东山稿建构模型全方位构建乘法概念课件

东山稿建构模型全方位构建乘法概念乘法乘法求几个相同加数和的简便运算求几个相同加数和的简便运算最基本最基本形式化形式化？乘法？乘法？内内 涵涵外外 延延逐步实现乘法概念体系的建构逐步实现乘法概念体系的建构 小学生的数学小学生的数学认知结构认知结构主要是主要是加加法结构和乘法结构法结构和乘法结构!而乘法结构是在加而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认法结构基础上产生的高层次的数学认知结构知结构!是是最重要的结构最重要的结构。乘法的概念体系乘法的概念体系乘法结构乘法结构 包括包括 乘法及与之相关的倍、运算规律、面积、体乘法及与之相关的倍、运算规律、面积、体积、表面积、单价积、表面积、单价数量、速度数量、速度时间、工作时时间、工作时间间工作效率等工作效率等概念之和概念之和。自二年级初步认识乘法之后，随着数域的扩展以及对丰富的乘法现实模型的认识，逐步实现乘法概念的建构。乘法的概念体系乘法的概念体系数学模型数学模型 “数学模型数学模型”是是数学符号、数学式子数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型以及数量关系对现实原型简化的本质的简化的本质的描描述。述。？数学模型数学模型 小学数学核心素养的内涵与价小学数学核心素养的内涵与价值:明确提出了小学数学的明确提出了小学数学的1010个核心素养个核心素养数感、数感、符号意符号意识、空、空间观念、几何直念、几何直观、数据分析能力、数据分析能力、运算能力、运算能力、模型思想模型思想、推理能力、推理能力、应用意用意识和和创新新意意识。20112011年版新课标年版新课标核心概念核心概念数学模型数学模型基本概念基本概念 基本算法基本算法张奠宙教授张奠宙教授等量组的聚集模型1倍数模型2配对模型3其他数量关系模型5 乘法的现实模型乘法的现实模型矩形模型4每每.共共.等量组的聚集模型1连加每份数每份数x x份数份数=总数总数倍数模型2小明今年9岁，爸爸的年龄是小玲的5倍，爸爸今年多少岁?4个男孩与个男孩与3个女孩一起出去游玩，现在个女孩一起出去游玩，现在要选取一个男孩和一个女孩外出购物。问一要选取一个男孩和一个女孩外出购物。问一共有多少种可能的选取方法？共有多少种可能的选取方法？配对模型3已知长方形的长是已知长方形的长是6厘米，宽是厘米，宽是4厘米，求这厘米，求这 一一 长长 方方 形形 的的 面面 积积 是多少？是多少？矩形模型4等量组的聚集模型1倍数模型2配对模型3其他量关系模型5 乘法的现实模型乘法的现实模型矩形模型4最基本乘数地位相同二、不同年级乘法不同现实模型的分布人教版教材人教版教材（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）等量组等量组的聚集的聚集模型模型倍数倍数模型模型配对配对模型模型矩形矩形模型模型单价数单价数量模型量模型速度时速度时间模型间模型工时工工时工效模型效模型二上二上 57 57 18 18 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0二下二下 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0三上三上 34 34 5 5 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0三下三下 16 16 0 0 0 0 17 17 0 0 0 0 0 0四上四上 11 11 2 2 0 0 0 0 2 2 5 5 0 0四下四下 3 3 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0人教版教材中不同年级乘法不同现实模型的分布等量组的等量组的聚集模型聚集模型倍数倍数模型模型配对配对模型模型矩形矩形模型模型单价数单价数量模型量模型速度时速度时间模型间模型工时工工时工效模型效模型五上五上 14 6 0 15 6 4 2五下五下 1 0 0 1 0 0 0六上 8 52 0 1 2 2 0六下 0 2 0 3 0 0 0人教版教材中不同年级乘法不同现实模型的分布（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）乘法不同现实模型 在整套教材中的呈现数量具有不均衡性在整套教材中的呈现数量具有不均衡性1 一步乘法的现实情境问题一步乘法的现实情境问题 共计共计307 个个，等量组的聚集模型问题有等量组的聚集模型问题有 148个个，占总数，占总数的的48.2。