检测系统的误差合成解读课件

2024/5/221检测系统的误差合成检测系统的误差合成1.1测量概论测量概论1.2测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理 系统误差的处理系统误差的处理 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则1.3 测量系统误差计算方法测量系统误差计算方法随机误差及其处理随机误差及其处理2023/8/31检测系统的误差合成1.1测量概论1.2测量2024/5/2221.1 测量概论测量概论 测量测量n测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较进行比较,确定被测量对标准量的倍数。确定被测量对标准量的倍数。它可它可由下式表示由下式表示:式中式中 ：x x被测量值被测量值;u u标准量标准量,即测量单位即测量单位;n n比值（纯数）比值（纯数）,含有测量误差。含有测量误差。2023/8/321.1 测量概论 测量测量是以确定被测量值2024/5/223 测量方法测量方法 实现被测量与标准量比较得出比值实现被测量与标准量比较得出比值的方法的方法,称为测量方法。称为测量方法。n直接测量、直接测量、间接测量与组合测量间接测量与组合测量n偏差式测量、偏差式测量、零位式测量与微差式测量零位式测量与微差式测量n等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量n静态测量与动态测量静态测量与动态测量2023/8/33 测量方法 实现被测量与2024/5/224 测量误差测量误差测量的目的是希望通过测量获取被测量的测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因真实值。但由于种种原因,例如例如,传感器本传感器本身性能不十分优良身性能不十分优良,测量方法不十分完善测量方法不十分完善,外界干扰的影响等外界干扰的影响等,都会造成被测参数的都会造成被测参数的测量值与真实值不一致测量值与真实值不一致,两者不一致程度两者不一致程度用测量误差表示。用测量误差表示。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。2023/8/34 测量误差2024/5/2251 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 （1）绝绝对对误误差差：绝绝对对误误差差可可用用下下式式定义定义:=x-L 式中式中:绝对误差绝对误差;x测量值测量值;L真实值。真实值。2023/8/351 测量误差的表示方法 （1）2024/5/2261 测量误差的表示方法测量误差的表示方法（2）相对误差：相对误差的定义由下式相对误差：相对误差的定义由下式给出给出:=100%式中式中:相对误差相对误差,一般用百分数给出一般用百分数给出;绝对误差绝对误差;L真实值真实值 2023/8/361 测量误差的表示方法（2）相对误差：2024/5/227 （3）引引用用误误差差:相相对对仪仪表表满满量量程程的的一一种种误差误差,一般用百分数表示，即一般用百分数表示，即 （4）基基本本误误差差:指指仪仪表表在在规规定定的的标标准准条条件件下下所所具具有有的的误误差差。测测量量仪仪表表的的精精度度等等级级就就是是由由基基本本误误差决定的。差决定的。（5）附附加加误误差差:指指当当仪仪表表的的使使用用条条件件偏偏离离额额定定条件下出现的误差。条件下出现的误差。2023/8/37 （3）引用误差:相对仪表2024/5/2282.误差的分类误差的分类误差分为三种误差分为三种:系统误差系统误差随机误差随机误差粗大误差粗大误差（1）系统误差：系统误差：对同一被测量进行多次重复对同一被测量进行多次重复测量时测量时,如果误差按照一定的规律出现如果误差按照一定的规律出现,则把这则把这种误差称为系统误差。种误差称为系统误差。例如例如,标准量值的不准标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。确及仪表刻度的不准确而引起的误差。2023/8/382.误差的分类误差分为三种:（1）系统误差2024/5/229（2）随机误差）随机误差：对同一被测量进行多次对同一被测量进行多次重复测量时重复测量时,绝对值和符号不可预知地随绝对值和符号不可预知地随机变化机变化,但就误差的总体而言但就误差的总体而言,具有一定的具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。统计规律性的误差称为随机误差。（3）粗大误差：粗大误差：明显偏离测量结果的误差明显偏离测量结果的误差称为粗大误差称为粗大误差,又称疏忽误差。又称疏忽误差。这类误差是这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗大误差而引起的。对于粗大误差,首先应设法判断首先应设法判断是否存在是否存在,然后将其剔除。然后将其剔除。2023/8/39（2）随机误差：对同一被测量进行多次重复测2024/5/22101.2 测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理n测量数据中含有系统误差和随机误差测量数据中含有系统误差和随机误差,有时还会含有粗大误差。