二阶线性偏微分方程的分类课件

第十章第十章 二阶线性偏微分方程的分二阶线性偏微分方程的分类类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的分方程求解是十分有用的.第十章 二阶线性偏微分方程的分类 本章将介绍110.1 基本概念基本概念(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变量；量；为的偏的偏导数数.有有时为了了书10.1 基本概念(1)偏微分方程 含有未知多元函数及其2写方便，通常记写方便，通常记(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的程的阶阶(3)方程的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的分方程的次数次数写方便，通常记(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数3(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的有（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程高于一次以上的方程称为非线性方程(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有4例如例如：方程的通解和特解概念方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程二阶线性非齐次偏微分方程 的的通解通解为为其中其中是两个独立的任意函数因是两个独立的任意函数因为方程方程为二阶的，所以是两个任意的函数若给函数二阶的，所以是两个任意的函数若给函数 指定为指定为 特殊的特殊的，则得到的解，则得到的解例如：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程 的5称为方程的称为方程的特解特解 n阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而个任意常数，而n阶偏微分方阶偏微分方程的通解含有程的通解含有n个任意函数个任意函数10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类称为方程的特解 n阶常微分方程的通解含有n个任意6 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型7则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为则当 时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，8（10.2.1）其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程（10.2.1）其中 为的已知函数 定理10.2.1 9(10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可(10.2.3)的一个特解在具体求解方程(10.2.1010也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线于是，11或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以或者进一步作变换于是有所以12又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根又可以进一步将方程(10.2.11)化为 这13因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式因而只能求得一个解，例如，特征线为 一条实特征线作变换14即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型即可这样，方程(10.2.6)就化为 此类153.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量3.当判别式 面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上16于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为于是所以方程(10.2.11)又可以进一步化为17 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.这种类型的方程称为椭圆型方程拉普拉斯(La1810.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：10.3 二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程(19时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型20设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式设特征方程的解为 令 (10.3.2)进行自变21(10.3.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第22(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注23因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线，所以特24上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为(10.3.7)若令若令 上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆25(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(10.32610.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 如27注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我我们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来,例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令 大写字母28其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简(10.4.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含29 则有则有(10.4.4)(10.4.5)其中其中 (10.4.4)(10.4.5)其中 30对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6）还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（10.4.313.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数3.椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数32为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 为了化简，不妨令 从而有 (10.4.9)其中 33 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5 线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可34其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为方程的解方程的解时，则也也为方程的解；方程的解；(1).当当为方程的解，方程的解，则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：其中 均为常数进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程35为非非齐次方程的特解，次方程的特解，为齐次方程的通解，次方程的通解，则为非非齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2)若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解；36加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方加原理，即若是方程（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如37