数值变量资料的统计描述课件

预防医学预防医学 医学数据的统计描述医学数据的统计描述 预防医学 医学数据的统计描述1数值变量的统计描述数值变量的统计描述统计图表统计图表数值变量的统计描述2统计描述统计描述统计描述就是用适当的表格、图形、数量统计描述就是用适当的表格、图形、数量化的指标，表达数据的数量特征，揭示其化的指标，表达数据的数量特征，揭示其分布的规律性分布的规律性统计描述分为：统计描述分为：形象化描述形象化描述（统计图表统计图表）建立对资料的初步印象；建立对资料的初步印象；数值化的描数值化的描述述（统计指标统计指标）给出分布规律及具体给出分布规律及具体数值数值统计描述统计描述就是用适当的表格、图形、数量化的指标，表达数3统计描述统计描述为什么要对资料进行统计描述？为什么要对资料进行统计描述？n医医学学研研究究得得到到的的原原始始数数据据(raw data)往往往往是是庞庞大大的的、混混乱乱的的n个个体体变变异异的的存存在在，医医学学研研究究中中某某指指标标在在各各个个体体上上的的观观察察结结 果果不不是是恒恒定定不不变变的的，但但也也不不是是杂杂乱乱无无章章的的；从从总总体体的的角角度度上上 个个 体体 值值 的的 变变 异异 是是 有有 一一 定定 规规 律律 的的，即即 呈呈 一一 定定 的的 分分 布布n统统 计计 描描 述述 的的 结结 果果 为为 进进 一一 步步 的的 统统 计计 推推 断断 提提 供供 参参 考考统计描述为什么要对资料进行统计描述？医学研究得到的原始数据(4统计描述统计描述统计描述的思路：统计描述的思路：计算相应统计指标计算相应统计指标绘制合适统计图表绘制合适统计图表判断类型判断类型获取资料获取资料分类汇总相应统计指标分类汇总相应统计指标绘制合适统计图表绘制合适统计图表数值数值变量变量分类分类变量变量统计描述统计描述的思路：计算相应统计指标判断类型获取资料分类5一、数值变量的统计描述一、数值变量的统计描述例例71：某地：某地1998年随机抽查年随机抽查120名名20岁健康男大学生身高岁健康男大学生身高(cm)175.7 171.6 172.4 170.5 172.3 163.8 172.4 167.5 173.6 175.0178.4 170.4 169.9 173.6 172.0 172.1 179.1 179.4 173.1 172.4170.4 178.2 172.9 172.7 179.6 174.5 174.8 172.0 175.8 172.7170.0 168.5 173.8 168.9 179.9 172.4 166.5 171.6 177.0 171.4170.3 167.4 174.3 172.3 175.3 170.4 171.6 174.1 171.6 173.8162.8 172.7 174.0 179.6 166.7 166.6 164.3 177.8 182.7 171.4168.9 175.2 176.7 169.5 176.3 177.7 172.1 166.6 177.1 176.1171.5 172.3 174.2 174.4 173.5 171.9 167.4 171.7 179.5 177.3175.3 172.3 174.2 174.4 173.5 171.9 167.4 181.7 179.5 177.3166.9 168.4 175.2 172.3 172.9 173.6 165.3 171.9 169.1 168.9178.2 169.5 172.1 178.4 166.6 165.8 171.1 174.9 176.7 174.8168.2 178.1 170.5 172.3 172.3 169.8 168.1 172.1 180.0 171.2一、数值变量的统计描述例71：某地1998年随机抽查1206理想的描述结果理想的描述结果身高身高例数例数比例比例(%)16221.6716432.50166108.331681310.831701915.831722823.331742016.67176108.33178108.3318043.3318218410.83理想的描述结果身高例数比例(%)16221.6716437如何得到上述理想的结果？