三函数的极值与最值课件

一、函数极值及求法二、最值的求法三、应用举例四、小结及作业1一、函数极值及求法二、最值的求法三、应用举例四、小结及作业1一、函数极值及求法2一、函数极值及求法2定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.3定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极44定理定理1 1(必要条件必要条件)5定理1(必要条件)5定理表明：定理表明：例如例如,6定理表明：例如,6定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)7定理2(第一充分条件)(是极值点情形)7求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)8求极值的步骤:(不是极值点情形)8例例1 1解解列表讨论列表讨论极大值极大值极小值极小值9例1解列表讨论极大值极小值9图形如下图形如下10图形如下10例例2.2.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得导数不存在的点3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为11例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证12定理3(第二充分条件)证12例例3 3解解图形如下图形如下13例3解图形如下13注意注意:14注意:14151516161717设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且：解：所以不论 ，还是 均有 18设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且：解：1919二、最值的求法20二、最值的求法20步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)21步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的三、应用举例例例1 1解解计算计算22三、应用举例例1解计算22比较得比较得23比较得23点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？24点击图片任意处播放暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1解解(1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点25解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点25实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;26实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;26例例3 3某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月元时，公寓会全部租出去当租金每月增加增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费20元的整修维护费试问元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为27例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为28（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为2点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 429点击图片任意处播放暂停例429解解如图如图,30解如图,30解得解得31解得31 所以F(x)在0，1 上最大值为 1。32 所以F(x)在0，1 上最大值为 1。323333四、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)34四、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.35注意最值与极值的区别.注意最值与极值的区别.最值是整体概念3636思考题思考题37思考题37思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但38思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在 练练 习习 题题39练 习 题3940404141练习题答案练习题答案42练习题答案42思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？43思考题下命题正确吗？43思考题解答思考题解答不正确不正确例例44思考题解答不正确例44在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立45在1和1之间振荡故命题不成立45练练 习习 题题46练 习 题464747练习题答案练习题答案48练习题答案48