最基础的乘法模型最基础的乘法模型乘法不同现实模型 一步乘法的现实情境问题一步乘法的现实情境问题 共计共计307 个。个。等量组的聚集模型等量组的聚集模型 148个个，占总数，占总数的的48.2。最基础的乘法模型最基础的乘法模型配对模型只有配对模型只有1212个个渗透数学思想方法的载体渗透数学思想方法的载体单价单价数量模型数量模型1010个个速度速度时间模型时间模型1212个个工时工时工效模型工效模型3 3个个 在整套教材中的呈现数量具有不均衡性在整套教材中的呈现数量具有不均衡性1乘法不同现实模型 2学习集中在二年级到四年级学习集中在二年级到四年级二年级二年级至至三（上）三（上）等量组的聚集模型和倍数模型等量组的聚集模型和倍数模型三年级下三年级下16个个等量组的聚集模型和等量组的聚集模型和17个个矩形模型矩形模型四年级四年级4个个单价单价.数量模型和数量模型和6个个速度速度.时间模型时间模型乘法不同现实模型 3五年级小数乘法的学习是依托于丰富的乘五年级小数乘法的学习是依托于丰富的乘法现实模型完成的法现实模型完成的五年级小数乘法不同现实模型的分布五年级小数乘法不同现实模型的分布等量组的等量组的聚集模型聚集模型倍数倍数模型模型配对配对模型模型矩形矩形模型模型单价数单价数量模型量模型速度时速度时间模型间模型工时工工时工效模型效模型五上五上 14 6 0 15 6 4 2编排呈编排呈分散分散趋势趋势 教材中力求通过各种现实模型问题的呈现，教材中力求通过各种现实模型问题的呈现，让学生体会整数乘法的各种现实模型对小数乘让学生体会整数乘法的各种现实模型对小数乘法同样适用法同样适用（配对模型除外），从而建构小数（配对模型除外），从而建构小数乘法的概念。乘法的概念。乘法不同现实模型 2六年级分数乘法学习六年级分数乘法学习倍数模型倍数模型 考虑到分数与小数的关联性，六年级分数乘考虑到分数与小数的关联性，六年级分数乘法的编排，不再呈现丰富的现实模型，而是更集法的编排，不再呈现丰富的现实模型，而是更集中于乘法的倍数模型。中于乘法的倍数模型。等量组的等量组的聚集模型聚集模型倍数倍数模型模型配对配对模型模型矩形矩形模型模型单价数单价数量模型量模型速度时速度时间模型间模型工时工工时工效模型效模型六上 8 52 0 1 2 2 0六下 0 2 0 3 0 0 0六年级乘法不同现实模型的分布 倍数模型问题的数量远远多于其他模型问题的数量，倍数模型问题的数量远远多于其他模型问题的数量，达到达到54个，占全年级乘法模型总数的个，占全年级乘法模型总数的 77.1，反映出学，反映出学生对分数乘法概念的学习主要是通过倍数模型完成的。生对分数乘法概念的学习主要是通过倍数模型完成的。对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三 对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（一）（一）突出突出等量组的聚集模型等量组的聚集模型 乘法概念建构中的基础作用乘法概念建构中的基础作用 人教版教材中呈现的第一个例题都是等量组的聚集模型：将几个相同加数的和改写成乘法形式，实现对整数、小数、分数乘法概念的建立。对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（一）突出等量组的聚集模型（一）突出等量组的聚集模型 乘法概念建构中的基础作用乘法概念建构中的基础作用每一个新的乘法模型的出现，都是先将其转化成等量组的聚集模型，如倍数模型、面积模型等都是如此，然后才将其作为一种新的模型加以应用。对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（一）（一）突出等量组的聚集模型突出等量组的聚集模型 乘法概念建构中的基础作用乘法概念建构中的基础作用多种表征方式的相互转换多种表征方式的相互转换 动作表征动作表征语言表征语言表征图形表征图形表征符号表征符号表征 对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（二）（二）.