二章矩阵各节内容讲解课件

第二章第二章 矩阵各节内容讲解矩阵各节内容讲解21 矩阵的概念矩阵的概念22 矩阵的运算矩阵的运算23 几种特殊矩阵几种特殊矩阵24 n阶方阵的行列式阶方阵的行列式25 逆矩阵逆矩阵26 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵27 矩阵的秩矩阵的秩28 分块矩阵分块矩阵21 矩阵的概念矩阵的概念排成的一个排成的一个m行行n列的数表列的数表称为一个称为一个m行行n列矩阵，简称为列矩阵，简称为mn矩阵。矩阵。矩阵的第矩阵的第i行行j列元素列元素定义定义 由由mn个数个数例如例如24矩阵矩阵33矩阵矩阵矩阵常用的记号：矩阵常用的记号：u 大写英文字母大写英文字母A,B,C,A24=(aij)33=u (aij)u Amnu (aij)m mn n u特别地当m=1时，称为称为n n阶方阵阶方阵称为称为行矩阵行矩阵当n=1时，称为称为列矩阵列矩阵当m=n=1时，可视为普通数可视为普通数 来处理来处理当m=n时，称为称为零矩阵零矩阵，记为 或 O记为记为 或或Eu当当时时u对对n阶方阵阶方阵A=(=(aijij),),若若：即即称为称为单位矩阵单位矩阵，u对矩阵对矩阵A=(aij)，称称(-aij)为矩阵为矩阵A的负矩阵的负矩阵，记为，记为-A 即即u矩阵概念与行列式概念的区别：矩阵概念与行列式概念的区别：1.一个一个行列式行列式 代表代表一个数一个数一个一个矩阵矩阵 代表一个代表一个数据表格数据表格例如例如而而 表示一个数表表示一个数表2、二者二者记号不同记号不同：行列式用行列式用 ,矩阵用矩阵用（）。）。3、行列式的行列式的行数和列数必须相同，行数和列数必须相同，而矩阵的而矩阵的行行数与列数可以不同。数与列数可以不同。例例 对对mn 线性方程组线性方程组把方程组中系数把方程组中系数 及常数项及常数项 按原来次序取出，按原来次序取出，作一个矩阵作一个矩阵m(n+1+1)增广矩阵增广矩阵（*）则则线性方程组（线性方程组（*）与）与 之间的关系是之间的关系是1-1对应的对应的=Bu把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵mn=A系数矩阵系数矩阵u把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵m1=常数矩阵常数矩阵u把未知量拿出来作一个矩阵把未知量拿出来作一个矩阵n1 1=X未知量矩阵未知量矩阵2 22 2 矩阵运算矩阵运算定义定义 若两个有相同行数和相同列数的矩阵若两个有相同行数和相同列数的矩阵满足满足则称则称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B相等相等。记为：。记为：A=B.例如：若例如：若 且且A=B则则有有c=0;a=-1;b=2;d=3.一、矩阵的加法一、矩阵的加法 定义定义 由矩阵由矩阵A=(aij)mn与与B=(bij)mn的各的各对应元素对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵与矩阵B的和。记为：的和。记为：A+B 即即简记为简记为：例如例如 矩阵加法的性质矩阵加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A（4）A+(-A)=A-A=Ou矩阵的减法：矩阵的减法：例如例如 二、数与矩阵的乘法（简称数乘）二、数与矩阵的乘法（简称数乘）定义定义 由常数由常数k乘以矩阵乘以矩阵Amn的的每个元素每个元素而得而得到的矩阵，称为数到的矩阵，称为数k与矩阵与矩阵A的乘积，简称数乘。的乘积，简称数乘。记为记为kAu数乘的性质：数乘的性质：设设A,B,O均为均为mn矩阵矩阵，k,t为为常数常数,则则 (1)k(A+B)=kA+kB (2)(k+t)A=kA+tA (3)(kt)A=k(tA)=t(kA)(4)1A=A (5)0A=O (6)若若k0,AO,则则 kAO 例例2 2 求矩阵求矩阵X，使使3A+2X=3B。其中其中解解 由 3A+2X=3B 解得:2X=3B-3A即所以三、矩阵与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法 定义定义 设矩阵设矩阵 ，由元素由元素构成的矩阵构成的矩阵 称为矩阵称为矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积。的乘积。记为记为C=AB.i 行行 j 列列即即:关于矩阵乘法的说明：关于矩阵乘法的说明：1.只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵的列数与第二个矩阵B的行数相同时，的行数相同时，AB才有意义才有意义.2.C的行数的行数=第一个矩阵第一个矩阵A的行数的行数C的列数的列数=第二个矩阵第二个矩阵B的列数的列数 例例3 3 设设,求求AB.解解 注：此题BA无意义因为 例例4 4 设设 ,求求 AB.解解 注 此题BA有意义,BA是一个数是一个数 例例5 5 ,求求AB.