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圆中的计算圆中的计算与圆有与圆有关的位关的位置关系置关系圆的圆的基基本性质本性质一、知识结构一、知识结构圆圆点与圆的位置关系点与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积扇形面积,弧长弧长,圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积弧、弦与圆心角弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性圆的对称性切线切线圆圆的的切切线线切线长切线长二、主要定理二、主要定理（一）圆心角定理（一）圆心角定理（二）圆周角定理（二）圆周角定理（三）垂径定理（三）垂径定理（四）与圆有关位置关系的判别（点线圆）（四）与圆有关位置关系的判别（点线圆）（五）（五）切线的性质与判别切线的性质与判别（六）切线长定理（六）切线长定理（七）弦切角定理（七）弦切角定理（八）相交弦定理（八）相交弦定理（九）切割线定理（九）切割线定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两两条弧条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相有一组量相等等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB一、圆心角、弧、弦、弦心距的关系一、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、二、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形”若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧.2 2、垂径定理的逆定理、垂径定理的逆定理CDAB,n由由 CD是是直直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.(1)直径直径(过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦；(2)(3)平分弦平分弦；(4)平分劣弧；平分劣弧；(3)(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意:“直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗这句话对吗?()错错OABCDMOABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cm三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 .OABCOBACDEOABC 定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角所对的圆周角相等相等,都等于这弧都等于这弧所对的所对的圆心角的一半圆心角的一半.推论推论:直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 .直角直角直径直径判断判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.()()()1.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的，则这条弦所对的圆心角是圆心角是,圆周角是圆周角是.p.or.o.p.o.p四、四、1，点和圆的位置关系，点和圆的位置关系Opr 点点p在在o内内Op=r 点点p在在o上上Opr 点点p在在o外外1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含01210dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rd R+rd=R+rR-r d R+rd=R-rd R-r3.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系切线的判定定理切线的判定定理定理定理 经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线.CDOA如图如图OAOA是是O O的的半径半径,且且CDOACDOA,CDCD是是O O的切线的切线.（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）（）切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径要作出过这一点的半径，再证明直线再证明直线垂直于这条半径即可；垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段要作出圆心到直线的垂线段，再证明再证明这条垂线段等于半径即可这条垂线段等于半径即可切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径.CDCD切切O O于于,OA,OA是是O O的半的半径径CDOACDOA.