它们的性质有时还会含有粗大误差。它们的性质不同不同,对测量结果的影响及处理方法也对测量结果的影响及处理方法也不同。不同。n对于不同情况的测量数据对于不同情况的测量数据,首先要加以首先要加以分析研究分析研究,判断情况判断情况,分别处理分别处理,再经综再经综合整理以得出合乎科学性的结果。合整理以得出合乎科学性的结果。2023/8/3101.2 测量数据的估计和处理测量数据中含2024/5/2211随机误差的统计和处理随机误差的统计和处理n判断：在测量中判断：在测量中,当系统误差已设法消除当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时或减小到可以忽略的程度时,如果测量数如果测量数据仍有不稳定的现象据仍有不稳定的现象,说明存在随机误差。说明存在随机误差。n方法方法:用概率数理统计的方法来研究。用概率数理统计的方法来研究。n任务任务:从随机数据中求出最接近真值的值从随机数据中求出最接近真值的值,对数据精密度（可信赖的程度）进行评对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。定。2023/8/311随机误差的统计和处理判断：在测量中,当2024/5/2212 测测量量实实践践表表明明,多多数数测测量量的的随随机机误误差差具具有有以下特征以下特征:绝绝对对值值小小的的随随机机误误差差出出现现的的概概率率大大于于绝对值大的随机误差出现的概率。绝对值大的随机误差出现的概率。随随机机误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超出出一一定定界界限限。测测量量次次数数n很很大大时时,绝绝对对值值相相等等、符符号号相反的随机误差出现的概率相等。相反的随机误差出现的概率相等。1 随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线2023/8/312 测量实践表明,多数测量2024/5/2213 当当测测量量次次数数足足够够多多时时,测测量量过过程程中中产产生生的的误误差服从正态分布规律。分布密度函数为差服从正态分布规律。分布密度函数为 y y概率密度概率密度;均方根偏差（标准误差）均方根偏差（标准误差）;随机误差（随机变量）随机误差（随机变量）,=x-L;,=x-L;x x测量值（随机变量）测量值（随机变量）;L L真值（随机变量真值（随机变量x x的数学期望）的数学期望）。2023/8/313 当测量次数足够多时,测量过程2024/5/2214正态分布曲线正态分布曲线 正正态态分分布布方方程程式式的的关关系系曲曲线线如如图图所所示示,说说明明随随机机变变量量在在x=L或或=0处处的的附附近近区域内具有最大概率。区域内具有最大概率。2023/8/314正态分布曲线 正态分布2024/5/22152正态分布的随机误差的数字特征正态分布的随机误差的数字特征 算术平均值是诸测量值中最可信赖的算术平均值是诸测量值中最可信赖的,它可以作为等精度多次测量的结果，它反映它可以作为等精度多次测量的结果，它反映了随机误差的分布中心。了随机误差的分布中心。2023/8/3152正态分布的随机误差的数字特征 2024/5/22162正态分布的随机误差的数字特征正态分布的随机误差的数字特征 标准偏差标准偏差（均方根（均方根误差）差）描述了随机描述了随机误差的分布范围，误差的分布范围，值越大，曲线越平坦，值越大，曲线越平坦，即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖锐，即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖锐，随机误差分散性越小。随机误差分散性越小。2023/8/3162正态分布的随机误差的数字特征 2024/5/2217 在在实实际际测测量量时时,由由于于真真值值L是是无无法法确确切切知知道道的的,用用测测量量值值的的算算术术平平均均值值代代替替,各各测测量量值值与与算算术平均值差值称为残余误差术平均值差值称为残余误差,即即用用残残余余误误差差计计算算的的均均方方根根偏偏差差称称为为均均方方根根偏偏差差估计值估计值2023/8/317 在实际测量时,由于真值2024/5/2218算术平均值的均方根偏差算术平均值的均方根偏差n通常在有限次测量时通常在有限次测量时,算术平均值不可能算术平均值不可能等于被测量的真值等于被测量的真值L,它也是随机变动的。它也是随机变动的。n设对被测量进行设对被测量进行m组的组的“多次测量多次测量”,各各组所得的算术平均值也有一定的分散性组所得的算术平均值也有一定的分散性,也是随机变量。也是随机变量。n算术平均值的精度可由算术平均值的均方算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。根偏差来评定。关系如下关系如下:2023/8/318算术平均值的均方根偏差通常在有限次测量时2024/5/2219 在有限次测量时在有限次测量时,的关系的关系 n2345678201.