概率论第一章课件

19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-241.4 条件概率条件概率 对随机现象的研究中，常遇到另一类概率对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问题计算问题.例例 两个足球队比赛的胜负预测两个足球队比赛的胜负预测.B=中国队上半场负中国队上半场负，A=中国队最终获胜中国队最终获胜(1)考虑事件考虑事件A 发生的可能性大小？发生的可能性大小？一、条件概率一、条件概率(2)事件事件B已发生已发生,问事件问事件A发生的可能性大小？发生的可能性大小？03-8月月-231.4 条件概率条件概率 对随机现象的研究中对随机现象的研究中19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24例如：例如：产品抽检产品抽检试验试验 将已知事件将已知事件B 发生的条件下，事件发生的条件下，事件A发发生可能性的客观度量称为生可能性的客观度量称为条件概率条件概率，记为，记为P(A|B).定义定义 设设A，B是随机试验是随机试验E 的两个随机的两个随机事件，且事件，且P(B)0，称，称为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生的发生的条条件概率件概率.03-8月月-23例如：产品抽检试验例如：产品抽检试验 将已知事件将已知事件B 发生的发生的19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 由由P17的性质的性质1.3.1可知条件概率满足概率可知条件概率满足概率定义的三个公理，故而概率的性质同样适用定义的三个公理，故而概率的性质同样适用于条件概率于条件概率.问题问题 (1)判断所求概率是否是条件概率？判断所求概率是否是条件概率？(2)判断题目中概率数据是否是条件判断题目中概率数据是否是条件概率？概率？解决问题的解决问题的关键词：情况、已知、现实关键词：情况、已知、现实例如：例如：掷硬币试验掷硬币试验射击试验射击试验03-8月月-23 由由P17的性质的性质1.3.1可知条件概率满可知条件概率满19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 定理定理 设设P(B)0，则有则有P(AB)=P(B)P(A|B)更一般地有更一般地有，若若P(A1 A2 An-1)0，则则 若若P(A)0，有有P(AB)=P(A)P(B|A).条件概条件概率定义率定义的改写的改写二、乘法公式二、乘法公式P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)P(A1A2An-1An)=03-8月月-23 定理定理 设设P(B)0，19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24注注 乘法公式是概率计算中的重要公式乘法公式是概率计算中的重要公式.例如：例如：事件的概率计算可能很复杂，有时可以采事件的概率计算可能很复杂，有时可以采用借助于一组事件组的方法用借助于一组事件组的方法.例如：例如：激烈空战激烈空战摸球试验摸球试验抽签的公平性抽签的公平性三、全概率公式三、全概率公式务必分清题目中所给数据是否为条件概率务必分清题目中所给数据是否为条件概率.03-8月月-23注注 乘法公式是概率计算中的重要公式乘法公式是概率计算中的重要公式.例如：例如：19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 注注 概率分解是一种重要的随机分析思想，概率分解是一种重要的随机分析思想，应充分理解应充分理解.定义定义 设设为随机试验为随机试验 E 的样本空间的样本空间,B1,B2,，Bn 为为 E 的一组事件，若的一组事件，若 (1)BiBj=，i j；称称B1，B2，Bn 为为W W 的一个的一个有限划分有限划分(或称或称完备事件组完备事件组).(2)B1B2 Bn=W W 03-8月月-23 注注 概率分解是一种重要的随机分析概率分解是一种重要的随机分析19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24样本空间样本空间的划分的划分03-8月月-23样本空间样本空间的划分的划分19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 定理（全概率公式）定理（全概率公式）设随机试验设随机试验E的样的样本空间为本空间为,A W W,B1，B2，Bn 为为W W 的一个有限划分的一个有限划分,且且P(Bi)0,i=1,2,n,则有则有证明证明 B1，B2，Bn 为为W W 的一个有限划分的一个有限划分因因 W W=B1B2 Bn 故故 A=A W W=A A(B1B2 Bn)吸收律吸收律03-8月月-23 定理（全概率公式）设随机试验定理（全概率公式）设随机试验E的的19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24分配律分配律 又因为又因为 (A ABi)(A ABj)=A(BiBj)=Af f=f f,i j由概率的有限可加性由概率的有限可加性因为因为P(Bi)0,i=1,2,n，利用乘法公式利用乘法公式得得03-8月月-23分配律分配律 又因为又因为 (ABi)(A19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24概率分解概率分解03-8月月-23概率分解概率分解19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 注注:该公式常用在预测推断中该公式常用在预测推断中,称为称为事前事前概率概率.例如：例如：抽检试验抽检试验抽签公平性抽签公平性 练习练习 袋中有袋中有50个球，个球，20个黄色的，个黄色的，30个白个白色的两人依次随机地从袋中各取一球，取后色的两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取到黄球的概率是不放回，则第二人取到黄球的概率是枪支校验枪支校验03-8月月-23 注注:该公式常用在预测推断中该公式常用在预测推断中,称为事前概称为事前概19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 2）在抽检试验中在抽检试验中,如果已抽到一件次品，如果已抽到一件次品，需追究有关车间的责任需追究有关车间的责任,你如何考虑你如何考虑？思考思考 1）枪支校验问题中，射手已经中靶，）枪支校验问题中，射手已经中靶，他是用已校正的枪的可能性有多大？他是用已校正的枪的可能性有多大？对问题对问题2）应计算以下概率：）应计算以下概率：P(A iB)=?i=1,2,3,4.并比较其大小并比较其大小.03-8月月-23 2）在抽检试验中）在抽检试验中,如果已抽到一件如果已抽到一件19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24这类概率称为事后概率这类概率称为事后概率.