如何得到上述理想的结果？频数分布表频数分布表分组划计分组划计原始资料原始资料频数分布图频数分布图各项统计指标各项统计指标如何得到上述理想的结果？频数分布表分组划计原始资料频数分布图8求极差求极差R：R=max-min确确定定组组数数：组组数数的的确确定定应应以以能能够够显显示示数数据据的的分分布布特特征征和和规规律律为为目目的。对于的。对于100余例的数据通常分为余例的数据通常分为815组。或根据以下经验公式：组。或根据以下经验公式：确定组距：组距确定组距：组距i是一个组的下限与下一个组段下限之差，可根据是一个组的下限与下一个组段下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即i iInt(Int(max-min)max-min)组数组数组数组数 列出组段：第一组段的列出组段：第一组段的下限略小于最小值下限略小于最小值，最后一个组段，最后一个组段上限必上限必须包含最大值须包含最大值统计出各组的频数并整理成频数分布表统计出各组的频数并整理成频数分布表1.频数表频数表求极差R：R=max-min1.频数表91.频数表频数表身高身高例数例数频率频率(%)频率密度频率密度（每（每cm身高频率）身高频率）16221.670.008316432.500.0125166108.330.04171681310.830.05421701915.830.07921722823.330.11671742016.670.0833176108.330.0417178108.330.041718043.330.016718218410.830.00421.频数表身高例数频率(%)频率密度16221.670.0102.频数分布图（直方图）频数分布图（直方图）2.频数分布图（直方图）11频数表与频数图的作用频数表与频数图的作用频数表与频数图可以提供不同分组的观察人数、频数表与频数图可以提供不同分组的观察人数、频率与频率密度频率与频率密度观察分布范围及有无可疑值观察分布范围及有无可疑值确定分布的类型：对称或不对称分布确定分布的类型：对称或不对称分布频数表与频数图的作用频数表与频数图可以提供不同分组的观察人数12289只近视眼只近视眼Lasik术后术后1月裸眼视月裸眼视力力Frequencynv0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.001.10 1.20060289只近视眼Lasik术后1月裸眼视力Frequencyn13对称分布对称分布该人群身高介于该人群身高介于162183cm间间以以“172”组段的频数最多组段的频数最多从从“172”组段向两端逐渐减少组段向两端逐渐减少表现出以表现出以“172”组段为中心基本对称的组段为中心基本对称的特点特点对称分布该人群身高介于162183cm间14不对称分布不对称分布分布不对称者称为分布不对称者称为偏态分布偏态分布skewness distribution 偏态分布又分为正偏分布和负偏分布偏态分布又分为正偏分布和负偏分布正偏分布正偏分布positive skewness是指分布的长尾在峰的右侧，是指分布的长尾在峰的右侧，又称又称右偏分布右偏分布right skewed所谓所谓负偏分布负偏分布negative skewness是指分布的长尾在峰的是指分布的长尾在峰的左侧，又称左侧，又称左偏分布左偏分布left skewed不对称分布分布不对称者称为偏态分布skewness dist15Negative skewness：老年人生存质量自评分：老年人生存质量自评分0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 200 300 0 400 自评分自评分人人数数Negative skewness：老年人生存质量自评分0 16Positive skewness：黑色素瘤患者的生存时间黑色素瘤患者的生存时间0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 02 03 04 0 生存时间生存时间(月月)人人数数Positive skewness：黑色素瘤患者的生存时间17如何更具体、精确？