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.03 1.01 1.002023/8/319 在有限次测量时,2024/5/2220随机误差在（随机误差在（-，+）出现的概率出现的概率误差区间通常表示成误差区间通常表示成的倍数的倍数,如如t t置信概率置信概率t置信系数；置信系数；t置信区间（误差限）置信区间（误差限）在任意误差区间（在任意误差区间（a,b）出现的概率为出现的概率为由残余误差表示的概率由残余误差表示的概率密度密度2023/8/320随机误差在（-，+）出现的概率误差区2024/5/2221几个典型的几个典型的t值及其相应的概率值及其相应的概率t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994当当t=1时时,Pa=0.6827,即即测测量量结结果果中中随随机机误误差差出出现现在在-+范围内的概率为范围内的概率为68.27%。而而出出现现在在-3+3范范围围内内的的概概率率是是99.73%,因因此此可可以以认为绝对值大于认为绝对值大于3的误差是不可能出现的的误差是不可能出现的测量结果可表示为测量结果可表示为2023/8/321几个典型的t值及其相应的概率t0.6742024/5/2222Pa与与关系关系 随随机机误误差差在在t范范围围内内出出现现的的概概率率为为P,则则超超出出的概率称为显著度的概率称为显著度,用用表示：表示：=1-Pa-t 0 +t 2023/8/322Pa与关系 随机误差在2024/5/2223例例 有有一一组组测测量量值值为为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果求测量结果.解解:将测量值列于表将测量值列于表序号序号测量值测量值xi1237.42237.23237.94237.15237.16237.57237.48237.69237.610237.42023/8/323例 有一组测量值为237.4、237.22024/5/2224序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vi1237.4-0.12 2237.2-0.32 3237.90.38 4237.1-0.425237.10.586237.5-0.027237.4-0.128237.60.089237.60.0810237.4-0.12例例 有有一一组组测测量量值值为为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果求测量结果.解解:将测量值列于表将测量值列于表2023/8/324序号测量值xi残余误差vi1237.4-2024/5/2225序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vi1237.4-0.12 0.0142237.2-0.32 0.103237.90.38 0.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014例例 有有一一组组测测量量值值为为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果求测量结果.解解:将测量值列于表将测量值列于表2023/8/325序号测量值xi残余误差vi1237.4-2024/5/2226 测量结果为测量结果为 x=237.520.09 (Pa=0.6827)或或 x=237.5230.09=237.520.27 (Pa=0.9973)2023/8/326 测量结果为2024/5/2227系统误差的处理系统误差的处理1.从误差根源上消除系统误差从误差根源上消除系统误差 系系统统误误差差是是在在一一定定的的测测量量条条件件下下,测测量量值值中含有固定不变中含有固定不变或或按一定规律变化按一定规律变化的误差。的误差。所用传感器、所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。测量仪表或组成元件是否准确可靠。测量方法是否完善。测量方法是否完善。传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。测量者的操作是否正确。测量者的操作是否正确。2023/8/327系统误差的处理1.从误差根源上消除系统2024/5/2228 2.系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别 发现系统误差一般比较困难,下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。（1）实实验验对对比比法法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,以发现系统误差。（2）残残余余误误差差观观察察法法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。2023/8/328 2.系统误差的发现与判2024/5/2229图中把残余误差按测量值先后顺序排列图中把残余误差按测量值先后顺序排列,图图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统）的残余误差排列后有递减的变值系统误差误差;图（图（b）则可能有周期性系统误差。）则可能有周期性系统误差。2023/8/329图中把残余误差按测量值先后顺序排列,图2024/5/2230马马利利科科夫夫判判据据是是将将残残余余误误差差前前后后各各半半分分两两组组,若若“vivi前前”与与“vivi后后”之之差差明明显显不不为为零零,则可能含有线性系统误差。