热传导动方程课件

第二章第二章 热传导动方程热传导动方程第一节第一节 热传导方程的导出和定解条件热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：一、热传导方程的导出：给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻 的温度为的温度为 。模型：模型：问题：问题：研究温度研究温度 的运动规律。的运动规律。第二章 热传导动方程第一节 热传导方程的导出和定解条件1 1分析：（两个物理定律）分析：（两个物理定律）分析：（两个物理定律）分析：（两个物理定律）1 1、热量守恒定律、热量守恒定律:2 2、傅里叶、傅里叶（Fourier）热传导定律热传导定律:温度变温度变化吸收化吸收的热量的热量通过边通过边界流入界流入的热量的热量热源放热源放出的热出的热量量为热传导系数。为热传导系数。分析：（两个物理定律）1、热量守恒定律:2、傅里叶（Fou2 2任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成的区域所围成的区域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量变化规律。内热量变化规律。热传导方程的推导：热传导方程的推导：热量热量守恒守恒定律定律区域区域 内各点的温度从时刻内各点的温度从时刻 的温度的温度 改变为时刻改变为时刻 的温度的温度 所吸收（或所吸收（或放出）的热量，应放出）的热量，应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段这段时间内通过曲面时间内通过曲面 流入（或流出）流入（或流出）内的热内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 内温度变化所需要的热量内温度变化所需要的热量 =通过曲面通过曲面 流入流入 内的热量内的热量 +热源提供的热量热源提供的热量 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研3 3（1）内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量那么包含点那么包含点 的体积微元的体积微元 的温度从的温度从 变为变为 所需要的热量为所需要的热量为 设物体设物体的比热（单位质量的物体温度改变的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量）为所需要的热量）为密度为密度为 整个整个 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量（1）内温度变化所需要的能量那么包含点 4 4（2）通过曲面）通过曲面 进入进入 内的热量内的热量由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内通过这段时间内通过 进入进入 内的热量为内的热量为由高斯公式由高斯公式知知（2）通过曲面 进入 内的热量由傅里叶热5 5（3）热源提供的热量）热源提供的热量用用 表示热源强度，即单位时间内从单位表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从体积内放出的热量，则从 到到 这段时间内这段时间内 内热内热源所提供的热量为源所提供的热量为由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 的任意性知的任意性知（3）热源提供的热量用 6 6三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程：三维有热源的热传导方程：三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物均匀且各向同性物体，即体，即 都为常数的物体都为常数的物体）其中其中称为非齐次项（自由项）。称为非齐次项（自由项）。通常称（通常称（1.5）为）为非齐次的热传导方程非齐次的热传导方程，而称（，而称（1.6）为为齐次热传导方程齐次热传导方程。三维无热源热传导方程：三维有热源的热传导方程：（均匀且各向7 7二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：1 1、第一边界条件、第一边界条件（Dirichlet 边界条件）边界条件）特别地：特别地：时，物体表面保持恒温。时，物体表面保持恒温。二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：边界条件：1、第8 82 2、第二边界条件、第二边界条件（Neumann 边界条件）边界条件）特别地：特别地：时，表示物体绝热。时，表示物体绝热。3 3、第三边界条件、第三边界条件(D-N 混合边界条件混合边界条件)其中：其中：表示表示 沿边界沿边界 上的单位外法线方向上的单位外法线方向 的方的方向导数向导数注：注：2、第二边界条件（Neumann 边界条件）特别地：9 9注意第三边界条件的推导：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为把一个温度变化规律为 的物体放入的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为度为 ，它与物体表面的温度，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。并不相同。这给出了第三边界条件的提法。热传导试热传导试验定律或验定律或牛顿定律牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：其中比例常数其中比例常数 称为称为热交换系数热交换系数流过物体表面流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：或或即得到（即得到（1.10）：）：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交1010三、定解问题三、定解问题定义定义1 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）、初）、初始条件（始条件（1.7）组成的定解问题称为）组成的定解问题称为初值问题或柯西问初值问题或柯西问题题。例如三维热传导方程的初值问题为：。