正弦定理、余弦定理和解斜三角形沪教版课件

第五章三角比5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比第五章三角比5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切51正弦定理正弦定理三角形中，三角形中，三角形面积公式三角形面积公式三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半各边与它对角的正弦的比相等各边与它对角的正弦的比相等正弦定理三角形中，三角形面正弦定理三角形中，三角形面积积公式三角形面公式三角形面积积等于两等于两边边与与夹夹角正弦角正弦2例例1.在在 中，中，求求 和该三角形的面积和该三角形的面积.解：解：同理：同理：解毕解毕(结果保留至个位数结果保留至个位数)例例1.在在 中，中，求求 和和该该三角形的面三角形的面积积.解：同理解：同理3例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边根据下列条件，求三角形的其余角和边.(1)(2)解解:(1)或或(结果精确到结果精确到0.01)例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和根据下列条件，求三角形的其余角和边边.(1)(2)解解:(4例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边根据下列条件，求三角形的其余角和边.(2)解解:(2)或或(结果精确到结果精确到0.01)当当 时，时，当当 时，时，解毕解毕例例2.根据下列条件，求三角形的其余角和根据下列条件，求三角形的其余角和边边.(2)解解:(2)或或5一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用正弦定理利用正弦定理(I)已知两角及任一边，求其他角和边；已知两角及任一边，求其他角和边；(II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.解三角形解三角形三角形的元素，三角形的元素，元素的过程叫做元素的过程叫做解三角形解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的几个元素求其他已知三角形的几个元素求其他一般地，把三角形的三个角和它一般地，把三角形的三个角和它们们的的对边对边叫做利用正弦定理叫做利用正弦定理(I)已已6课堂练习课堂练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)(1)(2)2.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)(1)(2)3.在在 中，已知中，已知试判断试判断 的形状的形状.课课堂堂练习练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长边长精确到精确到1cm)(7课堂练习答案课堂练习答案1.(1)(2)2.(1)(2)或或3.等边三角形等边三角形课课堂堂练习练习答案答案1.(1)(2)2.(1)(2)或或3.等等边边三角形三角形8第五章三角比5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比第五章三角比5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.9余弦定理余弦定理三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.另一种形式：另一种形式：余弦定理三角形任一余弦定理三角形任一边边的平方等于其他两的平方等于其他两边边的平方和减去的平方和减去这这两两边边与它与它10例例1.在在 中，中，求求 .(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1)1)解：解：解毕解毕例例1.在在 中，中，11例例2.在在 中，已知中，已知 ，求各，求各解解:角及其面积角及其面积(精确到精确到0.1)同理，得同理，得解毕解毕例例2.在在 中，已知中，已知 12课堂练习课堂练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长精确到，边长精确到1cm)(1)(2)3.已知已知 中，中，求，求2.已知三角形三边之比为已知三角形三边之比为 ，求最大内角，求最大内角.4.在在 中，中，是锐角，求证：是锐角，求证：课课堂堂练习练习1.解三角形解三角形(角度精确到角度精确到 ，边长边长精确到精确到1cm)(13课堂练习答案课堂练习答案1.(1)(2)2.3.解：解：解得解得4.证：证：证毕证毕课课堂堂练习练习答案答案1.(1)(2)2.3.解：解得解：解得4.证证：证毕证毕14一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做利用余弦定理及其变形利用余弦定理及其变形(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；已知两边及夹角，求夹角的对边；(II)已知三边，求角已知三边，求角.解三角形解三角形三角形的元素，三角形的元素，元素的过程叫做元素的过程叫做解三角形解三角形.可以解决以下两类解三角形问题：可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的几个元素求其他已知三角形的几个元素求其他(III)已知两边及一边的对角，求边已知两边及一边的对角，求边.一般地，把三角形的三个角和它一般地，把三角形的三个角和它们们的的对边对边叫做利用余弦定理及其叫做利用余弦定理及其变变形形15第五章三角比5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比第五章三角比5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.16扩充的扩充的正弦定理正弦定理一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长证：证：(同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等)(半圆弧所对圆周角为直角半圆弧所对圆周角为直角)证毕证毕扩扩充的正弦定理一充的正弦定理一边边与它与它对对角的正弦的比角的正弦的比值值等于外接等于外接圆圆的直径的直径长证长证：17例例1.在在 中，中，判断，判断的形状的形状.