电势及其梯度课件

一、一、静电场的环路定理静电场的环路定理1、点电荷电场、点电荷电场点电荷电场中点电荷电场中,移动试移动试 验电荷电场力所作的功验电荷电场力所作的功结论结论结论结论:在点电荷的电在点电荷的电场中，电场力对试场中，电场力对试验电荷所作的功与验电荷所作的功与其移动时起始位置其移动时起始位置与终了位置有关，与终了位置有关，与经历的路径无关。与经历的路径无关。4 电势及其梯度电势及其梯度Q+DC一、静电场的环路定理一、静电场的环路定理1、点电荷电场点电荷电场中、点电荷电场点电荷电场中,移动试移动试 验电验电2 2、任意带电体电场中、任意带电体电场中任意带电体任意带电体点电荷系点电荷系任意点电荷系的电场力所作的功为任意点电荷系的电场力所作的功为每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。3 3、静电场的环路定理、静电场的环路定理(Circulation theorem of electrostatic of field)在真空中，一试探电荷在静电场中移动时，静电场力对它在真空中，一试探电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。而与试验电荷所经过的路径无关。静电场力也是保守力，静电场是保守场。静电场力也是保守力，静电场是保守场。2、任意带电体电场中任意带电体、任意带电体电场中任意带电体点电荷系任意点电荷系的电场力点电荷系任意点电荷系的电场力在静电场中，将试验电荷沿闭合路在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为径移到一周时，电场力所作的功为电场力作电场力作功与路径功与路径无关无关定义：定义：电场强度沿任意电场强度沿任意闭合闭合路径路径的线积分叫电场强度的环流。的线积分叫电场强度的环流。静电场环路定理：静电场环路定理：在静电场中，在静电场中，电场强度的环流为零。电场强度的环流为零。ABCD在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为例、在如图所示的静电场中例、在如图所示的静电场中,电场线的形状是以电场线的形状是以o点为点为中心的同心圆弧中心的同心圆弧,证明该部分电场强度与该点离证明该部分电场强度与该点离o点的点的距离距离r成反比成反比ro解、解、该部分电场强度具有球对称性，仅与该点离该部分电场强度具有球对称性，仅与该点离o点点的距离的距离r有关，方向沿圆弧切线。有关，方向沿圆弧切线。利用环路定理，做一闭合回路利用环路定理，做一闭合回路例、在如图所示的静电场中例、在如图所示的静电场中,电场线的形状是以电场线的形状是以o点为中心的同心圆点为中心的同心圆二、电势能二、电势能 电荷在电场的一定位置上，具有电荷在电场的一定位置上，具有电荷在电场的一定位置上，具有电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做一定的能量，叫做一定的能量，叫做一定的能量，叫做电势能电势能电势能电势能。CD定义定义定义定义:移动电荷过程中电势能的减移动电荷过程中电势能的减移动电荷过程中电势能的减移动电荷过程中电势能的减少等于静电场力对电荷所作的功少等于静电场力对电荷所作的功少等于静电场力对电荷所作的功少等于静电场力对电荷所作的功.电势能的参考点选择也是任意的，若取电势能的参考点选择也是任意的，若取电势能的参考点选择也是任意的，若取电势能的参考点选择也是任意的，若取WW=0=0，则电场中，则电场中，则电场中，则电场中C C C C点的电势能为：点的电势能为：点的电势能为：点的电势能为：结论：试探电荷结论：试探电荷结论：试探电荷结论：试探电荷q q q q0 0 0 0在电场中在电场中在电场中在电场中C C C C点的电势能，等于把它从点的电势能，等于把它从点的电势能，等于把它从点的电势能，等于把它从C C C C点移到零电势能处的过程中电场力所作的功。点移到零电势能处的过程中电场力所作的功。点移到零电势能处的过程中电场力所作的功。点移到零电势能处的过程中电场力所作的功。二、电势能二、电势能 电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做电势电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做电势三、三、电势差、电势差、电势电势1、电势差、电势差定义定义:(1)实质实质:电场中电场中C、D两点的电势差在数值上等于将单位正电两点的电势差在数值上等于将单位正电荷荷C点移动至点移动至D点电场力所作的功点电场力所作的功(电势能的减少电势能的减少)电势差电势差(2)描述电场本身在描述电场本身在C、D两点的性质两点的性质,与电荷与电荷 无关无关三、三、电势差、电势电势差、电势1、电势差定义、电势差定义:(1)实质实质:电场中电场中C、D两两2、电势、电势选某点为电势参考点选某点为电势参考点,并令并令则则A点电势点电势实质实质:电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到电势为零的点时，电场力所作的功。