则可能含有线性系统误差。阿阿贝贝检检验验法法则则检检查查残残余余误误差差是是否否偏偏离离正正态态分分布布,若偏离若偏离,则可能存在变化的系统误差则可能存在变化的系统误差。（3）准准则则检检查查法法已已有有多多种种准准则则供供人人们们检检验验测测量量数数据据中中是是否否含含有有系系统统误误差差。不不过过这这些些准准则则都有一定的适用范围。都有一定的适用范围。2023/8/330马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,2024/5/22313.系统误差的消除系统误差的消除（1）在在测测量量结结果果中中进进行行修修正正对对于于已已知知的的系系统统误误差差,可可以以用用修修正正值值对对测测量量结结果果进进行行修修正正;对对于于变变值值系系统统误误差差,设设法法找找出出误误差差的的变变化化规规律律,用用修修正正公公式式或或修修正正曲曲线线对对测测量量结结果果进进行行修修正正;对对未知系统误差未知系统误差,则按随机误差进行处理。则按随机误差进行处理。（2）仔仔细细检检查查仪仪表表,正正确确调调整整和和安安装装;防防止止外外界界干干扰扰影影响响。（3）在在测测量量系系统统中中采采用用补补偿偿措措施施找找出出系系统统误误差差的的规规律律,在测量过程中自动消除系统误差。在测量过程中自动消除系统误差。（4）实实时时反反馈馈修修正正:应应用用自自动动化化测测量量技技术术实实时时反反馈馈修修正正的的办法来消除复杂的变化系统误差。办法来消除复杂的变化系统误差。2023/8/3313.系统误差的消除2024/5/2232测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 在在对对重重复复测测量量所所得得一一组组测测量量值值进进行行数数据据处处理理之之前前,首首先先应应将将具具有有粗粗大大误误差差的的可可疑疑数数据据找找出来出来加以剔除加以剔除。1.3准则准则 前前面面已已讲讲到到,通通常常把把等等于于3的的误误差差称称为为极极限限误误差差。3准准则则就就是是如如果果一一组组测测量量数数据据中中某某个个测测量量值值的的残残余余误误差差的的绝绝对对值值|vi|3时时,则则该该测量值为可疑值（坏值）测量值为可疑值（坏值）,应剔除。应剔除。2023/8/332测量粗大误差的存在判定准则 在对重复2024/5/2233测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则2.肖肖维维勒勒准准则则|vi|Zc时时该该测测量量值值为为可疑值。可疑值。n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.102023/8/333测量粗大误差的存在判定准则2.肖维勒准2024/5/2234序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.21例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2023/8/334序号测量值xi残余误差vivi2 1852024/5/2235序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.241例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2023/8/335序号测量值xi残余误差vivi2 1852024/5/2236序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 285.24-0.001 385.360.119 485.580.339 585.310.069 685.590.349 784.28-0.961 884.94-0.301 985.350.109 1085.21-0.031 85.2410.000 例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2023/8/336序号测量值xi残余误差vivi2 1852024/5/2237序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.310.069 0.005 685.590.349 0.122 784.28-0.961 0.924 884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 85.2410.000 1.378 n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.10根据肖维勒准则根据肖维勒准则|vi|Zc例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2023/8/337序号测量值xi残余误差vivi2 1852024/5/2238序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.310.069 0.005 685.590.349 0.122 784.28-0.961 0.924 884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 85.2410.000 1.378 根据肖维勒准则根据肖维勒准则|vi|Zc粗大误差粗大误差例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2023/8/338序号测量值xi残余误差vivi2 1852024/5/22391.3 测量系统误差计算方法测量系统误差计算方法1、不等精度测量的权与误差、不等精度测量的权与误差 前前面面讲讲述述的的内内容容是是等等精精度度测测量量的的问问题题。