二项式定理和性质课件

肥城一中高二数学组二项式定理1 1.在在n=1,2,3时，写出并研究时，写出并研究(a+b)n的的展开式展开式.(a+b)1=,a+b=C10 a+C11 b2.那么那么n=4时呢？时呢？(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3 1.在n=1,2,3时，写出并研究(a2a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取 b取取一一个个 b取取两两个个 b 取取三三个个 b 取取四四个个 b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)【问题【问题2】(a+b)4展开展开有哪些项？各项的系数是什么？有哪些项？各项的系数是什么？结果：结果：a4 a3b a2b2 3发现规律：发现规律：对于（对于（a+ba+b）n n=的展开式中的展开式中a an-rn-rb br r的系数是在的系数是在n n个括号中，恰有个括号中，恰有r r个个括号中取括号中取b(b(其余括号中取其余括号中取a)a)的组合数的组合数 .那么，那么，我们能不能写出我们能不能写出(a+b)(a+b)n n的展开式？的展开式？将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢？呢？归纳提高归纳提高 引出定理，总结特征引出定理，总结特征发现规律：对于（a+b）n=的展开式中an-rbr的系数是在4 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （k=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tk+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.二项式定理二项式定理:一般地，对于一般地，对于n N*n N*，有：，有：展开式展开式二项式系数二项式系数k+1n+1 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式51.系数规律：系数规律：2.指数规律：指数规律：各项的次数均为各项的次数均为n；其中每一项中其中每一项中a的次数由的次数由n降到降到0,b次数由次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：二项和的二项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项.4.展开式中的每一项都来自于展开式中的每一项都来自于 n 个括号的各个括号个括号的各个括号.注注.二项式定理二项式定理(公式公式)的特点的特点5.注意区别注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积,即即 字母的系数字母的系数.二项式系数二项式系数为为1.系数规律：2.指数规律：各项的次数均为n；3.项数规律6特别地特别地:2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)kCnan-kbk +(-1)nCnbn01kn3、二项展开式定理二项展开式定理:x=1时特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替 (a-b7解解:第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 第六项的系数为第六项的系数为 解:第三项的二项式系数为 第六项的系数为 8解解:第四项系数为第四项系数为280解:第四项系数为2809 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？例例3(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.(2)：由 10解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.例例3(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：由题意可知，故存在常11解：解：的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高维的严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？解：的展开式的通项12练习练习1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项。解解:练习1、求 的展开式常13练习练习2 2的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20练习2的展开式中,的系数等于_解:仔14二项式定理的逆用例例4 4 化简化简解解(1):(1):将原式变形将原式变形二项式定理的逆用例4 化简解(1):将原式变形15例例4 4 计算并求值计算并求值解解:(2):(2)原式原式逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点也是重点,只只有熟练掌握公式的正用有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用才能掌握逆向应用和变式应用例4 计算并求值解:(2)原式逆向应用公式和变形应用公式是161、二、二项式定理及式定理及结构特征构特征 2、二项式系数与项系数不同、二项式系数与项系数不同 作用：求任一作用：求任一项；求某一；求某一项系数系数 关关键：明确：明确k3、通项公式、通项公式Tk+1=4、定理特例、定理特例小结：小结：1、二项式定理及结构特征 2、二项式系数与项系数不同3、通17 余数是余数是1 1，所以是所以是星期四星期四探究：今天是星期三，那么探究：今天是星期三，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？变式变式:若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？余数是1，所以是星期四探究：今天是星期三，那么 18变式变式:若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？所以余数是所以余数是1 1，思思 考考：若将若将 除以除以9 9，则得到，则得到的余数还是的余数还是1 1吗？吗？8变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？所以191.3.2 “1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质20复习提问复习提问 1.二项式定理的内容二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-kbk+Cnbn01kn右右边多多项式叫式叫(a+b)n的二的二项展开式；展开式；2.二二项式系数式系数:3.二二项展开式的通展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的的标准形式而言准形式而言(k=0,1,2,n)4.在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则复习提问 1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cn21一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？一般地，对于n N*有二项定理:新课引入二项展开式中22计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性对称性计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)23(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)524每行两端都是每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+每行两端都是1 Cn0=Cnn=1(a+b)1(a25二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次26对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等272、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B82、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二28增减性与最大值增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定二项式系数的性质二项式系数的性质由由：即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。可知，当可知，当 时，时，增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 29 因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 301.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ；在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。最大的系数呢？最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查22.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解:第第8、9项的二项式系数项的二项式系数即即6435最大。最大。1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 31各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：二项式系数的性质二项式系数的性质各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：32例例1 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：赋值法赋值法证明：证明：例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和33性质性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和的二项式系数和)：归纳提高归纳提高 性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项归纳提高 34知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法知识对接测查3 2.求证：证明：倒序相加法35求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1)(2)36求奇数求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和所以（3）求奇数(次)项偶数(次)项系数的和所以（3）37例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设38解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是解:设 项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第1139解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评解决系数最大问题，通常设第 项是系数最由此确定40(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性；b 图象；图象；c 最值。最值。小结小结(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想 a41