乘法倍数模型的学习 需要纵向的分析和研究第二个乘法现实模型第二个乘法现实模型1.倍数模型是加法结构到乘法结构的转折点2.教师要对倍的现实模型进行纵向分析和研究整数乘法整数乘法小数小数乘法乘法分数乘法分数乘法求一个数的几分之几求一个数的几分之几求一个数的几倍求一个数的几倍 对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（三）（三）.充分发挥矩形模型的优势充分发挥矩形模型的优势形象形象 直观直观 为学生理解等量组的聚集模型提供了直观表象!而且还可以进一步推广用来理解分数乘法的算理。认识乘法认识乘法 对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（三）充分发挥矩形模型的优势（三）充分发挥矩形模型的优势 学生对矩形模型的认识!不会因数据的变化而产生认知上的困难!教师在组织学生学习小数乘法和分数乘法时，可以此作为重要的现实模型。对乘法概念教学的建议对乘法概念教学的建议三三（四）同样的关系模型，不同的处理方式（四）同样的关系模型，不同的处理方式三三个个数数量量关关系系模模型型单价数量模型速度时间模型（例题中呈现）（例题中呈现）（例题中呈现）（例题中呈现）工时工效模型（练习中出现）（练习中出现）这样的安排是基于学生对此模型有着丰富的生活经验这样的安排是基于学生对此模型有着丰富的生活经验!单价数量模型只要稍加提炼即可。速度时间模型数量关系更是抽象难懂!需要教师采取直观的方式!帮助学生在丰富直观感受的同时!抽象出数量关系模型四年级上册四年级上册 从散点式到结构化从散点式到结构化!实现对整数乘法概念的第一实现对整数乘法概念的第一次系统建构次系统建构!同时也为五年级利用多种模型学习小数同时也为五年级利用多种模型学习小数乘法奠定基础。乘法奠定基础。（五）在梳理中实现对乘法意义的建构（五）在梳理中实现对乘法意义的建构第一次第一次系统建构系统建构四年级四年级学习各种主要乘法模型后学习各种主要乘法模型后 分数和小数的本质是相同的，分数乘法和小数乘分数和小数的本质是相同的，分数乘法和小数乘法的现实模型是相同的法的现实模型是相同的!配对模型只适用于整数乘法配对模型只适用于整数乘法。（五）（五）.在梳理中实现对乘法意义的建构在梳理中实现对乘法意义的建构第二次第二次系统建构系统建构六年级六年级 完成分数乘法后完成分数乘法后 实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变 建构倍数模型建构倍数模型 四四.教师在教学中又该如何有效教师在教学中又该如何有效利用情境建构模型呢？利用情境建构模型呢？两个量之间的比率关系一个数中包含了几个另一个数一个数中包含了几个另一个数实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变（建构倍数模型建构倍数模型）四四倍倍数数模模型型求一个数的几倍是多少求一个数的几倍是多少求一个数是另一个数的几倍求一个数是另一个数的几倍已知一个数的几倍是多少，求这个数已知一个数的几倍是多少，求这个数实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变（建构倍数模型建构倍数模型）2 学生接触的学生接触的第二个乘法现实模型第二个乘法现实模型，也，也是学生是学生第一次接触第一次接触“率率”的概念。的概念。加法结构乘法结构实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变（建构倍数模型建构倍数模型）2 必须紧紧围绕概念的本质属性，创设必须紧紧围绕概念的本质属性，创设符符合学生认知特点合学生认知特点，同时又能解释同时又能解释“倍倍”的的数数学本质学本质的活动，让学生在丰富多样的活动中，的活动，让学生在丰富多样的活动中，实现倍数模型实现倍数模型由直观到抽象的嬗变由直观到抽象的嬗变。（1 1）建构标准结构的倍数模型，初识）建构标准结构的倍数模型，初识“倍倍”（1 1）从图上你能得到哪些）从图上你能得到哪些 数学信息？