如何更具体、精确？了解了数据分布的形了解了数据分布的形态（对称与否）、是态（对称与否）、是否有异常值，仅仅意否有异常值，仅仅意味着对数据有了初步味着对数据有了初步认识，尚未得到数据认识，尚未得到数据的的“精确精确”特征特征例如：教务处得到例如：教务处得到04与与05两个年级的预防两个年级的预防医学成绩，如何判断医学成绩，如何判断优劣？优劣？分数段分数段04级级05级级例数例数%例数例数%中位数，故算术均中位数，故算术均数减去中位数为正值，称这种数据分布为正偏态数减去中位数为正值，称这种数据分布为正偏态对于负偏态数据有算术均数对于负偏态数据有算术均数中位数，故算术均数38n适用于分布呈明显偏态，数据中存在极大或极小适用于分布呈明显偏态，数据中存在极大或极小值，分布的一端或两端无确定数值，或分布不清值，分布的一端或两端无确定数值，或分布不清的资料的资料n它是位置参数，不受极端值的影响，因此较算术它是位置参数，不受极端值的影响，因此较算术均数稳定均数稳定n对于对称分布的资料，理论上中位数与算术均数对于对称分布的资料，理论上中位数与算术均数是相等的是相等的 中位数小结中位数小结适用于分布呈明显偏态，数据中存在极大或极小值，分布的一端或两39假设某投资者拥有资金假设某投资者拥有资金1000元，第一年他取得元，第一年他取得10的收益，第的收益，第二年为二年为15，第三年为，第三年为20，求年平均收益？，求年平均收益？第一年末所拥有的资金为其原始的第一年末所拥有的资金为其原始的1.1倍倍 第二年末所拥有的资金为其原始的第二年末所拥有的资金为其原始的1.11.15倍倍 第三年末所拥有的资金为其原始的第三年末所拥有的资金为其原始的1.11.151.2倍倍假设他三年来的投资收益是平均的，那么他的年平均收益假设他三年来的投资收益是平均的，那么他的年平均收益a应应该满足该满足aaa=1.11.151.2；所以：；所以：即他的年均收益为即他的年均收益为14.9274905%，而不是，而不是(0.10.150.2)/3=0.15新问题：平均发展速度新问题：平均发展速度假设某投资者拥有资金1000元，第一年他取得10的收益，第40新问题：平均抗体滴度新问题：平均抗体滴度7名慢性迁延性肝炎患者的名慢性迁延性肝炎患者的HBsAg滴度资料为：滴度资料为：1:16、1:32、1:32、1:64、1:64、1:128、1:512，求平均滴，求平均滴度？度？相似的思路处理抗体滴度问题：假设相似的思路处理抗体滴度问题：假设1:16为基础滴为基础滴度，则原始数据可以看作是度，则原始数据可以看作是1倍、倍、2倍、倍、2倍、倍、4倍、倍、4倍、倍、8倍、和倍、和32倍稀释；求平均稀释倍数倍稀释；求平均稀释倍数如果改用算术均数的直接法：先将各滴度取倒数，如果改用算术均数的直接法：先将各滴度取倒数，倒数的平均数约为倒数的平均数约为121.14，所以平均滴度约为，所以平均滴度约为1:121比比1:121大的有大的有5个数据，而比它小的只有个数据，而比它小的只有2个，而且个，而且大多数的数据在大多数的数据在1:100以内，所以看来以内，所以看来1:121不合适！不合适！新问题：平均抗体滴度7名慢性迁延性肝炎患者的HBsAg滴度资41已知矩形边长为已知矩形边长为4和和1，求平均边长，求平均边长已知长方体长、宽、高分别为已知长方体长、宽、高分别为4、1、2，求平均，求平均边长边长矩形平均边长为矩形平均边长为2，长方体平均边长也为，长方体平均边长也为2新问题：平均边长新问题：平均边长已知矩形边长为4和1，求平均边长新问题：平均边长42几何平均数几何平均数上述例子可见平均边长、平均发展速度、平均抗体稀上述例子可见平均边长、平均发展速度、平均抗体稀释倍数等平均指标的求法与算术均数、中位数有所差释倍数等平均指标的求法与算术均数、中位数有所差别别将这种由将这种由n个数据相乘后开个数据相乘后开n次方求得的平均数称为次方求得的平均数称为几几何平均数何平均数geometric