从该点移到电势为零的点时，电场力所作的功。2、电势选某点为电势参考点、电势选某点为电势参考点,并令则并令则A点电势实质点电势实质:电场中某点的电场中某点的电势是标量，有正有负；电势是标量，有正有负；电势的单位：伏特电势的单位：伏特 1V=1J.C1V=1J.C-1-1；电势决定于电势决定于参考点参考点的选择的选择,是是相对量相对量.电势差是绝对量电势差是绝对量.参考点选择是任意的参考点选择是任意的,但必须使积分有意义但必须使积分有意义.当带电体为当带电体为有限大有限大时时,可选择可选择无穷远处无穷远处的电势为零；但对于的电势为零；但对于“无限大无限大”或或“无限长无限长”的带电体，只能在的带电体，只能在有限的范围内有限的范围内选取某点选取某点为电势的零点。为电势的零点。在实际工作中，通常选择地面的电势为零在实际工作中，通常选择地面的电势为零。电势是标量，有正有负；电势是标量，有正有负；地与无穷远等电势吗地与无穷远等电势吗?实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场,是地球是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的所带的负电荷和大气中的等离子体产生的.若以若以无穷远处为电势零点无穷远处为电势零点,地球的电势地球的电势 估算地球的带电量估算地球的带电量:电离层电离层(60km)与地球表面的电势差与地球表面的电势差:约约30 0000V,晴天地表附近平坦地面处，电场强度晴天地表附近平坦地面处，电场强度100-200v/m地与无穷远等电势吗地与无穷远等电势吗?实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场3 3、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势电场力推动下电场力推动下电场力推动下电场力推动下:3、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势电场力推动下、讨论：电场力推动下电荷的运动趋势电场力推动下:例例例例1.1.计算点电荷电场的电势计算点电荷电场的电势计算点电荷电场的电势计算点电荷电场的电势.解解解解:选无穷远处为电势零点选无穷远处为电势零点选无穷远处为电势零点选无穷远处为电势零点 例例1.计算点电荷电场的电势计算点电荷电场的电势.解解:选无穷远处为电势零点选无穷远处为电势零点 四、电势叠加原理四、电势叠加原理 1 1、点电荷系电场的电势、点电荷系电场的电势、点电荷系电场的电势、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷电场由几个点电荷电场由几个点电荷电场由几个点电荷q q1 1，q q2 2，q qn n产生产生产生产生点电荷系所激发的电场中点电荷系所激发的电场中点电荷系所激发的电场中点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电某点的电势，等于各点电某点的电势，等于各点电某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电荷单独存在时在该点的电荷单独存在时在该点的电荷单独存在时在该点的电势的代数和。势的代数和。势的代数和。势的代数和。2 2、连续分布电荷电场的电势、连续分布电荷电场的电势、连续分布电荷电场的电势、连续分布电荷电场的电势线分布线分布线分布线分布面分布面分布面分布面分布体分布体分布体分布体分布四、电势叠加原理四、电势叠加原理 1、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷q13 3 3 3、电势的计算、电势的计算、电势的计算、电势的计算 利用电势的定义式利用电势的定义式利用电势的定义式利用电势的定义式(1)(1)(1)(1)要注意参考点的选择；要注意参考点的选择；要注意参考点的选择；要注意参考点的选择；(2)(2)(2)(2)积分路径上的场强的函积分路径上的场强的函积分路径上的场强的函积分路径上的场强的函 数形式已知或可求。数形式已知或可求。数形式已知或可求。数形式已知或可求。