例如三维热传导方程的初值问题为：定义定义2 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）和初）和初始条件（始条件（1.7）和边界条件（）和边界条件（1.9）、（）、（1.10）、）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问初边值问题或混合问题题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问。例如三维热传导方程的第一初边值问题为：题为：三、定解问题定义1 在区域上，由方程（1.5）、初始条件（11112 2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；样，但表示的物理意义不一样；3 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。程有两个初始条件。1 1、方程（方程（1.61.6）不仅仅描述热传导现象，也可）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；注注4 4、除了三维热传导方程外，物理上，除了三维热传导方程外，物理上，温度的分温度的分布在同一个界面上是相同的布在同一个界面上是相同的，可得，可得一维热传导方一维热传导方程：程：而对于薄片的热传导，而对于薄片的热传导，可得可得二维热传导方程：二维热传导方程：2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意1212第二节第二节 初边值问题的分离变量法初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题第二节 初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问1313和和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：上述定解问题可分解为下面两个混合问题：则则（II）的解为的解为:和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：则（II）的解为:1414问题问题问题问题（I I）的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：其中其中 由下面给出：由下面给出：考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：问题（I）的通解形式为：其中 由下面给出：考虑齐1515问题问题（II）的解：的解：其中其中非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：问题（II）的解：其中非齐次方程混合问题的解：1616定理定理 2 2.1：则则由公式由公式 (2.14)给出的级数给出的级数 是是混合问题混合问题(2.1)-(2.4)的古典解。的古典解。设设齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：当当 为有界函数有界函数时，(2.14)式给出的形式解关式给出的形式解关于于 以及以及 均是任意次连续可导的，且满足方程均是任意次连续可导的，且满足方程(2.1)和边界条件和边界条件(2.3)-(2.4)。定理 2.1：则由公式(2.14)给出的级数 1717分离变量法的解题步骤：分离变量法的解题步骤：1、令、令 代入方程和边界条件，确代入方程和边界条件，确 定定 所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的常微分方程的特征值问题以及 所满足的方程；所满足的方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应特征函数，并求出相应 的表达式；的表达式；3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；出所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。分离变量法的解题步骤：1、令 1818注：注：1 1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；至关重要的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。（1）、将变量分离形式）、将变量分离形式 代入相应代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数题，并求出全部特征值和特征函数；（2）、将）、将 ，方程的非齐次项，方程的非齐次项 ，以及初，以及初值值 都按照特征函数进行都按照特征函数进行 Fourier 展开；展开；注：2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次1919其中其中:其中:2020（3）、解初值问题）、解初值问题解为：解为：非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：（3）、解初值问题解为：非齐次方程混合问题的解：2121第三节第三节 初值问题初值问题 Cauchy 问题问题考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题一、傅里叶一、傅里叶（Fourier）变换及其基本性质变换及其基本性质傅里叶变换傅里叶变换:傅里叶逆变换傅里叶逆变换:记为记为:记为记为:第三节 初值问题 Cauchy 问题考虑一维热传导方程2222定理定理 3 3.1：（Fourier 积分定理积分定理）若若 在在 上绝对可积且连续可微，上绝对可积且连续可微，则有则有:简记为简记为:公式公式（3.5）称为称为 Fourier 反演公式。反演公式。