mean，表示为，表示为G几何平均数上述例子可见平均边长、平均发展速度、平均抗体稀释倍43几何平均数几何平均数抗体滴度抗体滴度频数频数1:1621:3271:64111:128131:256121:5127合计合计5252名慢性肝炎患者的名慢性肝炎患者的HBsAg滴度经过整理滴度经过整理后如右表后如右表采用加权法计算加权采用加权法计算加权几何均数几何均数几何平均数抗体滴度频数1:1621:3271:64111:144几何平均数与算术均数几何平均数与算术均数从上述公式中可见，几何均数的对数值相当于从上述公式中可见，几何均数的对数值相当于原观察值对数转化后所求得的算术平均数原观察值对数转化后所求得的算术平均数算术平均数的使用条件是数据满足对称或近似算术平均数的使用条件是数据满足对称或近似对称分布；即意味着，如果数据在经对数转换对称分布；即意味着，如果数据在经对数转换后满足对称分布，就可以求其几何平均数后满足对称分布，就可以求其几何平均数几何平均数与算术均数从上述公式中可见，几何均数的对数值相当于45人群血铅含量平均值的计算人群血铅含量平均值的计算人群血铅含量平均值的计算46人群血铅含量平均值的计算人群血铅含量平均值的计算可见血铅值经对数转换后近似对称分布可见血铅值经对数转换后近似对称分布考虑计算该对数值的算术平均数为考虑计算该对数值的算术平均数为1.15经反对数转换，得到几何均数为经反对数转换，得到几何均数为14.13人群血铅含量平均值的计算可见血铅值经对数转换后近似对称分布47几何平均数小结几何平均数小结适用于呈等比级数、或呈倍数变化的数据；例如医学上适用于呈等比级数、或呈倍数变化的数据；例如医学上的抗体滴度、人口变化速度、细菌增长率、药物效价等的抗体滴度、人口变化速度、细菌增长率、药物效价等常用于表示呈正偏态，但是经过对数转换后可以满足对常用于表示呈正偏态，但是经过对数转换后可以满足对称（正态）的数据的平均水平称（正态）的数据的平均水平数据中不可以有数据中不可以有0，如果有，如果有0用一个很小的正数代替；不用一个很小的正数代替；不可同时有正负数可同时有正负数在医学之外，它常用于计算事物变化的平均速度（经济在医学之外，它常用于计算事物变化的平均速度（经济学）学）几何平均数小结适用于呈等比级数、或呈倍数变化的数据；例如医学48 对于两组资料集中趋势的描述：对于两组资料集中趋势的描述：样本样本1：样本含量：样本含量9，算术均数，算术均数10.11，中位数，中位数9.9样本样本2：样本含量：样本含量9，算术均数，算术均数10.11，中位数，中位数9.9 结论：两个样本完全一样？结论：两个样本完全一样？样本样本1:8.9 9.4 9.6 9.7 9.9 10.4 10.9 11.0 11.2样本样本2:2.9 3.1 3.8 5.1 9.9 10.0 17.0 18.0 21.2两个样本的资料相同或不同？两个样本的资料相同或不同？对于两组资料集中趋势的描述：样本1：样本含量9，算49Part 2：离散趋势指标：离散趋势指标离散趋势反映数据特征的另外一个重要方离散趋势反映数据特征的另外一个重要方面面“离心离心”程度程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度表程度不同类型的数据有不同的离散程度测量值不同类型的数据有不同的离散程度测量值Part 2：离散趋势指标离散趋势反映数据特征的另外一个重要50极差极差极差极差range：一组数据的最大值与最小值之：一组数据的最大值与最小值之差差离散程度的最简单测度值离散程度的最简单测度值易受极端值影响易受极端值影响未考虑数据的分布未考虑数据的分布一般极差越大，则数据的变异性越大；但是一般极差越大，则数据的变异性越大；但是它没有考虑除极值外其他数据的变异情况；它没有考虑除极值外其他数据的变异情况；而且样本的极差通常过小地估计了总体的极而且样本的极差通常过小地估计了总体的极差差7 8 9 107 8 