切线的性质定理出可理解为切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么两个，那么第三个也成立。第三个也成立。经过切点、经过切点、垂直于切线、垂直于切线、经过圆心。经过圆心。A AB BC CO O.三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A AB BC CI I三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心内心内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的外心外心外心外心实质实质性质性质三角形的外心三角形的外心三角形的内心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外.ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？相交弦定理相交弦定理 PA PB=PC PD圆内的两条相交弦，被圆内的两条相交弦，被交点交点分成的两分成的两条线段长的积相等。条线段长的积相等。切割线定理：切割线定理：弧长的计算公式为：弧长的计算公式为：=2r=扇形的面积公式为：扇形的面积公式为：S=S=因此扇形面积的计算公式为因此扇形面积的计算公式为S=或或 S=rA AB BC CD DP PO O.、垂直于弦的直径、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧平分弦及弦所对的弧2、相似、相似3、直径所对的圆周角、直径所对的圆周角是直角是直角 三、基本图形（重要结论）三、基本图形（重要结论）(一一)B BC CD DP PO OE E、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧2 2、同弧所对的圆周角是圆心角的一半、同弧所对的圆周角是圆心角的一半(二二)B BC CA A O O已知已知ABC内接于内接于 O，过点过点O分别作分别作OD BC，OEAB，OFAC，则，则OD:OF:OE=（）分析分析:1）找基本图形）找基本图形2）在）在Rt BOD中，中，设半径为设半径为r,则则 cosBOD=cosA=OD:rcosCOF=cosB=OF:rcosAOE=cosC=OE:rA.sinA:sinB:sinCA.sinA:sinB:sinC B.cosAB.cosA:cosB:cosCcosB:cosC C.tanA:tanB:tanCC.tanA:tanB:tanC D.cotA:cotB:cotCD.cotA:cotB:cotCBBOD=BACBOD=BAC，COF=ABCCOF=ABC，AOE=ACBAOE=ACB；切线长定理切线长定理相似相似垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦(三三)E E 如图如图,若若AB,ACAB,AC与与O O相切与点相切与点B,CB,C两点两点,P,P为弧为弧 BCBC上任意一点上任意一点,过点过点P P作作O O的切线交的切线交AB,ACAB,AC于于 点点D,E,D,E,若若AB=8,AB=8,则则ADEADE的周长为的周长为_;16cm若若A=70A=70,则则BPC=_ BPC=_;125过点过点P P作作O O的切线的切线MN,MN,BPC=_;BPC=_;(用用A A表示表示)90-AM MA AB BC CD DF FE E.a ac cb bS ABC=C ABC r内AD=AF=(b+c-a)BD=BE=(a+c-b)CE=CF=(a+b-c).(四四)、RtABCRtABC的外接圆半径等于斜边的一半的外接圆半径等于斜边的一半AABCABCABC中中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,C=90,AC=6cm,BC=8cm,则它则它 的外心与顶点的外心与顶点C C的距离是的距离是_;_;A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm RtABCRtABC的内切圆半径等于两直角边的的内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半和与斜边的差的一半已知已知ABCABC外切于外切于O,O,(1)(1)若若AB=8,BC=6,AC=4,AB=8,BC=6,AC=4,则则AD=_;BE=_;CF=_;AD=_;BE=_;CF=_;(2)若若CABC=36,SABC=18,则则r内内=_;(3)(3)若若BE=3,CE=2,ABCBE=3,CE=2,ABC的周长为的周长为18,18,则则AB=_;AB=_;S ABC=C ABCr内18463517A AB BC CD