追究责任问题追究责任问题 一类应用问题：把事件一类应用问题：把事件A看成看成“结果结果”，把事件，把事件B1，B2，Bn看成导致该结果看成导致该结果的可能的可能“原因原因”，在已知，在已知A发生的条件下，发生的条件下，去找出去找出最有可能导致最有可能导致它发生的它发生的“原因原因”.办公系统信息传输问题办公系统信息传输问题例如例如这类问题称为这类问题称为贝叶斯问题贝叶斯问题.03-8月月-23这类概率称为事后概率这类概率称为事后概率.追究责任问题追究责任问题 一类一类19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 定理（贝叶斯公式）定理（贝叶斯公式）设随机试验设随机试验E的样的样本空间为本空间为W W，A W W,B1，B2，Bn 为为W W 的一个有限划分的一个有限划分,且且P(Bi)0,i=1,2,n,则有则有四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式证明证明 03-8月月-23 定理（贝叶斯公式）定理（贝叶斯公式）设随机试验设随机试验19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 贝叶斯公式用来计算事后概率贝叶斯公式用来计算事后概率.例如：例如：病情诊断试验病情诊断试验见见P23，例例1.3.12和例和例1.3.13枪支校验枪支校验乘法公式乘法公式全概率全概率公式公式03-8月月-23 贝叶斯公式用来计算事后概率贝叶斯公式用来计算事后概率.例如：病情诊断例如：病情诊断19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例1 100件产品中有件产品中有5件不合格，其中件不合格，其中3 件是件是次品，次品，2 件是废品，现从中任取一件，试求件是废品，现从中任取一件，试求1）抽得废品的概率）抽得废品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是废品的概率已知抽得不合格品，它是废品的概率p2.?03-8月月-23 例例1 100件产品中有件产品中有5件不合格，其件不合格，其19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24解解 令令A=抽得废品抽得废品，B=抽得不合格品抽得不合格品.有有?B成为成为现实现实03-8月月-23解解 令令A=抽得废品抽得废品，B=抽得不合格品抽得不合格品19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24有有#注意到注意到03-8月月-23有有#注意到注意到19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例2 掷一枚硬币直到出现三次正面才停掷一枚硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正面的概率？也是正面的概率？(求什么概率求什么概率?)解解 令令 Ak=第第 k 次出现正面，次出现正面，k=1,2,则则 P(B)=/26 C52123456正正B=第六次停止投掷第六次停止投掷03-8月月-23 例例2 掷一枚硬币直到出现三次正掷一枚硬币直到出现三次正19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24P=P(A5B)=P(A5B)/P(B)#03-8月月-23P=P(A5B)=P(A5B)/P(B)#19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例3 甲乙两人独立地对同一目标射击一甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为次，其命中率分别为0.6和和0.5，现已知目标，现已知目标被击中，求它被甲射中的概率被击中，求它被甲射中的概率.解解 设设 A=目标被甲击中目标被甲击中，B=目标被乙击中目标被乙击中，C=目标被击中目标被击中.所求概率为所求概率为03-8月月-23 例例3 甲乙两人独立地对同一目标射击甲乙两人独立地对同一目标射击19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24#03-8月月-23#19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例4 （抽签的公平性）（抽签的公平性）袋中有袋中有10 个球个球,9 个白色的个白色的,1个红色的个红色的,10 个人依次不放回的各取一球，问第一个人，个人依次不放回的各取一球，问第一个人，第二个人，最后一人取到红球的概率各为多少第二个人，最后一人取到红球的概率各为多少？解解 设设Ai=第第 i 人取到红球人取到红球，i=1，2，10.03-8月月-23 例例4 （抽签的公平性）（抽签的公平性）解解 设设19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24第一次第一次第二次第二次03-8月月-23第一次第二次第一次第二次19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24有有 P(A1)=P(A2)=P(A10).#03-8月月-23有有 P(A1)=P(A2)=19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例5 两架飞机进行空战两架飞机进行空战,甲机首先开火甲机首先开火,击击落乙机的落乙机的概率为概率为0.2；若乙机未被击落，进行；若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的还击，击落甲机的概率为概率为0.3；若甲机又未被；若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的击落，它再次向乙机开火，并击落它的概率概率为为0.4.试求这几个回合中试求这几个回合中 条件条件概率概率条件条件概率概率1）甲机被击落的概率）甲机被击落的概率p1；2）乙机被击落的概率）乙机被击落的概率p2.03-8月月-23 例例5 两架飞机进行空战两架飞机进行空战,甲机首甲机首19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24解解 设设A=甲机首次攻击时击落乙机甲机首次攻击时击落乙机甲甲机机乙乙机机1(0.2)2(0.4)分析分析B=乙机击落甲机乙机击落甲机C=甲机第二次攻击时击落乙机甲机第二次攻击时击落乙机有有 P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(=BACPABP 1）甲机被击落的概率）甲机被击落的概率03-8月月-23解解 设设A=甲机首次攻击时击落乙机甲机首次攻击时击落乙机甲甲19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-2424.03.08.0)|()()(1=ABPAPBAPp 2）乙机被击落的概率）乙机被击落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0-+=)|()|(1)(1)(-+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+=CBAPAPCBAAPpU U#03-8月月-2324.03.08.0)|()()(1=19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例6 甲盒中有甲盒中有5个红球，个红球，6个白球；乙盒个白球；乙盒中有中有3个红球，个红球，4个白球个白球.