利用电势的叠加原理利用电势的叠加原理利用电势的叠加原理利用电势的叠加原理(1)(1)(1)(1)已知电荷的分布；已知电荷的分布；已知电荷的分布；已知电荷的分布；(2)(2)(2)(2)适用于电荷分布在有限的区域适用于电荷分布在有限的区域适用于电荷分布在有限的区域适用于电荷分布在有限的区域.步骤：步骤：步骤：步骤：(1)(1)(1)(1)先算场强先算场强先算场强先算场强 (2)(2)(2)(2)选择合适的路径选择合适的路径选择合适的路径选择合适的路径L L L L(3)(3)(3)(3)积分积分积分积分(计算计算计算计算)步骤步骤步骤步骤(1)(1)(1)(1)把带电体分为无限多把带电体分为无限多把带电体分为无限多把带电体分为无限多dqdq(2)(2)(2)(2)由由由由dq dq d d U U(3)(3)(3)(3)U U=d d U U3、电势的计算利用电势的定义式、电势的计算利用电势的定义式(1)要注意参考点的选择；利用要注意参考点的选择；利用例题例题例题例题1 1 1 1，均匀带电圆环轴线上，均匀带电圆环轴线上，均匀带电圆环轴线上，均匀带电圆环轴线上P P P P点的电势。点的电势。点的电势。点的电势。已知电荷已知电荷已知电荷已知电荷q q q q 均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R R R R的圆环上，的圆环上，的圆环上，的圆环上，求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距x x x x 的点的电势。的点的电势。的点的电势。的点的电势。解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一电荷元它在场点的电势为它在场点的电势为它在场点的电势为它在场点的电势为积分得场点的电势为积分得场点的电势为积分得场点的电势为积分得场点的电势为O Ox x例题例题1，均匀带电圆环轴线上，均匀带电圆环轴线上P点的电势。已知电荷点的电势。已知电荷q 均匀地分布均匀地分布例题例题例题例题2 2 2 2，均匀带电圆盘轴线的电势。，均匀带电圆盘轴线的电势。，均匀带电圆盘轴线的电势。，均匀带电圆盘轴线的电势。已知电荷已知电荷已知电荷已知电荷q q q q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为a a a a的圆盘上，的圆盘上，的圆盘上，的圆盘上，求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距x x x x的点的电势。的点的电势。的点的电势。的点的电势。解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为r r r r，宽度为，宽度为，宽度为，宽度为d d d dr r r r的圆环，其电量为的圆环，其电量为的圆环，其电量为的圆环，其电量为d d d dq q q q=2=2=2=2rrrrd d d dr r r r，在场，在场，在场，在场点的电势为点的电势为点的电势为点的电势为场点的电势为场点的电势为场点的电势为场点的电势为当当当当x x x xa a a a时时时时把圆盘当作把圆盘当作把圆盘当作把圆盘当作一个点电荷一个点电荷一个点电荷一个点电荷例题例题2，均匀带电圆盘轴线的电势。已知电荷，均匀带电圆盘轴线的电势。已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为例题例题例题例题3 3 3 3，均匀带电球壳的电势。，均匀带电球壳的电势。，均匀带电球壳的电势。，均匀带电球壳的电势。已知电荷已知电荷q q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R R的球的球壳上，求空间各点的电势。壳上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布当当r r R R时时,当当r rR R时时RrVAB选无穷远处为电势参考点选无穷远处为电势参考点例题例题3，均匀带电球壳的电势。，均匀带电球壳的电势。已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R例题例题例题例题4 4 4 4，已知电荷，已知电荷，已知电荷，已知电荷q q q q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R R R R带电球体上带电球体上带电球体上带电球体上,求电势。求电势。求电势。求电势。