解：根据正弦定理得解：根据正弦定理得代入条件并化简得代入条件并化简得即即或者或者得得 或或所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.解毕解毕例例1.在在 中，中，18例例1.在在 中，中，判断，判断的形状的形状.解法二：根据余弦定理得解法二：根据余弦定理得代入条件并化简得代入条件并化简得所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.解得解得 或或解毕解毕例例1.在在 中，中，19例例2.若锐角若锐角 的三边长分别是的三边长分别是 ，试确定试确定 的取值范围的取值范围.解：解：由两边之和大于第三边，由两边之和大于第三边，解得解得由由最大角最大角为锐角，得为锐角，得解得解得综上，当综上，当 时，边长满足条件时，边长满足条件.解毕解毕例例2.若若锐锐角角 的三的三边长边长分分别别是是 20课堂练习课堂练习1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.2.三角形满足三角形满足 ，判定其形状，判定其形状.3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数数.(精确到精确到 )4.在在 中，求证：中，求证：课课堂堂练习练习1.已知三角形已知三角形边长为边长为 ，求，求21课堂练习答案课堂练习答案解：解：1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.得得2.三角形满足三角形满足 ，判定其形状，判定其形状.解：解：得得该三角形为等腰三角形该三角形为等腰三角形.解毕解毕解毕解毕课课堂堂练习练习答案解：答案解：1.已知三角形已知三角形边长为边长为 22课堂练习答案课堂练习答案3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数数.(精确到精确到 )解：设边长为解：设边长为且且化简得化简得且且因此因此最大角余弦值为最大角余弦值为 ，角度约为角度约为解毕解毕课课堂堂练习练习答案答案3.边长为连续边长为连续正整数的正整数的钝钝角三角形，求角三角形，求钝钝角的度数角的度数.23课堂练习答案课堂练习答案4.在在 中，求证：中，求证：证：左边证：左边=右边右边证毕证毕课课堂堂练习练习答案答案4.在在 中，求中，求证证：证证：左：左24第五章三角比5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比第五章三角比5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.25例例1.设设 两点在河的两岸，要测量两点之间的两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者与距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点在同侧，选定所在河岸一点 ，测出测出 距离距离 ，求求 两点间的距离两点间的距离(精确到精确到 )解：由正弦定理，得解：由正弦定理，得答略答略 解毕解毕问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离例例1.设设 两点在河的两岸，要两点在河的两岸，要测测量两点之量两点之间间的距离的距离26分析分析 根据例根据例1 测出测出再测出再测出 解：在河岸选定两点解：在河岸选定两点测得测得问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离例例2.设设 两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一，设计一种测量种测量 两点间距离的方法两点间距离的方法.分析分析 根据例根据例1 测测出再出再测测出出 解：在河岸解：在河岸27问题一问题一 测量可视但不可达的距离测量可视但不可达的距离例例2.设设 两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一，设计一种测量种测量 两点间距离的方法两点间距离的方法.解：在解：在 中，中，同理在同理在 中中解毕解毕问题问题一一 测测量可量可视视但不可达的距离例但不可达的距离例2.设设 两点两点28问题二问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例例3.河对岸矗立着一座塔河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高，设计一种测量塔高的方法的方法.分析分析 根据例根据例1的方法测出的方法测出再测出仰角再测出仰角解：在河岸选定两点解：在河岸选定两点测得测得仰角仰角问题问题二二 测测量底部和量底部和顶顶部可部可视视不可达的物体的高度例不可达的物体的高度例3.河河对对岸矗岸矗29问题二问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度测量底部和顶部可视不可达的物体的高度例例3.河对岸矗立着一座塔河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高，设计一种测量塔高的方法的方法.解解:在在 中中在在 中，中，因此因此解毕解毕问题问题二二 测测量底部和量底部和顶顶部可部可视视不可达的物体的高度例不可达的物体的高度例3.河河对对岸矗岸矗30(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度例例4.一艘海轮从一艘海轮从 出发，沿北偏东出发，沿北偏东 的方向航行的方向航行67.5海里后到达海岛海里后到达海岛 ，然后从，然后从 出发，沿北偏出发，沿北偏东东 的方向航行的方向航行54.0海里后到达海岛海里后到达海岛 .如果下次如果下次航行直接从航行直接从 出发到出发到 .此船应沿怎样的方向航行此船应沿怎样的方向航行需要航行多少距离？需要航行多少距离？(精确到精确到 0.1)(选选用用)问题问题三三 测测量角度例量角度例4.一艘海一艘海轮轮从从 出出发发，沿北，沿北31(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度解解:(海里海里)在在 中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得(选选用用)问题问题三三 测测量角度解量角度解:(海里海里)在在 32(选用选用)问题三问题三 测量角度测量角度续解续解:(海里海里)由正弦定理，得由正弦定理，得答略答略 解毕解毕(选选用用)问题问题三三 测测量角度量角度续续解解:(海里海里)由正弦定理，得答略由正弦定理，得答略 33