解解注：此题BA有意义但AB与BA的行列数不同 例例6 6 设设 ,求求AB.解解注：(1)此题BA有意义,BA与AB行列数相同,但ABBA(2)BA=O,但 BO,且AO 例例7 7 设设 求求：AB,AC.解解 注：此题AB=AC,且AO,但BC 矩阵乘法与实数乘法的比较：矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)(1)实数乘法满足交换率。即实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法矩阵乘法不满足交换率不满足交换率。即。即 ABBA (2)2)实数乘法满足消去率。实数乘法满足消去率。即：若即：若ab=ac,且且a0,则有则有b=c,矩阵乘法不满足消去率矩阵乘法不满足消去率 即：由即：由 AB=AC,且且AO,不能得出不能得出B=C.(3 3)在实数乘法中，若在实数乘法中，若ab=0,可推出可推出a=0 0或或b=0,=0,在矩阵乘法中，由在矩阵乘法中，由AB=O不能推出不能推出A=O或或B=O.矩阵乘法的性质：矩阵乘法的性质：(1)A(BC)=(AB)C (2)t(AB)=(tA)B=A(tB)(3)(A+B)C=AC+BC (4)A(B+C)=AB+AC (5)AE=EA=A注意：在性质（注意：在性质（5 5）中，若）中，若A是是mn矩阵，则矩阵，则AE中中 的的E为为En,而而EA中的中的E为为Em对对mn线性方程组线性方程组取，所以线性方程组即 AX=B可表示为：定义定义 设设A为为n阶方阵，阶方阵，k为正整数，为正整数，k个个A的连乘积的连乘积 称为方阵称为方阵A的的k次幂。记为：次幂。记为：Ak即即例如：例如：则则 方幂的性质：方幂的性质：注意：注意：（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。（2）（AB)k Ak Bk）Ak和Bk可能无意义例如有意义，但Ak、Bk无意义）由于乘法不满足交换率注意：中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素 四、矩阵的转置四、矩阵的转置 定义定义 将矩阵将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩的行列互换得到的矩阵，称为矩A的转置的转置矩阵，简称转置。矩阵，简称转置。即若即若则则记为 或转置的性质：转置的性质：（1）（2）（3）（4）例如：例如：则，一般情况下 例例8 8 设矩阵设矩阵求求解法一：解法二：二、矩阵的加（减）法三、数与矩阵的乘法（简称数乘）矩阵的运算小结矩阵的运算小结一、矩阵相等4、矩阵的乘积：设矩阵矩阵的乘积：设矩阵 ，注意注意：(1)矩阵乘法矩阵乘法不满足交换率不满足交换率，即：，即：ABBA (2)矩阵乘法不满足消去率矩阵乘法不满足消去率，即：由，即：由AB=AC，且且AO,不能得出不能得出B=C。(3)在矩阵乘法中，由在矩阵乘法中，由AB=O不能推出不能推出A=O或或 B=O这里：5 5、方阵的幂：设、方阵的幂：设A为为n阶方阵，阶方阵，k为正整数为正整数注意：注意：(1)只有当只有当A为为n阶方阵时，才有方幂的概念。阶方阵时，才有方幂的概念。(2)(2)(AB)kAkBk6 6、矩阵的转置、矩阵的转置即 若mn则nm注意：(1)中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的 元素(2)一般情况下2.3 几种特殊矩阵几种特殊矩阵一、对角矩阵一、对角矩阵 定义定义 主对角线以外的元素都是主对角线以外的元素都是0 0的方阵称为的方阵称为对角矩阵对角矩阵，即即例如，例如，均为对角矩阵。均为对角矩阵。对角矩阵的性质：对角矩阵的性质：性质性质1 1 两个同阶对角矩阵相加仍为对角矩阵。两个同阶对角矩阵相加仍为对角矩阵。性质性质2 2 数乘对角矩阵仍为对角矩阵。数乘对角矩阵仍为对角矩阵。性质性质3 3 两个同阶对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，且它两个同阶对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，且它们的乘积可交换。们的乘积可交换。性质性质4 4 对角矩阵的转置矩阵仍为原对角矩阵，即对角矩阵的转置矩阵仍为原对角矩阵，即 思考题思考题 单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵吗？单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵吗？对角矩阵的主对角线上的元素都相等吗？对角矩阵的主对角线上的元素都相等吗？主对角线上可以有零元素吗？主对角线上可以有零元素吗？定义定义 主对角线以下的元素都是主对角线以下的元素都是0 0的方阵称为的方阵称为上三角矩上三角矩阵阵，即，即二、三角矩阵二、三角矩阵 主对角线上方的元素全是主对角线上方的元素全是0 0的的n阶矩阵，称为阶矩阵，称为n阶下三角矩阶下三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。