DABABCDCDADADCBCB(五五)、相交两圆的连心线垂直平分公共弦、相交两圆的连心线垂直平分公共弦AO1O2B已知：已知：O O1 1和和O O2 2相交于相交于A A、B B（如图）（如图）求证：求证：O O1 1O O2 2是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线证明：连结证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B O1A=O1B O1点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 O2A=O2B O2点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 O1O2是是AB的垂直平分线的垂直平分线半径分别是半径分别是20 cm和和15 cm的两圆相交，的两圆相交，公共弦长为公共弦长为24 cm，求两圆的圆心距？求两圆的圆心距？O1O2=O2C-O1C=16-9=7.O1O2=O2C+O1C=16+9=25.（六）如图，设（六）如图，设O O的半径为的半径为r r，弦弦ABAB的长为的长为a a，弦，弦 心距心距OD=dOD=d且且OCABOCAB于于D D，弓形高弓形高CDCD为为h h，下面的说下面的说 法或等式：法或等式：r=r=d+hd+h,4r,4r2 2=4d=4d2 2+a+a2 2 已知：已知：r r、a a、d d、h h中的任两个可求其他两个，中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是()()A.B.A.B.C.D.C.D.C Crhad四、小试牛刀四、小试牛刀1.1.根据下列条件根据下列条件,能且只能作一个圆的是能且只能作一个圆的是()A.A.经过点经过点A A且半径为且半径为R R作圆作圆;B.B.经过点经过点A A、B B且半径为且半径为R R作圆作圆;C.C.经过经过ABCABC的三个顶点作圆的三个顶点作圆;D.D.过不在一条直线上的四点作圆过不在一条直线上的四点作圆;2.2.能在同一个圆上的是能在同一个圆上的是()()A.A.平行四边形四个顶点平行四边形四个顶点;B.;B.梯形四个顶点梯形四个顶点;C.C.矩形四边中点矩形四边中点;D.;D.菱形四边中点菱形四边中点.C CC C3.3.两圆的圆心都是点两圆的圆心都是点O,O,半径分别半径分别r r1 1,r,r2 2,且且 r r1 1OPOPr r2 2,那么点那么点P P在在()()A.O A.O内内 B.B.小小O O内内 C.OC.O外外 D.D.小小O O外外,大大O O内内 4.4.下列说法正确的是下列说法正确的是()()A.A.三点确定一个圆三点确定一个圆;B.B.一个三角形只有一个外接圆一个三角形只有一个外接圆;C.C.和半径垂直的直线是圆的切线和半径垂直的直线是圆的切线;D.D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.DB5.5.与三角形三个顶点距离相等的点与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角是这个三角形的形的()()A.A.三条中线的交点三条中线的交点;B.;B.三条角平分线的交点三条角平分线的交点;C.C.三条高线的交点三条高线的交点;D.;D.三边中垂线的交点三边中垂线的交点;6.6.圆的半径为圆的半径为5cm,5cm,圆心到一条直线的距离是圆心到一条直线的距离是7cm,7cm,则直线与圆则直线与圆()()A.A.有两个交点有两个交点;B.;B.有一个交点有一个交点;C.C.没有交点没有交点;D.;D.交点个数不定交点个数不定D DC C7.7.若两圆的半径分别为若两圆的半径分别为R,r,R,r,圆心距为圆心距为d,d,且满足且满足R R2 2+d+d2 2=r=r2 2+2Rd,+2Rd,则两圆的位置关则两圆的位置关系为系为()()A.A.内切内切 B.B.内切或外切内切或外切 C.C.外切外切 D.D.相交相交由题意由题意:R R2 2+d+d2 22Rd=r2Rd=r2 2 即即:(Rd)2=r2 Rd=r Rr =d即即两圆内切或外切两圆内切或外切8.8.(苏苏州州市市)如如图图，四四边边形形ABCDABCD内内接接于于O O，若若它它的一个外角的一个外角DCE=70DCE=70，则则BOD=(BOD=()A A3535 B.70 B.70 C C110110 D.140 D.140 D 9 9、(广州市广州市)如图，如图，A A是半径为是半径为5 5的的O O内的内的 一点，且一点，且OA=3OA=3，过点过点A A且长小于且长小于8 8的的 ()()A.0 A.0条条 B.1B.1条条 C.2C.2条条 D.4D.4条条 A过点过点A A且且弦弦长长为整数的弦有为整数的弦有()()条条 4 41010、在等腰、在等腰ABCABC中，中，AB=AC=2cmAB=AC=2cm，若以若以A A为圆心，为圆心，1cm1cm为半径的圆与为半径的圆与BCBC相切，则相切，则ABCABC的度数为的度数为 （）A A、30 B30 B、60 C60 C、90 D90 D、120120A AC CB B2 22 2D DA A1111、定圆、定圆0 0的半径是的半径是4cm,4cm,动圆动圆P P的半径是的半径是1cm,1cm,若若 P P和和 0 0相切相切,则符合条件的则符合条件的圆的圆心圆的圆心P P构成的图形是构成的图形是 （）解解:(1)若若 0和和 P外切，则外切，则OPR+r=5cm P点在以点在以O为圆心为圆心,5cm为半径的圆上；为半径的圆上；(2)(2)若若0 0和和P P内切，则内切，则OP=R-r=3cmOP=R-r=3cmPP点在以点在以O O为圆心为圆心,3cm,3cm为半径的圆上。