立体几何的向量解法ppt课件

立几问题的向量解法专题立几问题的向量解法高考复习建议高考复习建议传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式”的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决问题，无须添加辅助线。用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转化。用空间向量解决的立体几何问题主要有平行或共面问题垂直问题空间角问题空间距离问题专题立几问题的向量解法用向量处理平行问题用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。（1）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为，那么 （2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。（3）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。或直线a平行平面表示以 为方向向量的直线与平面平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。附：附：1、共线向量定理：非零向量 与向量 共线的充要条件是存在唯一确定的实数，使2、共面向量定理：不共线的向量 、与向量 共面的充要条件是存在唯一确定的实数x、y，使3、向 量 基 本 定 理：已 知 不 共 面 的 向 量 、和 ，则 空 间 任 一 向 量 可以表示为 、的线性组合，即存在一组唯一确定的实数x、y、z，使用向量处理平行问题（1）设a、b是两条不重合的直线，它例1、（1994全国）已知ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证AB1平面DBC1例1、（1994全国）已知ABCA1B1C1是例2、（2004天津）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1 证明PA平面EDB（2）证明PB平面EFD（3）求二面角CPBD的大小。注：证明线面平行问题可以有以下三种办法（1 利用线线平行证明线面平行;（2）与、共面（直线a、b）证明线面平行；（3）（为平面的法向量）例2、（2004天津）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是立体几何的向量解法ppt课件例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,A1AB=A1AC，求证：A1ABC例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,A1A例4、如图，正方体的棱长为a,F是CC1的中点，D是下底面的中心，求证：A1O平面BDF例4、如图，正方体的棱长为a,F是CC1的中点，D是下底面例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为 ，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点,EF与BD交与G求证：平面B1EF平面BDD1B1例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF?请给出证明。例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D用向量计算空间的角用向量计算空间的角1、异面直线所成角的定义直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是。2直线和平面所成角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。由定义知，直线与平面所成的角0，二面角的范围是0，3二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。用向量计算空间的角1、异面直线所成角的定义异面直线所成角的求异面直线所成角的公式：其中 是异面直线 上的方向向量。求线面角大小的公式：其中 是平面的法向量。求二面角大小的公式：或其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数言形”的数学思想。注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。求异面直线所成角的公式：其中是异面直线例例1 1：如右图，直三棱柱：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，中，BCA=90，点，点D1、F1 分别是分别是A1B1、A1C1的中点，若的中点，若BC=CA=CC1，求，求BD1与与AF1所所 成的角的余弦值成的角的余弦值A1C1F1B1D1ABC解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1xyz则B（1,0,0)A（0，1，0）；例例 题题 所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值注：注：由向量知识知两条异面直线所成的角，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系（其中分别是直线上的向量）例1：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90例例2：已知：如图，在长方体：已知：如图，在长方体AC1中，棱中，棱AB=BC=3，棱，棱BB1=4，点，点E是是 CC1的中点的中点。求：求：ED与平面与平面A1B1C所成角的大小所成角的大小 B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：=（3，0，0）；A（0，0，0）；B（3，0，0）；C（3，3，0）；D（0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（0，0，4）；E（3，3，2）。设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则令z=3，则=（0，4，3），例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB又因为=（3，0，2）；即ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin=arcsin注：如图，设平面的法向量为，直线AO与平面所成的角为 ；oACB1BA1D1C1DEAxyz设DE与面A1B1C所成角为，则Sin=|cos|=又因为=（3，0，2）；即ED与平面A1B1C解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由例2知面A1B1C的法向量为 =（0，4，3）下面我们来求面A1C1C的法向量设 =（x，y，z），由于=（3，3，0）,令y=1，则x=1，=（1，1，0）又所求二面角为的补角，故二面角B1A1CC1的大小为arccosB1BA1D1C1CDEA例例3：在例：在例2中，长方体中，长方体AC1的棱的棱AB=BC=3，BB1=4，点点E是是CC1的中点的中点。求求:二面角二面角B1A1CC1的大小。的大小。=（0，0，4）解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由例2知面A1B1C如例3中，易见 是面A1C1C的法向量；注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。xyzB1BA1D1C1CDEAcos=如图1中，cos=图2中,cos=cos=评注：评注：用向量法求二面角的大小：设平面的法向量分别是则求二面角的大小可以转化为求的夹角或其补角。图1图2如例3中，易见是面A1C1C的法向量；注意：在求平练习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求：OS与面与面SAB所成角所成角 二面角二面角BASO的大小的大小 异面直线异面直线SA和和OB所成的角所成的角则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，则A（令x=1，则y=1，z=2；从而设面SAB的法向量显然有OABCSxyz令x=1，则y=1，z=2；从而设面SAB的法向量显然有O所以直线SA与OB所成角大小为.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）又OC面AOS，是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于二面角BASO的大小为OABCSxyz所以直线SA与OB所成角大小为.由知面SAB的法向量2019POWERPOINTSUCCESS2024/5/212019POWERPOINTSUCCESS2023/8/32019THANK YOUSUCCESS2024/5/212019THANKYOUSUCCESS2023/8