三角矩阵具有下列性质：三角矩阵具有下列性质：性质性质1 1 上（下）三角矩阵的和，数乘，乘积仍是上上（下）三角矩阵的和，数乘，乘积仍是上（下）三角矩阵。（下）三角矩阵。性质性质2 2 上（下）三角矩阵的转置矩阵是下（上）三上（下）三角矩阵的转置矩阵是下（上）三角矩阵。角矩阵。定义定义 设设A是实的是实的n阶方阵，若阶方阵，若 ，则称则称A为为实对称矩阵实对称矩阵。，B不是对称的不是对称的例如例如，A是实对称矩阵的是实对称矩阵的三、对称矩阵三、对称矩阵 例例8 8 若若A 实对称矩阵，证明：对于任意实对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵阶方阵P,必为实对称矩阵必为实对称矩阵.证明证明 定义定义 由由n阶方阵阶方阵A的元素按原来的顺序构成的元素按原来的顺序构成的行列式，称为方阵的行列式，称为方阵A的行列式的行列式。记为即：对2.4 2.4 方阵的行列式方阵的行列式 方阵的行列式性质：方阵的行列式性质：设设A、B是是n阶方阵阶方阵，t是常数，则是常数，则（1）（2）（3）4.注意：注意：2 2.只有只有当当A、B是同阶方阵时是同阶方阵时，才成立才成立.(因为当A mn、B nm时，AB nm，有意义，但有意义，但 和和 无意义）无意义）3.当当A、B是同阶方阵时是同阶方阵时，有，有 (虽然虽然ABBA)；1 1、只有、只有当当A是方阵是方阵时，才有时，才有A的行列式的行列式课堂练习课堂练习 2、已知A是三阶方阵，且 ，求 （1）若矩阵A的行列式 ，则必有A=0（2）若矩阵A的行列式 ，则必有A=E（3）若n阶方阵A、B、C满足A=B+C，则必有 反例反例1、判断题、判断题 2.当当A、B是同阶方阵时是同阶方阵时，有，有 方阵的行列式小结方阵的行列式小结对方阵3.注意：注意：1.1.只有只有当当A是方阵是方阵时，才有时，才有A A的行列式的行列式（虽然虽然ABBA)；2.5 2.5 可逆矩阵可逆矩阵数的乘法运算中的，数的乘法运算中的，在数的运算中，当数在数的运算中，当数a时，有时，有则则 称为称为 的倒数的倒数，在在一一个矩阵个矩阵 ，有，有在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，一、背景一、背景一、背景一、背景1 1、数、数2 2、矩阵、矩阵则矩阵则矩阵称为的称为的可逆矩阵可逆矩阵，（或称为（或称为a的逆的逆）；）；单位阵单位阵相当于相当于那么，对于矩阵那么，对于矩阵，如果存，如果存称为称为 的逆阵的逆阵.3 3 3 3、线性方程组求解、线性方程组求解、线性方程组求解、线性方程组求解上述线性方程组可表示为上述线性方程组可表示为方程组的解方程组的解例例1 1的逆矩阵记作的逆矩阵记作二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质1 1.定义定义对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果有一个，如果有一个n阶矩阵阶矩阵B，使得，使得则称矩阵则称矩阵 是是可逆可逆的，的，是是 的逆矩阵的逆矩阵.并把矩阵并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.若设若设 和和 是是 可逆矩阵，可逆矩阵，则有则有所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.证明证明于是于是例例2 2 设设,求求 的逆的逆.解解设设则则2、伴随矩阵、伴随矩阵 定义定义 行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij 所构成所构成的如下矩阵的如下矩阵性质性质称为矩阵称为矩阵A的伴随矩的伴随矩阵阵.例例4 求求 的伴随矩阵的伴随矩阵A*.解解同理同理 A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此因此A A的伴随矩阵的伴随矩阵 A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵三阶矩阵A A的伴随矩阵的伴随矩阵A*为为，证明证明，使得，使得两边求行列式，有两边求行列式，有定理定理定理定理1 1 1 1若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则即有即有定理定理定理定理2 2 2 2矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且其中其中为矩阵为矩阵的的伴随矩阵伴随矩阵.证明证明因为矩阵与其伴随矩阵有因为矩阵与其伴随矩阵有，故有，故有又因为又因为所以，按逆矩阵的定义，即有所以，按逆矩阵的定义，即有3.3.判别矩阵可逆的条件判别矩阵可逆的条件 A*.1|A|A 1 矩阵矩阵 A 可逆可逆|A|0；例例5 求矩阵求矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵.2-3 1 1 2 0 0-5 1 2-3 1 1 2 0 0-5 1 解解 因为因为 2 0，所以所以A可逆可逆.