解：选无穷远处为电势参考点解：选无穷远处为电势参考点解：选无穷远处为电势参考点解：选无穷远处为电势参考点,由高斯定理由高斯定理由高斯定理由高斯定理可得电场强度可得电场强度可得电场强度可得电场强度当当r r R R时时当当r rR R时时AB例题例题4，已知电荷，已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R带电球体上带电球体上,求电势。求电势。AB另解另解:AB另解另解:例题例题例题例题5 5 5 5，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。解：假设电荷线密度为解：假设电荷线密度为解：假设电荷线密度为解：假设电荷线密度为l l l l，则场强为：，则场强为：，则场强为：，则场强为：由此例看出，当由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远电荷分布扩展到无穷远时，时，电势零点不能再选在无穷远处。电势零点不能再选在无穷远处。若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。选取距带电直线为为无限大而失去意义。选取距带电直线为为无限大而失去意义。选取距带电直线为为无限大而失去意义。选取距带电直线为r r r rB B B B的的的的B B B B点为电势零点为电势零点为电势零点为电势零点，则距带电直线为点，则距带电直线为点，则距带电直线为点，则距带电直线为r r r r的的的的P P P P点的电势：点的电势：点的电势：点的电势：方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线若令若令 例题例题5，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。解：假设电荷，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。解：假设电荷五、等势面五、等势面1、等势面、等势面电场中电势相等的点所构成的面，叫做电场中电势相等的点所构成的面，叫做电场中电势相等的点所构成的面，叫做电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势等势等势等势面面面面。即。即。即。即U(U(x,y,zx,y,z)=C)=C，的空间曲面。的空间曲面。的空间曲面。的空间曲面。2、等势面的性质、等势面的性质证明：将单位正电荷从等势面上证明：将单位正电荷从等势面上证明：将单位正电荷从等势面上证明：将单位正电荷从等势面上P P P P点移到点移到点移到点移到N N N N点，点，点，点，电场力做功为零，电场力做功为零，电场力做功为零，电场力做功为零，除电场强度为零处外，除电场强度为零处外，除电场强度为零处外，除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。电场线与等势面正交。电场线与等势面正交。电场线与等势面正交。等势面较等势面较等势面较等势面较密集处场强大密集处场强大密集处场强大密集处场强大,较稀疏处场强小。较稀疏处场强小。较稀疏处场强小。较稀疏处场强小。规定：规定：规定：规定：两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等.五、等势面五、等势面1、等势面电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势面、等势面电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势面3 3、典型的电场线与等势面、典型的电场线与等势面、典型的电场线与等势面、典型的电场线与等势面正点电荷正点电荷正点电荷正点电荷负点电荷负点电荷负点电荷负点电荷匀强电场匀强电场匀强电场匀强电场4 4、应用、应用、应用、应用测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场强度的关系，定性画出电场线。强度的关系，定性画出电场线。强度的关系，定性画出电场线。强度的关系，定性画出电场线。3、典型的电场线与等势面正点电荷负点电荷匀强电场、典型的电场线与等势面正点电荷负点电荷匀强电场4、应用测量、应用测量六、电场强度与电势的关系六、电场强度与电势的关系考虑两个靠得很近的等势面，电势分别为考虑两个靠得很近的等势面，电势分别为U和和U+U，在等势面上取两点，在等势面上取两点A和和B，垂，垂直间距为直间距为n，某点的场强沿任一方向的分量值，等于这一点的电势沿该方某点的场强沿任一方向的分量值，等于这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率。向单位长度的电势变化率。