定理 3.1：（Fourier 积分定理）若 2323性质性质 1、（线性性质线性性质 ）性质性质 2、（微商性质微商性质）性质性质 3、（乘多项式性质乘多项式性质）性质 1、（线性性质）性质 2、（微商性质）性质 2424性质性质 4、（卷积性质卷积性质）性质性质 5、（乘积性质乘积性质）性质 4、（卷积性质）性质 5、（乘积性质）25251)、（位移性质位移性质 ）2)、（相似性质相似性质）3)、（对称性质对称性质）补充性质补充性质：1)、（位移性质）2)、（相似性质）3)、（对称性2626例例 3 3、设设 例例 2 2、设设 例例 1 1、设设 例 3、设 例 2、设 例 1、设 2727二、热传导方程柯西问题的解二、热传导方程柯西问题的解考虑齐次热传导方程的初值问题考虑齐次热传导方程的初值问题解为解为:二、热传导方程柯西问题的解考虑齐次热传导方程的初值问题解为:2828对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题解为解为:非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为：非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为：对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题解为:非齐次热传导方程的2929定理定理 3 3.2：函数函数 是柯西是柯西问题问题(3.14)-(3.15)的有界解。的有界解。设设且有界，则由且有界，则由(3.17)式式 给出的给出的一维齐次弦振动方程的初值问题一维齐次弦振动方程的初值问题解为解为:定理 3.2：函数 是柯西问题(3.14)-(3030知识回顾知识回顾知识回顾3131例：试求下述定解问题的有界解例：试求下述定解问题的有界解解为解为:例：试求下述定解问题的有界解解为:3232第四节第四节 极值原理、定解问题解极值原理、定解问题解考虑一维非齐次热传导方程考虑一维非齐次热传导方程的唯一性与稳定性的唯一性与稳定性一、极值原理一、极值原理定理定理 4 4.1：在在 上的最大值必在边界上达到，即上的最大值必在边界上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，并且在并且在 内部满足方程内部满足方程(4.1)。又设。又设 ，则，则表示矩形表示矩形的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界第四节 极值原理、定解问题解考虑一维非齐次热传导方程的唯一3333必在边界必在边界 上达到，即上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足方程且满足方程 (4.1)。又设又设 ，则，则 在在 上的最小值上的最小值推论推论 4.1：设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足且满足推论推论 4.2：则成立则成立必在边界 上达到，即设 在矩形 3434例例（最大值原理的应用）（最大值原理的应用）设设 满足满足求求 在在的最大值和最小值。的最大值和最小值。解：解：例（最大值原理的应用）求 在的最大值和最小值3535考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题二、初边值问题解的唯一性与稳定性二、初边值问题解的唯一性与稳定性定理定理 4 4.2：初边值问题初边值问题（4.3）在区域）在区域上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。所给的初始条件和边界条件。注注：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解。种解为古典解。考虑一维热传导方程的初边值问题二、初边值问题解的唯一性与稳定3636考虑一维热传导方程的混合初边值问题考虑一维热传导方程的混合初边值问题定理定理 4 4.3：设设 是初边值问题是初边值问题（4.4）的古典解，则）的古典解，则正常数，在正常数，在 上上 满足满足考虑一维热传导方程的混合初边值问题定理 4.3：设 3737如果在如果在上，有上，有那么由定理那么由定理4.3可得可得如果在上，有那么由定理4.3可得3838推论推论 4 4.3：初边值问题初边值问题（4.4）在区域）在区域 上的古典解上的古典解是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件和边界条件。和边界条件。对于混合初边值问题对于混合初边值问题定理定理 4.3 仍然成立。仍然成立。推论 4.3：初边值问题（4.4）在区域 上的古3939考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题三、初边值问题解的唯一性与稳定性三、初边值问题解的唯一性与稳定性定理定理 4 4.5：初值问题初值问题（4.10）在有界函数类中的古典解是）在有界函数类中的古典解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。考虑一维热传导方程的初值问题三、初边值问题解的唯一性与稳定性4040推论推论 4 4.5：（比较原理）：（比较原理）则在则在 上有上有推论推论 4 4.4：（解的最大模估计）：（解的最大模估计）设设 是初值问题是初值问题（4.11）的古典解，则）的古典解，则推论 4.5：（比较原理）则在 上有推论 4.4：（4141第五节第五节 解的渐近性态解的渐近性态考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题一、初边值问题解的渐近性态一、初边值问题解的渐近性态定理定理 5 5.1：则则 ，问题，问题(5.1)的唯一古典解的唯一古典解 指数衰减指数衰减趋于零，趋于零，设初始函数设初始函数第五节 解的渐近性态考虑一维热传导方程的初边值问题一、初边4242证明：证明：由极值原理和分离变量法知，（由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为）的唯一古典解为其中其中 由下面给出：由下面给出：由（由（5.2）可知，对一切）可知，对一切 ，有，有由由的定义知当的定义知当时，时，故有，故有证明：由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为其中4343另一方面，由指数函数的性质知，当另一方面，由指数函数的性质知，当时，时，对一切对一切 成立成立时，对于时，对于于是当于是当有有即即另一方面，由指数函数的性质知，当时，对一切 4444考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题二、二、Cauchy 问题解的渐近性态问题解的渐近性态定理定理 5 5.2：柯西柯西问题问题(5.7)的唯一古典解的唯一古典解 具有如下性质，具有如下性质，设初始函数设初始函数 是有界连续函数且是有界连续函数且 则则考虑一维热传导方程的初值问题二、Cauchy 问题解的渐近性4545