二重积分-课件

二重积分二重积分一一.二重积分的性质二重积分的性质二二.二重积分的算法二重积分的算法三三.二重二重积分与积分与极坐标极坐标四四.二重积分的应用二重积分的应用学习内容：精品资料一一.二重积分的性质二重积分的性质1.线性性性性质（其中:是常数）2.对区域的有限可加性区域的有限可加性若区域D 分为D1，D2两个部分区域,则：3.若在区域若在区域D上上总有有，则有不等式有不等式4.若在区域若在区域D上有上有为区域D的面积）（5.估估值不等式不等式设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值，是D的面积6.中中值定理定理若f(x,y）在闭区域上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点 使得例例1：估计二重积分 的值，D是圆域解:求被积函数 在区域 上可能的最值(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：，于是有：例例2：比较积分，的大小其中D是由直线和所围成的解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点均有从而有而故由二重积分的性质得二二.二重积分的算法二重积分的算法在区间a,b上任意取一个点作平行于yoz面的平面x=这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形,其面积为该曲顶柱体的体积为D D:x x1 1(y y)x x x x2 2(y y)c c y y d dI=0y x x2(y y)x x1 1(y y)cdy 二重积分计算的两种积分顺序D D0y xcdyD D x2(y y)x x1 1(y y)I=二重二重积分分计算的两种算的两种积分分顺序序.D D:x x1 1(y y)x x x x2 2(y y)c c y y d d0y xcdyD DD D:y y1 1(x x)y y y y2 2(x x)a a x x b b0y xI=ab y y1 1(x x)y y2 2(x x)D D x2(y y)x x1 1(y y)xI=二重二重积分分计算的两种算的两种积分分顺序序.D D:x x1 1(y y)x x x x2 2(y y)c c y y d d0y xcdyD D0y xI=ab y y1 1(x x)y y2 2(x x)D D x2(y y)x x1 1(y y)x6.二重二重积分分计算的两种算的两种积分分顺序序.I=D D:x x1 1(y y)x x x x2 2(y y)c c y y d dD D:y y1 1(x x)y y y y2 2(x x)a a x x b b0y xcdyD D0y xI=ab y y1 1(x x)y y2 2(x x)D D x2(y y)x x1 1(y y)x二重二重积分分计算的两种算的两种积分分顺序序.I=D D:x x1 1(y y)x x x x2 2(y y)c c y y d dD D:y y1 1(x x)y y y y2 2(x x)a a x x b b11y=x20y xD2 先先对 y 积分（从下到上）分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形形3 先先对 x 积分（从左到右）分（从左到右）.y=x.例3：用两种顺序计算一一 先先对x积分分yxoabDyxoabDyxoabD.例4：将二重积分化成二次积分二二 先先对 y 积分分yxoabyxoabyxoabDDD.举例说明如何交换二次积分的次序（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限画出积分区域D（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3）写出结果例例1 1 将将 交换积分次序交换积分次序 。解：由解：由 得积分区域得积分区域：令令 ，画出，画出 的示意图如图。的示意图如图。因为因为 ，所以，所以：画出画出 的示意图如图。的示意图如图。例例2 2 将将 交换积分次序。交换积分次序。解：由解：由 得积分区域得积分区域：令令 ，因为因为 ，所以，所以：极坐极坐标系下的面系下的面积元素元素将将变换到到极坐极坐标系系0D用用坐标线坐标线:=常数常数；r=常数常数 分割区域分割区域 D i iriri+1.i i i i i i+i iI=r ri ir.三三.二重积分与极坐标二重积分与极坐标怎样利用极坐标计算二重积分1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr怎怎样利用极坐利用极坐标计算二重算二重积分分(1)0ABFE DD:.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r怎怎样利用极坐利用极坐标计算二重算二重积分分(1)0ABFE DD:.步步骤：1 从从D的的图形找出形找出 r,上、下限；上、下限；2 2 化被化被积函数函数为极坐极坐标形式；形式；3 面面积元素元素dxdy化化为rdrd.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:怎样利用极坐标计算二重积分(2)r D:D0怎怎样利用极坐利用极坐标计算二重算二重积分分(2).2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r D:.D0 步步骤：1 从从D的的图形找出形找出 r,上、下限；上、下限；2 2 化被化被积函数函数为极坐极坐标形式；形式；3 面面积元素元素dxdy化化为rdrd 怎怎样利用极坐利用极坐标计算二重算二重积分分(2).2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r0y x2a.解解例5：.此此题用直角系算麻用直角系算麻烦，需使用需使用极坐极坐标系！系！21D D0y xD:变换到极坐到极坐标系系.例6:计算算D:=1=1和和 =2=2 围成围成0y x12 y=xD.例7：四.二重积分的应用（一一）、曲面的面曲面的面积积 （二二）、平面薄片的平面薄片的质质心心 （三三）、平面薄片的平面薄片的转动惯转动惯量量 (四四）、平面薄片平面薄片对质对质点的引力点的引力 （五）（五）、经济应用用卫星卫星实例实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内轨道位于地球的赤道平面内,且可近似且可近似认为是圆轨道认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同与地球自转的角速率相同,即人们看到即人们看到它在天空不动它在天空不动.若地球半径取为若地球半径取为R,R,问问卫星距地面的高度卫星距地面的高度h h应为多少应为多少?通讯卫星的覆盖面积是多大通讯卫星的覆盖面积是多大?一、曲面的面积一、曲面的面积一、曲面的面积一、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即例例1 求半径为R的球的表面积：解解 球面方程为：在第一卦限内球面的方程为 在 平面上的投影区域可表示为D：x2+y2R2，x0，y0.又于是，所求球的表面积为即球的表面积 它等于大圆面积的4倍.二、平面薄片的二、平面薄片的质质心心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心标设物体占有平面域 D,有连续密度函数则 分别位于为为采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心公式 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面片,(A 为 D 的面积)得D 的质心坐标:则它的质心坐标为其面密度 例例5.5.求位于两圆和 之间均匀薄的质心.解解:利用对称性可知而三、平面薄片的转动惯量三、平面薄片的转动惯量设物体占有平面区域 D,有连续分布的密度数该物体位于(x,y)处的微元 因此物体 对 x 轴 的转动惯量:对 x 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.同理可得：例例7.7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.G 为引力常数四四、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力设物体占有平面区域 D,求该薄片对于点利用元素法,在D上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为连续处单位质点的引力例例9.9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。五.经济应用