，(2)令令f(t)=e t,于是，于是，由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得25在在(0,x)（或（或(x,0)）内可导）内可导.即即(26例例6证：证：所以由拉格朗日中值定理得所以由拉格朗日中值定理得命题得证命题得证26例例6证：所以由拉格朗日中值定理得命题得证证：所以由拉格朗日中值定理得命题得证27柯西柯西 Cauchy(法法)1789-1859Chauchy中值定理中值定理(1)(2)使得使得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理27柯西柯西 Cauchy(法法)1789-1859Chauc28这两个这两个错错 !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同x x28这两个错这两个错!柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述证使得柯西定理的下述证29 前面对前面对Lagrange中值定理的证明中值定理的证明,构造了构造了 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x),构构造造即可证明即可证明Cauchy定理定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数 分析分析 上式写成上式写成 用类比法用类比法),(),()()()(bafabafbf -=-x xx x29 前面对前面对Lagrange中值定理的证明中值定理的证明,构造了构造了 现在对两现在对两30Cauchy定理的几何意义定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得切线斜率切线斜率30Cauchy定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理(1)31例例7 7证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即满足柯西中值定理满足柯西中值定理31例例7证分析结论可变形为即满足柯西中值定理证分析结论可变形为即满足柯西中值定理32四、小结四、小结罗尔罗尔定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说,满足条件满足条件,不满足条件不满足条件,定理可能成立定理可能成立,不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能32四、小结罗尔四、小结罗尔LagrangeCauchy 罗罗33应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式证明不等式;(5)综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数33应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;34思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数函数在区间在区间 1,2 上满足上满足Lagrange定理定理条件条件,则中值则中值2)设设有有个根个根,它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程34思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间函数在区间 1,2 上上352.2.试证：方程试证：方程且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使3.设设4.4.352.试证：方程且在内可导试证：方程且在内可导,证明至少存在一点使证明至少存在一点使3.设设362.2.试证方程试证方程分析分析注意到注意到:362.试证方程分析注意到试证方程分析注意到:37证证 设设且且 由由Rolle定理得定理得即即试证方程试证方程37证设且证设且 由由Rolle定理得即试证方程定理得即试证方程38且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证即即验证验证在在上满足上满足Rolle定理条件定理条件.设设3.设设38且在内可导且在内可导,证明至少存在一点使提示证明至少存在一点使提示:由结论可知由结论可知,只需只需39作业作业习题习题3-1(1323-1(132页页)2.7.8.10.11.12.13.39作业习题作业习题3-1(132页页)2.7.42柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一,他为微积分他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,42柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡他对数学的贡43例例3 3证证 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函数要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记利用微分中值定理利用微分中值定理,得得43例例3证证 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析要分析44例例6 6证证证证从而从而44例例6证从而证从而