又因为又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31 A*10 7 5-2 2 2 2 1 1 ，所以所以 A*1|A|12A 110 7 5 2 2 2 2 1 1 5 7/2 5/2 1 1 1 1 1/2 1/2 .|A|伴随矩阵法伴随矩阵法例例6 讨论：讨论：(1)如何求二阶矩阵如何求二阶矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵。a11a21a12a22提示：提示：A*=A11A12A21A22a22-a21-a12 a11=，=a11a22-a12a21，a11a21a12a22|A|=A*1|A|A-1a22-a21-a12 a11=.1a11a22-a12a21(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)推论推论若若或或，则，则所以所以 可逆可逆.由由，得，得例例7 7可逆，并求它们的逆矩阵可逆，并求它们的逆矩阵.设方阵设方阵满足方程满足方程，证明，证明证明证明A+2E可逆自己证明。可逆自己证明。4.4.可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 (3)若若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且亦可逆，且(AB)1 B 1A 1.(2)若若A可逆，数可逆，数l l 0 0，则则l lA 可逆可逆，且且(l lA)1 l l 1A 1.(1)若若A可逆，则可逆，则A 1也可逆，也可逆，且且(A 1)1 A.(4)若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，也可逆，且且(AT)1(A 1)T.(5)|A 1|=|A|1.特别注意特别注意:A，B可逆，可逆，A+B未必可逆未必可逆.即使即使A+B可逆可逆，但一般地但一般地 例如例如显然显然A、B可逆可逆，但因为但因为|A+B|=0,故故A+B不可逆不可逆.当当A=B时时，而不是而不是 线性方程组线性方程组 的矩阵形式为的矩阵形式为 其中其中 当当|A|0时时，A-1存在存在，AX=b两边左乘两边左乘A-1，得得 X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式这就是线性方程组解的矩阵表达式.三、应用三、应用-用逆矩阵求解线性方程组用逆矩阵求解线性方程组例例8 8解解例例9 9 解矩阵方程解矩阵方程解解为什么？为什么？注：注：求解矩阵方程求解矩阵方程A 1 =，3 1-3-2-15/2 1 1-3/2 1 3 2 2 4 2 3 3 1 例例1010设设A=，B=，C=.5 2 3 1 1 3 2 3 1 0 求矩阵求矩阵X 使使AXB C.-5 3 2-1B 1 ，解解 X=3 1-3-2-15/2 1 1-3/2 1 3 2 3 1 0-5 3 2-1-2-10 10 1 4-4=.X A 1CB 1 为什么？为什么？逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法：逆矩阵的计算方法：逆矩阵逆矩阵 存在存在四、小结四、小结四、小结四、小结定义法定义法初等变换法（后面介绍）初等变换法（后面介绍）伴随矩阵法伴随矩阵法2.62.6 矩阵的初等行变换和初等矩阵矩阵的初等行变换和初等矩阵一、矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换对矩阵进行下列变换称为矩阵的初等行变换：对矩阵进行下列变换称为矩阵的初等行变换：（，）2+2矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.定义定义 由单位矩阵由单位矩阵E E 经过经过一次一次初等变换得到的方阵称初等变换得到的方阵称为为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：二、初等矩阵的概念二、初等矩阵的概念例例1 1 以下矩阵是否初等矩阵以下矩阵是否初等矩阵?对换矩阵：（对换矩阵：（，）倍加矩阵：倍加矩阵：(1)不是初等矩阵不是初等矩阵2.2.初等矩阵均可逆。初等矩阵均可逆。1.1.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.三、初等矩阵的性质三、初等矩阵的性质四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用例例2 2 注意下列矩阵运算：设注意下列矩阵运算：设 定理定理1 1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵,对对A施行一次初等行变施行一次初等行变换换,相当于在相当于在A的的左边乘以左边乘以相应的相应的m 阶阶初等矩阵初等矩阵.