即即多多次次重重复复测测量量得得的的各各个个测测量量值值具具有有相相同同的的精精度度,可可用用同同一一个个均均方根偏差方根偏差值来表征值来表征,或者说具有相同的可信赖程度。或者说具有相同的可信赖程度。在在科科学学实实验验或或高高精精度度测测量量中中,为为了了提提高高测测量量的的可可靠靠性性和和精精度度,往往往往在在不不同同的的测测量量条条件件下下,用用不不同同的的测测量量仪仪表表、不不同同的的测测量量方方法法、不不同同的的测测量量次次数数以以及及不不同同的的测测量量者者进进行行测测量量与与对对比比,则则认认为为它它们们是是不不等等精精度度的的测量。测量。2023/8/3391.3 测量系统误差计算方法1、不等精度2024/5/2240“权权”的概念的概念在不等精度测量时在不等精度测量时,对同一被测量进行对同一被测量进行m m组测量组测量,得到得到m m组测量列（进行多次测组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差果及其误差,它们不能同等看待。它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为将这种可靠性的大小称为“权权”。2023/8/340“权”的概念在不等精度测量时,对同一被2024/5/2241权用符号权用符号p表示表示,有两种计算方法有两种计算方法:用用各各组组测测量量列列的的测测量量次次数数n的的比比值值表表示示,并并取取测测量量次次数数较较小小的的测测量量列列的的权为权为1,则有则有2023/8/341权用符号p表示,有两种计算方法:2024/5/2242用用各各组组测测量量列列的的误误差差平平方方的的倒倒数数的的比比值值表示表示,并取误差较大的测量列的权为并取误差较大的测量列的权为1 1。2023/8/342用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示2024/5/2243加权算术平均值加权算术平均值 考虑各测量列的权的情况考虑各测量列的权的情况2023/8/343加权算术平均值2024/5/2244 加权算术平均值的标准误差加权算术平均值的标准误差2023/8/344 加权算术平均值的标准误差2024/5/22452、测量误差的合成、测量误差的合成 一一个个测测量量系系统统或或一一个个传传感感器器都都是是由由若若干干部部分分组组成成。设设各各环环节节为为x x1 1,x,x2 2,x,xn n,系系统统总总的的输输入入输输出出关关系系为为 y=f(xy=f(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),而而各各部部分分又又都都存存在在测测量量误误差。差。各局部误差对整个测量系统或传感器测量各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题。误差的影响就是误差的合成问题。误差的合成：误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。已知各环节的误差而求总的误差。误差的分配：误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。总的误差值不超过规定值。2023/8/3452、测量误差的合成 一2024/5/2246（1）系统误差的合成：）系统误差的合成：由由前前面面可可知知,系系统统总总输输出出与与各各环环节节之之间间的的函数关系为函数关系为 y=f(x1,x2,xn)误差可用微分来表示误差可用微分来表示,故其合成表达式为故其合成表达式为2023/8/346（1）系统误差的合成：2024/5/2247（2）随机误差的合成：随机误差的合成：设设测测量量系系统统或或传传感感器器有有n个个环环节节组组成成,各各部部分的均方根偏差为分的均方根偏差为 x1,x2，xn 则随机误差的合成表达式为则随机误差的合成表达式为2023/8/347（2）随机误差的合成：2024/5/2248若若y=f(x1,x2,xn)为线性函数为线性函数,即即y=a1x1+a2x2+anxn 2023/8/348若y=f(x1,x2,xn)为线性函2024/5/2249（3）总总合合成成误误差差：设设测测量量系系统统和和传传感感器器的的系系统统误误差差和和随随机机误误差差均均为为相相互互独独立立的的,则总的合成误差则总的合成误差表示为：表示为：=yy2023/8/349（3）总合成误差：设测量系统和传感器的系2024/5/2250n在组合测量的数据处理、实验曲线在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的重要工具。拟合方面的重要工具。