为半径的圆上。解：设大圆半径解：设大圆半径R=3x,R=3x,小圆半径小圆半径r=2x r=2x 依题意得：依题意得：3x-2x=83x-2x=8，解得：解得：x=8x=8 R=24 cm R=24 cm，r=16cmr=16cm 两圆相交，两圆相交，R-rdR+rR-rdR+r 8cm d 40cm 8cm d 40cm1212、两个圆的半径的比为、两个圆的半径的比为2:3,2:3,内切时圆内切时圆心距等于心距等于8cm,8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时,圆心距圆心距d d的取值的取值 范围是（范围是（）13.ABC13.ABC中中,A=70,O,A=70,O截截ABCABC三条边所三条边所得的弦长相等得的弦长相等.则则 BOC=_.BOC=_.A.140A.140B.135B.135C.130C.130D.125D.125EMNGFDBCAOPQR RBOC90+AD1414、一一只只猫猫观观察察到到一一老老鼠鼠洞洞的的全全部部三三个个出出口口，它它们们不不在在一一条条直直线线上上，这这只只狸狸猫猫应应蹲蹲在在何何处处，才能最省力地顾及到三个洞口才能最省力地顾及到三个洞口?【解解析析】在在农农村村、城城镇镇上上这这是是一一个个猫猫捉捉老老鼠鼠会会遇遇到到的的一一个个问问题题，我我们们可可以以为为这这个个小小动动物物设设计计或或计计算算出出来来.这这个个问问题题应应考考虑虑两两种种情情况况：设设三三个个洞洞口口分分别别为为A A、B B、C C三三点点，又又设设A A、C C相相距最远距最远当当ABCABC为为钝钝角角三三角角形形或或直直角角三三角角形形时时，ACAC的中点即为所求的中点即为所求.当当ABCABC为为锐锐角角三三角角形形时时，ABCABC的的外外心心即即为所求为所求.15.15.梯形梯形ABCDABCD外切于外切于O,ADBC,AB=CD,O,ADBC,AB=CD,（1 1）若）若AD=4,BC=16,AD=4,BC=16,则则O O的直径为的直径为_;_;10MN（2 2）若）若AO=6,BO=8,AO=6,BO=8,则则S SOO=_=_;81616、如图、如图,AB,AB是半是半O O的直径的直径,AB=5,BC=4,AB=5,BC=4,ABC ABC的角平分线交半圆于点的角平分线交半圆于点D,AD,BCD,AD,BC 的延长线相交于点的延长线相交于点E,E,则四边形则四边形ABCDABCD的的 面积是面积是DCEDCE的面积的的面积的 ()()A.9 A.9倍倍 B.8B.8倍倍 C.7C.7倍倍 D.6D.6倍倍OABCDE.13B ACDE451717、如图、如图,AB,AB是半圆是半圆O O的直径的直径,CD,CD是半圆是半圆O O的直径的直径,AC,AC和和BDBD相交于点相交于点P,P,则则 =()=()A.sinBPC A.sinBPC B.cosBPCB.cosBPC C.tanBPC D.tanBPC C.tanBPC D.tanBPCACDBP.OB1818、如图、如图,以以O O为圆心的两同心圆的半径分别是为圆心的两同心圆的半径分别是11cm11cm和和9cm,9cm,若若P P与这两个圆都相切与这两个圆都相切,则下列则下列说法正确的有说法正确的有()()PP的半径可以是的半径可以是2cm;2cm;PP的半径可以是的半径可以是10cm;10cm;符合条件的符合条件的P P有无数个有无数个,且点且点P P的路线是曲线的路线是曲线;符合条件的符合条件的P P有无数个有无数个,且点且点P P的路线是直线的路线是直线;A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.0D.0个个19.19.如图如图RtABCRtABC中中,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,以点为圆心以点为圆心,4.8 4.8为半径的圆与线段为半径的圆与线段ABAB的位置关系的位置关系 是是_;_;D相切设设O O的半径为的半径为r,r,则则当当 _ _ 时时,OO与线段与线段ABAB没交点没交点;当当_时时,OO与线段与线段ABAB有两个交点有两个交点;当当 _ _ 时时,OO与线段与线段ABAB仅有一交点仅有一交点;0r4.8或或r84.8r6r=4.8 或6r8第第2323章章 圆圆(复习二复习二)扬州市梅岭中学扬州市梅岭中学 戴蔚戴蔚 四、综合应用 能力提升1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.