数学信息？（2 2）猜一猜，为什么可以说）猜一猜，为什么可以说“黄花的朵数是蓝花的黄花的朵数是蓝花的2 2倍倍”？（3 3）把）把3 3朵蓝花表示朵蓝花表示1 1份。份。6 6朵朵黄花需要圈几个圈？就是有这黄花需要圈几个圈？就是有这样的几份？样的几份？（4 4）总结：蓝花有）总结：蓝花有3 3朵，黄花朵，黄花有有2 2个个3 3朵，我们就说朵，我们就说“黄花的黄花的朵数是蓝花的朵数是蓝花的2 2倍。倍。环节一环节一1.以以“2倍倍”为着力点，建立为着力点，建立“倍倍”的直观模型的直观模型（1 1）建构标准结构的倍数模型，初识）建构标准结构的倍数模型，初识“倍倍”（1 1）小红和小明都说：）小红和小明都说：“黄花黄花 的朵数是蓝花的的朵数是蓝花的 2 2 倍倍”，他们，他们说得对吗？为什么？先在图上圈说得对吗？为什么？先在图上圈一圈，再同桌交流。一圈，再同桌交流。（2 2）两幅图中花的朵数各不相）两幅图中花的朵数各不相同，为什么都可以说同，为什么都可以说“黄花的朵黄花的朵数是蓝花的数是蓝花的2 2倍倍”呢？呢？(3)(3)每一幅图，如果把蓝花的朵每一幅图，如果把蓝花的朵数圈起来看作数圈起来看作1 1份，黄花的朵数份，黄花的朵数就都有就都有2 2个这么多。个这么多。环节二环节二（1 1）建构标准结构的倍数模型，初识）建构标准结构的倍数模型，初识“倍倍”（1 1）这个说法正确吗？）这个说法正确吗？怎么改就正确了？怎么改就正确了？黄花的朵数是蓝花的黄花的朵数是蓝花的 2 倍倍环节三环节三1.以以“2倍倍”为着力点，建立为着力点，建立“倍倍”的直观模型的直观模型师：小红的说法对吗？师：小红的说法对吗？说说你是怎么想的。说说你是怎么想的。（红花有（红花有4 4朵，黄花有朵，黄花有2 2个个4 4朵，所以黄花的朵数是朵，所以黄花的朵数是红花的红花的2 2倍。）倍。）红花的朵数是黄花的红花的朵数是黄花的2倍倍（2 2）建构非标准结构的倍数模型，变式）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍倍”。环节一环节一师：小红的说法对吗？师：小红的说法对吗？说说你是怎么想的。说说你是怎么想的。（红花有（红花有4 4朵，黄花有朵，黄花有2 2个个4 4朵，所以黄花的朵数是朵，所以黄花的朵数是红花的红花的2 2倍。）倍。）（2 2）建构非标准结构的倍数模型，变式）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍倍”。环节一环节一无序到有序无序到有序a.a.师：现在小红的说法对吗？师：现在小红的说法对吗？有5朵有10朵红花的朵数是黄花的红花的朵数是黄花的2倍倍（2 2）建构非标准结构的倍数模型，变式）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍倍”。环节二环节二b.b.如果把黄花用黄圆表示，如果把黄花用黄圆表示，红花用红圆表示。你能说红花用红圆表示。你能说出它们之间的关系吗？出它们之间的关系吗？（2 2）建构非标准结构的倍数模型，变式）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍倍”。环节二环节二a.a.师：现在小红的说法对吗？师：现在小红的说法对吗？b.b.如果把蓝花用蓝圆表示，如果把蓝花用蓝圆表示，红花用红圆表示。你能说出红花用红圆表示。你能说出它们之间的关系吗？它们之间的关系吗？C.C.现在你能说出它们之间的关现在你能说出它们之间的关系吗？系吗？（2 2）建构非标准结构的倍数模型，变式）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍倍”。环节二环节二实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变（建构倍数模型建构倍数模型）21.以以“2倍倍”为着力点，建立为着力点，建立“倍倍”的直观模型的直观模型原原 则则化无形为有形1由浅入深2由表及里3飞跃非标准结构标准结构两类模型 其目的在于引导学生聚焦其目的在于引导学生聚焦“倍倍”的量性特征的量性特征，并与，并与有序排列的直观图有序排列的直观图进行比较，初步感悟进行比较，初步感悟“形形”与与“数数”的对应关系，为从的对应关系，为从“形形”抽象到抽象到“数数”做好充分准做好充分准备。