垂直于等势面方向变化率最大垂直于等势面方向变化率最大UU+UnAB六、电场强度与电势的关系考虑两个靠得很近的等势面，电势分别为六、电场强度与电势的关系考虑两个靠得很近的等势面，电势分别为直角坐标系直角坐标系注意注意:梯度梯度:矢量的大小等于标量函数在该点矢量的大小等于标量函数在该点的最大变化率的最大变化率,方向沿着标量函数增加方向沿着标量函数增加的方向的方向.1.电势为常数的区域电势为常数的区域,电场强度为零电场强度为零.2.电势等于零的点电势等于零的点,电场强度不一定为零电场强度不一定为零.反之亦然反之亦然.UU+UAB直角坐标系注意直角坐标系注意:梯度梯度:矢量的大小等于标量函数在该点的最大变化矢量的大小等于标量函数在该点的最大变化例题例题2 2，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。解：设解：设A与与+q和和-q均在均在xoy平面内，平面内，A到到+q和和-q的距离分别为的距离分别为r+和和r-，+q和和-q单独存在时，单独存在时，A点的电势为点的电势为对于电偶极子，对于电偶极子，l r，所以，所以xy例题例题2，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。解：设解：设A与与讨论讨论讨论讨论:电偶极子的延长线上电偶极子的延长线上电偶极子的延长线上电偶极子的延长线上:电偶极子的中垂线上电偶极子的中垂线上电偶极子的中垂线上电偶极子的中垂线上:yo-q+qx讨论讨论:电偶极子的延长线上电偶极子的延长线上:电偶极子的中垂线上电偶极子的中垂线上:yo-q+q偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 图图图图 3-13 3-13 电偶极子电力线与等位线分布图电偶极子电力线与等位线分布图电偶极子电力线与等位线分布图电偶极子电力线与等位线分布图 图图 3-13 电偶极子电力线与等位线分布图电偶极子电力线与等位线分布图 当当当当=0=0，coscos=1=1时，电势能最低，为时，电势能最低，为时，电势能最低，为时，电势能最低，为E Ep p=-=-pEpE ；当当当当=/2/2，coscos=0=0时，电势能为零；时，电势能为零；时，电势能为零；时，电势能为零；当当当当=，coscos=-1=-1时，时，时，时，电势能最大，为电势能最大，为电势能最大，为电势能最大，为E Ep p=pEpE。从能量的观点来看，能量越低，状态越稳定。因而，从能量的观点来看，能量越低，状态越稳定。因而，从能量的观点来看，能量越低，状态越稳定。因而，从能量的观点来看，能量越低，状态越稳定。因而，电偶极子电势能最低的位置，即为稳定平衡位置。因电偶极子电势能最低的位置，即为稳定平衡位置。因电偶极子电势能最低的位置，即为稳定平衡位置。因电偶极子电势能最低的位置，即为稳定平衡位置。因此，此，此，此，在电场中的电偶极子，总是有使自己转向稳定平在电场中的电偶极子，总是有使自己转向稳定平在电场中的电偶极子，总是有使自己转向稳定平在电场中的电偶极子，总是有使自己转向稳定平衡位置的趋势。衡位置的趋势。衡位置的趋势。衡位置的趋势。例例例例2.2.电偶极子在电场中的电势能和平衡位置电偶极子在电场中的电势能和平衡位置电偶极子在电场中的电势能和平衡位置电偶极子在电场中的电势能和平衡位置-q+qF+F-l当当=0，cos=1时，电势能最低，为时，电势能最低，为Ep=-pE 七、电偶极层七、电偶极层+-llcosP电偶极层电偶极层电偶极层电偶极层:两面带有符号相反的面两面带有符号相反的面两面带有符号相反的面两面带有符号相反的面 电荷电荷电荷电荷 ,厚度为厚度为厚度为厚度为l l的薄层的薄层的薄层的薄层.七、电偶极层七、电偶极层+-llcosP电偶极层电偶极层:两面带两面带结论：结论：电偶极层在空间的电势、电场仅由它对场点所张电偶极层在空间的电势、电场仅由它对场点所张 的立体角决定的立体角决定.+-结论：电偶极层在空间的电势、电场仅由它对场点所张结论：电偶极层在空间的电势、电场仅由它对场点所张 的立体角的立体角小小 结结 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能静电场力所作的功静电场力所作的功静电场的环路定理静电场的环路定理电势能电势能 电势电势电势电势点电荷电场的电势点电荷电场的电势电势叠加原理电势叠加原理 电场场强与电势梯度电场场强与电势梯度等势面等势面电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系作业：作业：21.26.33.39小小 结结 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能