【解析解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=120CD=80(mm)OC=120CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120CD=OC+OD=320(mm)OC=120CD=OC+OD=320(mm)2 2、已知、已知ABAB是是O O的直径的直径,AC,AC是弦是弦,AB=2,AC=,AB=2,AC=,在图中画出弦在图中画出弦AD,AD,使得使得AD=1,AD=1,求求CADCAD的度数的度数.ADCB45D6015CAD=105或或15说明说明:圆中的计算问题常会圆中的计算问题常会出现有两解的情况出现有两解的情况,在涉及在涉及自己作图解题时自己作图解题时,同学们要同学们要仔细分析仔细分析,以防漏解以防漏解.5.5.半半径径为为1 1的的圆圆中中有有一一条条弦弦，如如果果它它的的长长为为1 1，那那么这条弦所对的圆周角为（么这条弦所对的圆周角为（)30或或 1353 3、在梯形、在梯形ABCDABCD中中,ADBC,BCD=90,ADBC,BCD=90,以以CDCD为直径的圆与为直径的圆与ABAB相切于点相切于点E,SE,S梯形梯形ABCD=21cmABCD=21cm2 2,周长为周长为20cm,20cm,则半圆的半径为则半圆的半径为()()A.3cm;B.7cm;C.3cmA.3cm;B.7cm;C.3cm或或7cm;D.2cm7cm;D.2cmABCDO.E 分析分析:基本图形基本图形:切线长定理切线长定理,切线的性质与判定切线的性质与判定,直角梯形直角梯形.xxyy找等量关系找等量关系:2x+2y+2r=202x+2y+2r=20(x+y)(x+y)2r2r2=212=21x+yx+y=7,r=3=7,r=3或或x+yx+y=3,r=7(=3,r=7(不符合不符合,舍去舍去)A A4 4、已知、已知O O1 1和和O O2 2外切与点外切与点A,PAA,PA与两个与两个 圆都相切圆都相切,过点过点P P分别作分别作PB,PCPB,PC与与 O O1 1 O O2 2相切相切,则则()()A.1=23;A.1=23;B.2=3;B.2=3;C.1=22;C.1=22;D.1=2+3;D.1=2+3;O1O2A连结连结AB,AB,若若PAB=70PAB=70,PBC=55,PBC=55则则PAC=_PAC=_754.(4.(临汾临汾)张师傅要用铁皮做成一个高为张师傅要用铁皮做成一个高为40cm40cm，底，底面半径为面半径为15cm15cm的圆柱形无盖水桶，需要铁皮的圆柱形无盖水桶，需要铁皮 cmcm2 2（接缝与边沿折叠部分不计，结果（接缝与边沿折叠部分不计，结果保留保留 ）14255.5.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型，设底圆的半使之恰好围成一个圆锥模型，设底圆的半径为径为 r r，扇形半径为，扇形半径为R R，则，则r r与与 R R之间的关系为之间的关系为 ()()A.R=2r B.A.R=2r B.C.R=3r D.R=4rC.R=3r D.R=4rD6.6.已知如图已知如图(1)(1)，圆锥的母线长为，圆锥的母线长为4 4，底面圆半，底面圆半径为径为1 1，若一小虫，若一小虫P P从点从点A A开始绕着圆锥表面爬行开始绕着圆锥表面爬行一圈到一圈到SASA的中点的中点C C，求小虫爬行的最短距离，求小虫爬行的最短距离.解：侧面展开图如图解：侧面展开图如图(2)(2)(1)(2)21=，n=90SA=4，SC=2AC=2 .即小虫爬行的最短距离为25.7 7、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得测得C=90C=90，AC=BC=4AC=BC=4，今要从这种三角今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在使扇形的边缘半径恰好都在ABCABC的边上，的边上，且扇形的弧与且扇形的弧与 ABCABC的其他边相切，请设的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。求出扇形的半径。（只要画出图形，并（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）直接写出扇形半径）CAB分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上相切的情况有两种形边上相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图所示）与一直角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示）与一直角边和一斜边相切如图所示解：可以设计如下图四种方案：解：可以设计如下图四种方案：r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4B BC CA A .O.O8 8、已知、已知,ABC,ABC内接于内接于O,O,ADBC ADBC于于D,AC=4,AB=6,D,AC=4,AB=6,AD=3,AD=3,求求O O的直径的直径。