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北师大版北师大版一元二次方程的概念一元二次方程的概念知识回顾知识回顾 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程的整式方程称为一元二次方程.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a、b b、c c为常数，为常数，a0a0）常数项常数项二次项二次项一次项一次项a为二次项系数为二次项系数b为一次项系数为一次项系数 二次项系数a为什么不等于0呢？判别一个方程是判别一个方程是一元二次方程的一元二次方程的重要条件！重要条件！一元二次方程的解一元二次方程的解 使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是方程的解（根）。方程的解（根）。【典型例题典型例题】例例1、下列方程中是关于、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（）变式：当式：当k k 时，关于，关于x x的方程的方程是一元二次方程。是一元二次方程。1A、B、C、D、A1.1.（0707兰州）兰州）下列方程中是一元二次方程的是下列方程中是一元二次方程的是（）A A、2 2x x1 10 0 B B、y y2 2x x1 1 C C、x x2 21 10 0 D D、C C2.2.（0808青岛）青岛）关于关于x x的方程的方程 是一元二次方程，求是一元二次方程，求m m的值。的值。二次项的系数不等于二次项的系数不等于0.0.注意注意:m=-23、若（、若（m+2）x 2+（m-2）x-2=0是关于是关于x的一元二次方程则的一元二次方程则m 。4、已知关于、已知关于x的方程（的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0，当当m 时是一元二次方程时是一元二次方程,当当 m=时是一元一次方程，时是一元一次方程，当当m=时，时，x=0。5、将方程将方程 3x(x-1)=5(x+2)化为一元化为一元二次方程的一般式是二次方程的一般式是_.21-1 3x x2 2-8x-100 0【典型例题典型例题】v例例3、（河北中考）、（河北中考）已知已知x=1一元二次一元二次方程方程x2+mx+n=0的一个根，的一个根，m2+2mn+n2的的值为.v【变式训练变式训练】（苏州中考）（苏州中考）若一元二次方程 x2一（a）x a 0的两个实数根分别是、b，则a b的值为例例2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程 的一个根为的一个根为0，则，则a的值为的值为 。v、一元二次方程、一元二次方程 x2=2x的根是的根是()vAx=2 B.x=0 vCx1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2v、已知方程、已知方程x2bxa0有一个根是有一个根是a(a0)，则是，则是a-b的值为的值为()vA-1 B.0 C1 D2v、已知关于、已知关于x的方程的方程x2+mx-6=0的一个根为的一个根为2，则，则m=_,另一个根是另一个根是_.思考：已知关于思考：已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 的系数满足的系数满足 则此方程必有一根为则此方程必有一根为 。类型一、直接开方法：类型一、直接开方法：对于对于 等形式均适用直接开方法等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法类型二、因式分解法:方程特点：方程特点：右右边为“0”0”，左，左边可以分解可以分解为两个一次两个一次因式的因式的积，类型三、配方法类型三、配方法 在解方程中，多不用配方法；但常利用在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。问题。类型四、公式法类型四、公式法条件：条件：公式：公式：用合适的方法解下列方程用合适的方法解下列方程v（1）（2x+1)2-25=0v（2）2x2-7x-2=0v（3）（）（x+2)2=3(x+2)v（4）x2+x-6=0例例1、若、若 则则4x+y的值为的值为 。变式变式1：变式变式2：，则，则x+y的值的值变式变式3：，则，则x+y的值的值【典型例题典型例题】例例2、试用配方法说明、试用配方法说明 的值恒大于的值恒大于0。【变式训练变式训练】1、已知已知x、y为实数，求代数式为实数，求代数式 的最小值。的最小值。2、已知已知 为实数，求为实数，求 的值。的值。一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一元二次方程 根的判式是:根的情况两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程判别式的情况定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)前提：对于前提：对于 而言，当满足而言，当满足 时，才能用根系关系时，才能用根系关系 主要内容：主要内容：应用：整体代入求值。应用：整体代入求值。一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系【典型例题典型例题】例例1、若关于、若关于x的方程的方程 有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则 k的取值范围的取值范围.变式：变式：关于关于x的一元二次方程（的一元二次方程（m-1）x2+2（m+1）x+m=0有两个不相等的实数有两个不相等的实数根根（1）求）求m的取值范围；的取值范围；（2）当）当m=2时，上述方程有实数根吗？若有，请时，上述方程有实数根吗？若有，请求出方程的根；若没有，请说明理由求出方程的根；若没有，请说明理由例例2、关于、关于x的的 方程方程 有实数根，则有实数根，则m的取值范围是什么？的取值范围是什么？一元二次一元二次例例5、已知关于、已知关于x的方程的方程 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根（1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2）是否存在实数）是否存在实数k，使方程的两实数，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出根互为相反数？若存在，求出k的值；的值；若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。例例3、m 为何值时，方程组为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？v1 下列关于下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是的实数根的方程是()Ax210 B9x26x10 Cx2x20 Dx22x10v2 关于关于x的一元二次方程（的一元二次方程（m-1）x2+2（m+1）x+m=0有两个不相等的实有两个不相等的实数根数根（1）求）求m的取值范围；的取值范围；（2）当）当m=2时，上述方程有实数根吗？若有，时，上述方程有实数根吗？若有，请求出方程的根；若没有，请说明理由请求出方程的根；若没有，请说明理由 5、方程类问题中的、方程类问题中的“分类讨论分类讨论”【典型例题典型例题】例例1、关于、关于x的方程的方程 有两个实数根，则有两个实数根，则m为为 ,只有一个根，则只有一个根，则m为为 。例例2、不解方程，判断关于、不解方程，判断关于x的方程的方程 根的情况。根的情况。例例3、如果关于、如果关于x的方程的方程 及方程及方程 均有实数根，问这两方程是否有相均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根同的根？若有，请求出这相同的根及及k的值；若没有，请说明理由。的值；若没有，请说明理由。考点考点4：根与系数的关系：根与系数的关系【考点讲解考点讲解】前提：对于前提：对于 而言，当满足而言，当满足 时，才能用根系关系时，才能用根系关系 主要内容：主要内容：应用：整体代入求值。应用：整体代入求值。【典型例题典型例题】例例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程是方程 的两根，则这个直角三角形的斜边是多少？的两根，则这个直角三角形的斜边是多少？归类示例北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版北师大版【典型例题典型例题】例例1、已知、已知 的值为的值为2，则，则 的值为的值为 。例、关于例、关于x的一元二次方程的一元二次方程 的一个根为的一个根为0，则，则a的值为的值为 。例例4、已知、已知 是方程是方程 的两个根，的两个根，是方程是方程 的两个根，则的两个根，则m的值为的值为 。解法一元二次方程的解法一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解法当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程没有实数根.最常用的方法是因式分解法；最通用的方法是公式法；最具有局限性的方法是直接开平方法；最繁琐的方法是配方法.比较例例2、已知、已知 则则 的值的值变式：已知变式：已知 且且 则则 的值的值 根的情况两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程判别式的情况定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)48写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habitsThe foundation of success lies in good habits谢谢聆听谢谢聆听 学习学习就是就是为了达到一定目的而努力去干为了达到一定目的而努力去干,是是为一个目标去为一个目标去战胜各种困难的过程战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和这个过程会充满压力、痛苦和挫折挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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