初等行变换初等行变换初等矩阵初等矩阵对换变换对换变换：（：（，）倍乘变换倍乘变换3倍加变换倍加变换(3)(2)+(6)(7)+(1)+(6)1/7+3+(-3)+2(-1)定理定理2 2 方阵方阵A可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件是存在有限个初等是存在有限个初等方阵方阵由此得到求逆矩阵的另一种方法：由此得到求逆矩阵的另一种方法：初等行变换法初等行变换法。例例3 3 解解(2)+(-3)+(1)+(-2)+(-5)(-1)(1/2)即即初等行变换初等行变换例例5 5解解小小 结结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等行变换一次初等行变换2.2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:2.7 矩阵的秩矩阵的秩 矩阵的秩是反映矩阵本质属性的重要概念之一。为介绍矩阵的秩是反映矩阵本质属性的重要概念之一。为介绍矩阵的秩的概念，首先给出阶梯形矩阵的定义。矩阵的秩的概念，首先给出阶梯形矩阵的定义。定义定义 满足下列条件的矩阵称为满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，简称，简称阶阶梯阵：梯阵：（1 1）如果矩阵有零行，零行在矩阵的最下方。）如果矩阵有零行，零行在矩阵的最下方。（2 2）各个非零行（元素不全为的行）的第）各个非零行（元素不全为的行）的第1 1个非个非零元素零元素(称为主元称为主元）的列标随着行标的递增而严格增大；）的列标随着行标的递增而严格增大；例例1，都是阶梯阵；而都是阶梯阵；而都不是阶梯阵。都不是阶梯阵。定理定理 任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化成任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化成阶梯阵。阶梯阵。注意注意 此定理的证明告诉我们将任意矩阵此定理的证明告诉我们将任意矩阵A经过初等行经过初等行变换化成阶梯形矩阵的方法。变换化成阶梯形矩阵的方法。定义定义 一个矩阵一个矩阵A经过初等行变换可化成阶梯阵，称此经过初等行变换可化成阶梯阵，称此阶梯阵为阶梯阵为矩阵矩阵A的阶梯阵的阶梯阵。例例2 2 求矩阵求矩阵的阶梯阵。的阶梯阵。(2)+(-1)B是是A的阶梯阵。的阶梯阵。定义定义 矩阵矩阵A的阶梯形矩阵的非零行的行数称为矩阵的阶梯形矩阵的非零行的行数称为矩阵A的的秩秩，记作，记作秩秩(A)或或r(A)。值得注意的是，值得注意的是，A的阶梯阵不是惟一的的阶梯阵不是惟一的。但。但A的阶梯阵中的阶梯阵中所含有所含有非零行的行数非零行的行数是惟一确定的。是惟一确定的。例例1 1中中r(A)=2.(6)(7)+(1)+(6)例例3 3 求矩阵求矩阵A 的秩。的秩。所以所以，r(A)=3 思考：思考：可逆矩阵和满秩可逆矩阵和满秩矩阵的关系是什么？矩阵的关系是什么？定义定义 设设A是是n阶方阵，若秩阶方阵，若秩(A)n，则称，则称A为为满秩矩阵满秩矩阵。A可逆矩阵可逆矩阵 A满秩矩阵满秩矩阵 定理定理 任何满秩矩阵经过初等行变换都能化成单位矩阵。任何满秩矩阵经过初等行变换都能化成单位矩阵。定理定理 任何可逆矩阵经过若干次初等行变换都可以化成任何可逆矩阵经过若干次初等行变换都可以化成单位矩阵单位矩阵E。2.82.8 矩阵的分块矩阵的分块 定义定义 将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为每个小矩阵称为A的子块的子块,以子块为元素的矩阵称为以子块为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。列举三种分块形式：列举三种分块形式：分块矩阵的运算法则分块矩阵的运算法则:(1)(1)矩阵矩阵A与与B为同型矩阵为同型矩阵,采用同样的分块法采用同样的分块法,有有 (3)A为为m l矩阵矩阵,B为为l n矩阵矩阵,将将A,B分成分成 其中其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j,B2j,Bij的行数的行数,则有则有 例例1 1 设设求求AB.解解 A,B分块成分块成 返回返回(4)(4)设设则则(5)(5)设方阵设方阵A的分块矩阵为的分块矩阵为 除除主主对对角角线线上上的的子子块块不不为为零零子子块块外外,其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵,且且Ai(i=1,2,m)为为方方阵阵,则则A A称称为为分分块块对对角角矩矩阵阵(或或准准对对角角矩矩阵阵).i)i)准对角矩阵的行列式为准对角矩阵的行列式为 ii)ii)若有与若有与A同阶的准对角矩阵同阶的准对角矩阵 其中其中Ai与与Bi(i=1,2,m)亦为同阶矩阵亦为同阶矩阵,则有则有 iii)iii)若若A可逆可逆,则有则有 求求A-1.例例 2 设设解解解解例例3 设设解解例例 4 设设