分析分析:证明证明ABEADCABEADC引申引申:(1):(1)求证求证:ABAC=ADAE;:ABAC=ADAE;F F (2)(2)若若F F为弧为弧BCBC的中点的中点,求证求证:FAE:FAEFAD;FAD;9 9、如图、如图,在在ABCABC中中,A=60,AB=10,AC=8,O,A=60,AB=10,AC=8,O与与 AB,ACAB,AC相切相切,设设O O与与ABAB的切点为的切点为E,E,且圆的半径为且圆的半径为R,R,若若O O 在变化过程中在变化过程中,都是落在都是落在ABCABC内内,(,(含相切含相切),),则则x x的取值范围是的取值范围是 _._.108xD105352 LR内内=8 5R=9-0R9-10、一一圆圆弧弧形形桥桥拱拱，水水面面AB宽宽32米米，当当水水面面上上升升4米米后后水水面面CD宽宽24米米，此此时时上上游游洪洪水水以以每每小小时时0.25米米的的速速度度上上升升，再再通通过过几几小小时时，洪洪水水将将会会漫漫过桥面？过桥面？解解：过过圆圆心心O作作OEAB于于E，延延长长后后交交 CD于于F，交交CD于于H，设设OE=x，连连结结OB，OD，由勾股定理得由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=4 40.25=16（小时）小时）答：再过答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。小时，洪水将会漫过桥面。解解 两圆相交两圆相交 R-rd0 d-(R+r)0 4d-(R-r)d-(R+r)r),r),圆心距为圆心距为d,d,若两圆相交若两圆相交,试试 判定关于判定关于x x的方程的方程x x2 2-2(d-R)x+r-2(d-R)x+r2 2=0=0 的根的情况。的根的情况。M MN N1212、两同心圆如图所两同心圆如图所示，若大圆的弦示，若大圆的弦ABAB与小与小圆圆相切，求证：相切，求证：AC=BCAC=BC3 3）连接）连接ANAN，求证求证ANAN2 2=ACAB=ACAB1 1）若作大圆的弦若作大圆的弦AD=ABAD=AB，求证：求证：ADAD也与小圆相切；也与小圆相切；2 2）若过若过C C、E E作大圆的弦作大圆的弦MNMN，求证：点求证：点A A为弧为弧MNMN的中点；的中点；引申：引申：ACNANB13、（甘肃省)已知：如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，CE切O于C，AECE,交O于D.(1)求证：DC=BC；(2)若DC:AB=3:5,求sinCAD的值.证明：证明：连接连接BD.BD.ABAB是是O O的直径的直径,ADB=90,ADB=90.又又AEC=90AEC=90 BD/EC.BD/EC.ECD=BDC.BC=CDECD=BDC.BC=CD又又CAD=CABCAD=CABsinsinCADCAD=sinCsinCABAB=BC/AB=DC/AB=3/5.=BC/AB=DC/AB=3/5.14、已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)14、已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)（2 2）证明：连结）证明：连结O O2 2A A、O O2 2B B，则则BOBO2 2A=ACB A=ACB BO BO2 2A=2PA=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+PBCP=PBCP=PBCBCPBCP为等腰三角形为等腰三角形.1515、(湖北省黄冈市湖北省黄冈市)已知：如图已知：如图Z4-3Z4-3，C C为半为半圆上一点，圆上一点，AC=CEAC=CE，过点过点C C作直径作直径ABAB的垂线的垂线CPCP，P P为垂足，弦为垂足，弦AEAE分别交分别交PCPC，CBCB于点于点D D，F F。(1)(1)求证：求证：AD=CDAD=CD；(2)(2)若若DF=5/4DF=5/4，tanECB=3/4tanECB=3/4，求，求PBPB的长的长.【分析分析】(1)(1)在圆中证线段相等通常转在圆中证线段相等通常转 化为证明角相等。化为证明角相等。(2)(2)先证明先证明 CD=AD=FDCD=AD=FD，在，在 RtADPRtADP中再利用勾股定理及中再利用勾股定理及 tanDAPtanDAP=tanECBtanECB=3/4=3/4，求出，求出DPDP、PAPA、CPCP，最后利用，最后利用APCCPBAPCCPB求求PBPB的长的长 .1616、（连云港）已知，如图，、（连云港）已知，如图，O O过等边过等边ABCABC的的顶点顶点B B、C C，且分别与，且分别与BABA、CACA的延长线交于的延长线交于D D、E E点，点，DFACDFAC。