910极差极差range：一组数据的最大值与最小值之差78910751四分位数四分位数n它与中位数一样，都是特殊的位置百分位数它与中位数一样，都是特殊的位置百分位数nQu，第，第75%位数又称为上四分位数（上限）位数又称为上四分位数（上限）nQL，第，第25%位数又称为下四分位数（下限）位数又称为下四分位数（下限）四分位数四分位数quartile：排序后处于：排序后处于25%和和75%位置位置上的值上的值QLMQU25%25%25%25%四分位数它与中位数一样，都是特殊的位置百分位数四分位数qua52四分位数的确定四分位数的确定直接计算法直接计算法*:（对于其他特别的百分位数也适用）（对于其他特别的百分位数也适用）当当n x%为小数时为小数时Px=X trunc(nx%)+1 当当n x%为整数时为整数时Px=0.5 X nx%+X nx%+1 trunc(a)表示对表示对a取整数，去掉小数取整数，去掉小数:trunc(118.8)=118频数表法频数表法:第第x百分位数百分位数 式中式中Lx、ix和和fx分别为第分别为第x百分位数所在组段的下限组距百分位数所在组段的下限组距和频数；和频数；为小于为小于Lx各组段的累积频数，各组段的累积频数，n为总例数为总例数 四分位数的确定直接计算法*:（对于其他特别的百分位数也适用53四分位数间距四分位数间距四分位数间距四分位数间距interquartile range：上四分位数与下四分：上四分位数与下四分位数之差位数之差 IRQ=QU QL反映数据离散程度，其值越大数据离散程度越大反映数据离散程度，其值越大数据离散程度越大体现了中间体现了中间50%数据的离散程度，但是仍然没有考虑到数据的离散程度，但是仍然没有考虑到每个观测值间的变异每个观测值间的变异受极端值的影响小，比极差稳定受极端值的影响小，比极差稳定特别适用于分布呈明显偏态；分布形态不清；分布一端特别适用于分布呈明显偏态；分布形态不清；分布一端或两端无确定数值的资料或两端无确定数值的资料常与中位数一起，综合描述数据的集中和离散趋势常与中位数一起，综合描述数据的集中和离散趋势四分位数间距四分位数间距interquartile rang54 离均差离均差离均差离均差与与与与离均差和离均差和离均差和离均差和:为了克服全距、四分位数间距为了克服全距、四分位数间距的缺点，人们考虑到用每个变量值与均数之间的差别的缺点，人们考虑到用每个变量值与均数之间的差别来反映离散的程度，所以提出了离均差的概念，其数来反映离散的程度，所以提出了离均差的概念，其数学表达式为学表达式为 离均差可正可负，但是数学上可以证明离均差可正可负，但是数学上可以证明 离均差与离均差和离均差与离均差和 离均差与离均差和:为了克服全距、四分55 离均差平方和离均差平方和离均差平方和离均差平方和与与与与离均差平方和的平均值离均差平方和的平均值离均差平方和的平均值离均差平方和的平均值:为了避免离均为了避免离均差和等于差和等于0的情况，人们考虑将离均差取平方后求其和，的情况，人们考虑将离均差取平方后求其和，于是有了离均差平方和，其数学表达式为于是有了离均差平方和，其数学表达式为 前者称为前者称为SS总体总体，后者称为，后者称为SS样本样本；但是；但是SS不但和变异大不但和变异大小有关，还和观察值的个数有关，小有关，还和观察值的个数有关，SS随观察例数增多而随观察例数增多而增大。为了解决这个问题，人们又引入了离均差平方和增大。为了解决这个问题，人们又引入了离均差平方和的平均值，其数学表达式为的平均值，其数学表达式为 离均差平方和与均方离均差平方和与均方 离均差平方和与离均差平方和的平均值:为了56方差方差离均差平方和的平均值离均差平方和的平均值(MS)，又可称为，又可称为方差方差variance它是反映数据离散程度的最常用的指标它是反映数据离散程度的最常用的指标在计算方差过程中利用到每个变量值，所以它在计算方差过程中利用到每个变量值，所以它表达的离散趋势信息比极差、四分位数间距更表达的离散趋势信息比极差、四分位数间距更精确精确但是由于在计算方差时用到算术均数，所以方但是由于在计算方差时用到算术均数，所以方差也只能用于反映对称或近似对称分布资料的差也只能用于反映对称或近似对称分布资料的离散趋势离散趋势方差离均差平方和的平均值(MS)，又可称为方差varianc57 总体方差总体方差通常用希腊字母通常用希腊字母s s2 