n要获得最可信赖的测量结果，应使要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和最小。各测量值的残余误差平方和最小。3.最小二乘法的应用最小二乘法的应用2023/8/350在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的2024/5/2251设检测系系统为：其中其中Y为直接测量值直接测量值，对系系统进行行n次次测量，可得以下量，可得以下线性方程性方程组：（nm）为被测量为被测量2023/8/351设检测系统为：其中Y为直接测量值，对系统2024/5/2252其中其中是被是被测量量的最可信的最可信赖的的值，为各次各次测量量结果。果。则残余残余误差差为：设设为带误差的实际直接测量值，为带误差的实际直接测量值，2023/8/352其中是被测量的最可信赖的值，为各次测量结2024/5/2253按最小二乘原理，上述残余按最小二乘原理，上述残余误差平方和差平方和为最小，最小，即即根据求极根据求极值条件使条件使整理后可得最小二乘估计的正规方程：2023/8/353按最小二乘原理，上述残余误差平方和为最小2024/5/2254最小二乘估计的正规方程最小二乘估计的正规方程2023/8/354最小二乘估计的正规方程2024/5/2255n正规方程是一个正规方程是一个m元线性方程组，当元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量的估计值解，由此可解得被测量的估计值2023/8/355正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行2024/5/2256n【例题例题】铜电阻的电阻值铜电阻的电阻值R与温度与温度t之间关系为之间关系为 ，在不同温度下，测得铜电阻的，在不同温度下，测得铜电阻的电阻值如下表所示。试估计电阻值如下表所示。试估计0时的铜电阻的电阻时的铜电阻的电阻值值R0和铜电阻的电阻温度系数和铜电阻的电阻温度系数。t ti i/19.119.125.025.030.130.136.036.040.040.045.145.150.050.0r rtiti/76.376.377.877.879.7579.7580.8080.8082.3582.3583.9083.9085.1085.102023/8/356【例题】铜电阻的电阻值R与温度t之间关系2024/5/2257解：列解：列误差方程差方程 （i=1,2,i=1,2,7,7）则误差方程可写差方程可写为：令令2023/8/357解：列误差方程（i=1,2,7）则2024/5/2258n=7，m=2时最小二乘估计的正规方程为2023/8/358n=7，m=2时最小二乘估计的正规方程为2024/5/2259解得 x1=70.8 x2=0.288 即 2023/8/359解得2024/5/22604.用经验公式拟合实验数据用经验公式拟合实验数据回归分析回归分析n在工程实践和科学实验中，经常遇到对在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。理成曲线图或经验公式。n用经验公式拟合实验数据，工程上把这用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为种方法称为回归分析回归分析。2023/8/3604.用经验公式拟合实验数据回归分析在2024/5/2261当经验公式为线型函数时称为线性回归分析当经验公式为线型函数时称为线性回归分析y=b0+b1x1+b2x2+bnxn当独立变量只有一个时，称为一元线性回归当独立变量只有一个时，称为一元线性回归 y=b0+bx2023/8/361当经验公式为线型函数时称为线性回归分析2024/5/2262设有设有n对测量数据对测量数据(xi,yi)用用y=b0+bx最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程中中b0，b的最佳估计值，使各测量数据点与回归直的最佳估计值，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。线的偏差平方和为最小。用最小二乘法求出系数用最小二乘法求出系数 b0，b2023/8/362设有n对测量数据(xi,yi)用 2024/5/2263思考题思考题1.什么是测量？测量的目的是什么？什么是测量？测量的目的是什么？2.测量方法的分类？测量方法的分类？3.什么是测量误差？什么是测量误差？4.测量误差的分类？测量误差的分类？5.随机误差的特征？随机误差的特征？6.算术平均值是反映随机误差的算术平均值是反映随机误差的 ；而均方根；而均方根偏差则反映随机误差的偏差则反映随机误差的？7.在在实际测量量时,真真值L是否可以确切知道？是否可以确切知道？实际测量的量的误差差应该怎怎样计算？算？8.残余残余误差差计算的均方根偏差称算的均方根偏差称为均方根偏差估均方根偏差估计值，与均方根偏差有何区，与均方根偏差有何区别？9.什么是系统误差？如何发现系统误差？什么是系统误差？如何发现系统误差？10.粗大误差如何判定？粗大误差如何判定？2023/8/363思考题什么是测量？测量的目的是什么？2024/5/2264作业n26页 1-10、1-11 n27页 1-13 2023/8/364作业26页 1-10、1-11 2024/5/2265结束2023/8/365结束