(1)(1)求证求证BEFBEF是等边三角形是等边三角形(2)(2)若若CGCG2,BC2,BC4,4,求求BEBE的长。的长。E ED DA AB BF FC CG G分析：分析：1)1)由由DFACDFAC证明证明3 34 41 12 24 43 35 52)2)设法证明设法证明BFGFDE BG：BF EF：DF,则则x：6x：4设法证明设法证明BCDF4.17.如图直径为如图直径为13的的 O1经过原点经过原点O，并且与并且与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于A、B两两点，线段点，线段OA、OB(OAOB)的长分的长分别别 是方程是方程x2+kx+60=0的两个根的两个根.(1)求线段求线段OA、OB的长的长(2)已知点已知点C在劣弧在劣弧OA上，连结上，连结BC交交OA于于D，当当OC2=CDCB时，求时，求C点的坐标点的坐标(3)在在 O1上是否存在点上是否存在点P，使使SPOD=SABD？若存在，求出点若存在，求出点P 的的坐标；若不存在，请说明理由坐标；若不存在，请说明理由OBOA，AB是是 O1的直径的直径OA2+OB2=132，又又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解解 之得：之得：k=17 OA+OB0，k9，所以假设错误，故这所以假设错误，故这样的点样的点P是不存在的是不存在的 分析：假设这样的点分析：假设这样的点P是存在的，是存在的，不妨设不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距轴的距离可表示为离可表示为|n|，从已知中得知从已知中得知P到到x轴的最大距离为轴的最大距离为9，所以，所以|n|9。又又SPOD=1/2OD|n|SABD=1/2ADOB,OD|n|=ADOB=(OA-OD)OB,即即OD|n|=(12-OD)5若能求出若能求出OD的长，就可得知的长，就可得知|n|。从而知从而知P点是否在点是否在 O1上由上由(2)知知OCDBCO，则则从中可求出从中可求出OD的长的长(3)在在 O1上不存在这样的上不存在这样的P 点，使点，使SPOD=SABD。理由：假设在理由：假设在 O1上存在点上存在点P，使，使SPOD=SABD，不妨设不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距离轴的距离|n|9。由由OCDBCO，得得将将OB=5，代入计算得代入计算得OD=10/3SABD=SPOD=65/3，即即|n|=139，P点不在点不在 O1上上故在故在 O1上不存在上不存在这样的点这样的点P。3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线ABCD以4cm/秒的 速度 移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形/（2）如图（2），如果P和Q的半径都是2cm，那么t为何值时，P和Q外切？五、归纳总结五、归纳总结 圆这一章涉及的知识点很多，之前学习的三角圆这一章涉及的知识点很多，之前学习的三角形、四边形、相似形、一元二次方程等知识都可形、四边形、相似形、一元二次方程等知识都可以与圆的知识联系起来，综合运用。因此，同学以与圆的知识联系起来，综合运用。因此，同学们要通过学习本章内容锻炼自己分析问题的能力们要通过学习本章内容锻炼自己分析问题的能力和综合运用的能力。和综合运用的能力。与旧教材相比，华师版的教材删减了一些内与旧教材相比，华师版的教材删减了一些内容，中考中，将会更多地考查用运动的观点解题容，中考中，将会更多地考查用运动的观点解题的能力、分类讨论数学思想等。的能力、分类讨论数学思想等。关于几何证明，则关键是能从复杂的几何图形关于几何证明，则关键是能从复杂的几何图形中发现、构造基本图形，善于将题目与题目之间中发现、构造基本图形，善于将题目与题目之间建立联系，以融会贯通，举一反三。建立联系，以融会贯通，举一反三。通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心之间的距离有关。心之间的距离有关。本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角之间基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角之间的关系；同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。的关系；同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进一步认识了圆的切线垂直于经过过切点的半径；一步认识了圆的切线垂直于经过过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的切线，它们的切线长相切线；从圆外一点引圆的切线，它们的切线长相等。等。
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