2(sigma)表示，记作表示，记作:但是在实际研究中，通常只观察来自总体中的一个样本，但是在实际研究中，通常只观察来自总体中的一个样本，所以总体均数是未知的；此时用样本均数作为总体均数所以总体均数是未知的；此时用样本均数作为总体均数的估计值，相应的方差称为的估计值，相应的方差称为样本方差样本方差，其公式为，其公式为:式中的式中的 n-1 又称为又称为自由度自由度总体方差与样本方差总体方差与样本方差 总体方差通常用希腊字母s2(sigma)表示，记58自由度自由度自自由由度度degree of freedom,df：一一组组数数据据中中可可以以自自由由取取值值的数据的个数的数据的个数当当样样本本数数据据的的个个数数为为 n 时时，若若样样本本均均值值 x 确确定定后后,只只有有n-1个个数数据据可可以以自自由由取取值值，其其中中必必有有一一个个数数据据则则不不能能自自由由取值取值例例如如，样样本本有有3个个数数值值，即即x1=2，x2=4，x3=9，则则 x=5。当当 x=5 确确定定后后，如如果果x1=6，x2=7，那那么么x3则则必必然然取取2，而不能取其他值而不能取其他值样样本本方方差差用用自自由由度度去去除除，其其原原因因可可从从多多方方面面解解释释，从从实实际际应应用用角角度度看看，在在抽抽样样估估计计中中，当当用用样样本本方方差差S2去去估估计计总体方差总体方差2时，它是时，它是2的无偏估计值的无偏估计值自由度自由度degree of freedom,df：一组59标准差标准差 在取方差的过程中，对离均差作了平方转换，在取方差的过程中，对离均差作了平方转换，这样方差的单位就是原观察值单位的平方，使这样方差的单位就是原观察值单位的平方，使用不方便用不方便 为了使得观察单位的平均数指标与变异程度指为了使得观察单位的平均数指标与变异程度指标具有相同的单位，通常将方差的算术平方根标具有相同的单位，通常将方差的算术平方根作为反映变异程度的一个重要指标，人们将它作为反映变异程度的一个重要指标，人们将它称为称为标准差标准差standard deviation,sd标准差 在取方差的过程中，对离均差作了平方转换，这样方差的单60方差方差（MS）标准差标准差（SD）样本样本 总体总体 方差样本 总体 61方差方差（MS）标准差标准差（SD）样本（样本（x为组中值）为组中值）总体（总体（x为组中值）为组中值）方差样本（x为组中值）总体（x为组中值）621985年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为均数为8.42kg，标准差为，标准差为0.98kg；身高均数为；身高均数为72.4cm，标准差为标准差为3.0cm，试问身高与体重何者变异情况较大？，试问身高与体重何者变异情况较大？要反映变异程度本例题中宜采用标准差；从标准差的要反映变异程度本例题中宜采用标准差；从标准差的数值看来，身高变异程度大于体重。数值看来，身高变异程度大于体重。是否合理？是否合理？身高的单位是身高的单位是cm，而体重的单位是，而体重的单位是kg，能否认为，能否认为3cm0.98kg？变异度间的比较问题变异度间的比较问题1985年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为8.63变异系数变异系数变异系数变异系数coefficient of variation：标准差与其相：标准差与其相应的均值之比应的均值之比它反映数据它反映数据相对相对离散程度，没有量纲离散程度，没有量纲消除了数据水平高低和计量单位的影响，用于消除了数据水平高低和计量单位的影响，用于不同性质数据或均数相差较大时，离散程度的不同性质数据或均数相差较大时，离散程度的比较比较变异系数变异系数coefficient of variati64频数分布表、图频数分布表、图分组划计分组划计原始资料原始资料分布分布类型类型数值变量统计描述小结数值变量统计描述小结算术均数与标准差算术均数与标准差对数转换对数转换几何均数与对数值几何均数与对数值标准差的反对数标准差的反对数中位数与四分位数间距中位数与四分位数间距不对称不对称对称对称频数分布表、图分组划计原始资料分布数值变量统计描述小结算术均65