备。打乱实物排列顺序打乱实物排列顺序只出示文本数据只出示文本数据由实物图抽象成由实物图抽象成圆片或线形图圆片或线形图a.a.现在红圆的个数是黄圆的现在红圆的个数是黄圆的几倍？为什么？几倍？为什么？(黄圆个数为黄圆个数为1 1份，红圆有这样的份，红圆有这样的3 3份，份，所以是黄圆的所以是黄圆的3 3倍倍)b.b.再添再添1 1份呢？份呢？c.10c.10份呢？份呢？100100份呢？你有什份呢？你有什么发现？么发现？(红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍)d.d.在作业纸上画出红圆的个在作业纸上画出红圆的个数是蓝圆的数是蓝圆的3 3倍倍,先思考，再先思考，再同桌交流。同桌交流。2.以以“倍倍”的内涵为拓展点，完善的内涵为拓展点，完善“倍倍”的直观模型的直观模型环节一环节一（1）认识）认识“几倍几倍”a.a.有个小朋友是这样画的，有个小朋友是这样画的，可以吗？可以吗？b.b.如果黄圆有如果黄圆有6 6个，红圆的个个，红圆的个 数是它的数是它的 4 4 倍，红圆应该倍，红圆应该 画几个？画几个？5 5 倍呢？倍呢？9 9倍呢？倍呢？c.c.红圆有这样的几份，就是黄红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍圆的几倍环节一环节一（1）认识）认识“几倍几倍”a.a.红圆的个数是黄圆的多少倍？你红圆的个数是黄圆的多少倍？你 是怎么想的？是怎么想的？b.b.黄圆去掉黄圆去掉1 1个，现在红圆还是蓝圆个，现在红圆还是蓝圆 的的3 3倍吗？黄圆再去掉倍吗？黄圆再去掉1 1个呢？个呢？（圈一圈，再填一填。）（圈一圈，再填一填。）c c：红圆的数量没有变，为什么倍数：红圆的数量没有变，为什么倍数 在变？在变？（每份圈几个要看黄圆，它是比的标准。（每份圈几个要看黄圆，它是比的标准。黄圆发生变化了，倍数也就发生变化了）黄圆发生变化了，倍数也就发生变化了）d d：你还能想到黄圆可能是几个？红：你还能想到黄圆可能是几个？红圆和黄圆之间的倍数关系是怎样的圆和黄圆之间的倍数关系是怎样的？环节二环节二（1）认识）认识“几倍几倍”实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变（建构倍数模型建构倍数模型）22.以以“倍倍”的内涵为拓展点，完善的内涵为拓展点，完善“倍倍”的直观模型。的直观模型。一是通过一是通过“一份数一份数”不变，份数变化不变，份数变化，拓展认识几倍，拓展认识几倍，抽象出抽象出“红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍。红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍。借助直借助直观模型观模型 变式变式发现发现本质本质二是通过二是通过总数不变，总数不变，“一份数一份数”变化变化而引发的而引发的 倍数关系发生变化，感受比的标准的重要性。倍数关系发生变化，感受比的标准的重要性。a.今天我们认识了“倍”这个新 朋友，它就藏在我们身边。b.根据图，你能说说谁是谁的几 倍吗？c.师：你可以用圈一圈的方法，也可以用画竖线分一分的方法，还可以用其他的办法来解决。比一比，谁的想法最多？3.以以“倍倍”的本质为提升点，抽象的本质为提升点，抽象“倍倍”的数量模型。的数量模型。感性认识感性认识理性认识理性认识直观模型直观模型抽象模型抽象模型对对“倍倍”的认识达到了概念性理解水平的认识达到了概念性理解水平3.以以“倍倍”的本质为提升点，抽象的本质为提升点，抽象“倍倍”的数量模型。的数量模型。建构起两数倍数关系的数学模型建构起两数倍数关系的数学模型转化提升为转化提升为列式计列式计算简洁算简洁圈画操圈画操作麻烦作麻烦经历符号再创造过程经历符号再创造过程(建构等量组的聚集模型建构等量组的聚集模型）实现直观到抽象的嬗变实现直观到抽象的嬗变(建构倍数模型建构倍数模型）现实问题数学化提炼（现实问题数学化提炼（建构常见的数量关系模型建构常见的数量关系模型）汇报结束谢谢大家!请各位批评指正