大学文科数学之线性代数与概率统计课件

大学文科数学之线性代数与概率统计北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘 2005.5.11大学文科数学之线性代数与概率统计1连续型随机变量连续型随机变量复习+进一步学习 分布函数的性质连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义重要的连续型重要的连续型r.v连续型随机变量复习+进一步学习 分布函数的性质2复习随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数的概念分布函数的概念.分布函数的性质分布函数的性质复习随机变量的分布函数分布函数的概念.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件，事件Xx的概率的概率P(Xx)称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P(Xx).易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P a XbPXbPXa F(b)F(a).随机变量的分布函数一、分布函数的概念.定义 4二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、左左连续性：对任意实数连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。二、分布函数的性质 1、单调不减性：若x1x2,5假设离散型假设离散型r.v.X 具有分布列具有分布列假设离散型r.v.X 具有分布列6 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个所有可能取值充满一个区间区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能象不能象离散型随机变量那样离散型随机变量那样,以指定它取每个以指定它取每个值概率的方式值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而而是通过给出所谓是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式.连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型7连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在如果存在非负可积函数非负可积函数f(x),使得使得 X 的分布函数的分布函数 F(x)可以写成可以写成则称则称 X为连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的的概率密度函概率密度函数数，简称为，简称为概率密度或密度概率密度或密度.连续型r.v及其密度函数的定义 对于随机变量 X 8概率密度函数的性质概率密度函数的性质这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为1概率密度函数的性质这两条性质是判定一个 f(x)xo面积为9连续连续r.v.的密度函数的密度函数 与与 离散离散r.v.分布列分布列 的性质的性质 比较比较连续r.v.的密度函数 103311大学文科数学之线性代数与概率统计课件12连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因13由此得由此得，1)对连续型对连续型 r.v X,有有由此得，1)对连续型 r.v X,有142)由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S2)由P(X=a)=0 可推知而 X=a 并非不可能15 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)4.对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:(4)在在 f(x)的连续点的连续点 x 处，有处，有 故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值16若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量 X 取17 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大.也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo 要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的18下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子.由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确所确定定.所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo下面给出几个r.v的例子.由于连续型 r.v唯一被它19例9 已知连续型r.v.具有概率密度具有概率密度 求系数 k 及分布函数F(x),并计算 P(1.5=2.5)例9 已知连续型r.v.具有概率密度 20大学文科数学之线性代数与概率统计课件21设 具有概率密度具有概率密度 C 为一常数，称为一常数，称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分上的均匀分布布设 具有概率密度 C 为一常数，称X服从区间(a,b)22（1）若）若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U(a,b)它的实际背景是：它的实际背景是：r.v X 取值在区间取值在区间(a,b)上，并且取值在上，并且取值在(a,b)中任意小区间中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比内的概率与这个小区间的长度成正比.则则 X 具有具有(a,b)上的均匀分布上的均匀分布.（1）若 r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)23 服从均匀分布的随机变量x的分布函数为 服从均匀分布的随机变量x的分布函数为24 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差；点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站25 例例10 某路公共汽车每某路公共汽车每5分钟一趟，设分钟一趟，设 为乘客为乘客在某站口的候车时间在某站口的候车时间,试求他候车时间不超过试求他候车时间不超过3 分钟的概率分钟的概率.解：解：X U(0,30)例10 某路公共汽车每5分钟一趟，设为乘客在某站口26则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命中，如元件的寿命.（2）若）若 r.v X具有概率密度具有概率密度常简记为常简记为 XE().则称 X 服从参数为 的指数分布.指27 服从以 为参数的指数分布的随机变量X的分布函数为 服从以 为参数的28