现抛一枚均匀硬币，现抛一枚均匀硬币，若出现正面，则从甲盒中任取一球，反之从若出现正面，则从甲盒中任取一球，反之从乙盒中任取一球乙盒中任取一球.试求取出白球的概率试求取出白球的概率p.1231098765411123765403-8月月-23 例例6 甲盒中有甲盒中有5个红球，个红球，6个白球个白球19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 解解 设设 A=取出白球取出白球，B=甲盒中任取一球甲盒中任取一球.A=从甲盒中取出一白球从甲盒中取出一白球从乙盒中取出一白球从乙盒中取出一白球.于是于是有限可加有限可加 从而从而 03-8月月-23 解解 设设 A=取出白球取出白球，19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24BBA乘法公式乘法公式#概率分解概率分解:借助事件组分解样借助事件组分解样本空间本空间,进一步进一步计算概率计算概率.03-8月月-23BBA乘法公式乘法公式#概率分解概率分解:19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例7 某工厂有某工厂有4个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,其产其产品分别占总产量的品分别占总产量的15%、20%、30%和和35%，各车间的次品率依次为各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及及0.02.现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？率是多少？解解 设设 B=恰好取到次品恰好取到次品,Ai=恰好取到第恰好取到第 i 个车间的产品个车间的产品，i=1,2,3,403-8月月-23 例例7 某工厂有某工厂有4个车间生产同一个车间生产同一19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,题目中的条件概率如下题目中的条件概率如下构成一个样本空间的划分构成一个样本空间的划分,且且 P(BA1)=0.05,P(BA2)=0.04,P(BA3)=0.03,P(BA4)=0.02,由全概率公式可得由全概率公式可得0315.0)|()()(41=iiiABPAPBP#03-8月月-23P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例8 设袋中有设袋中有n个红球个红球,m个白球个白球.三人依三人依次不放回地各取出一个球次不放回地各取出一个球.求他们取得红球求他们取得红球的概率各为多少？的概率各为多少？解：设解：设Ai=第第 i 个人取到红球个人取到红球，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+-+-+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(121121203-8月月-23 例例8 设袋中有设袋中有n个红球个红球,m个白球个白球.19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24划分，由全概率公式可得划分，由全概率公式可得构成一个有限构成一个有限事件组事件组AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213AAAPAAPAAAPAAP+)|()()|()(2132121321AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP+)|()|()()|()|()(21312121312103-8月月-23划分，由全概率公式可得构成一个有限事件组划分，由全概率公式可得构成一个有限事件组AA19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24-nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+-+-+=21)1)(22211 nmnnmnnmmnmm+=-+-+-+211#03-8月月-23-nmnnmnmmnnmnnmnnmn-19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例9 设设8支枪中有支枪中有3支未经校正，支未经校正，5支经支经过校正过校正.某射手用校正过的枪射击时，中靶某射手用校正过的枪射击时，中靶概率为概率为0.8；用未经校正的枪射击时，中靶；用未经校正的枪射击时，中靶概率为概率为0.3.现求他随意取一支进行射击能中现求他随意取一支进行射击能中靶的概率靶的概率.解解 设设 A=他射击中靶他射击中靶 B=所取枪支是校正过的所取枪支是校正过的 事件事件B和和B的对立事件构成样本空间的划分的对立事件构成样本空间的划分，由全概率公式，由全概率公式03-8月月-23 例例9 设设8支枪中有支枪中有3支未经校正支未经校正19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24#续例续例9 射手随意取一支进行射击，已经中射手随意取一支进行射击，已经中靶，求所用枪支是校验过的概率靶，求所用枪支是校验过的概率.解解 所求概率为所求概率为03-8月月-23#续例续例9 射手随意取一支进行射击，射手随意取一支进行射击，19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例10 某工厂有某工厂有4个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的其产品分别占总产量的15%、20%、30%和和35%，各车间的次品率依次为，各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及及0.02。现从出厂产品中任取一件，发现从出厂产品中任取一件，发觉该产品觉该产品是次品是次品而且其标志已脱落，厂方应而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？如何处理此事较为合理？分析分析 关注次品来自哪个车间？可能性最关注次品来自哪个车间？可能性最大？大？03-8月月-23 例例10 某工厂有某工厂有4个车间生产同一种个车间生产同一种19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 事件事件B已成为已成为现实现实，需考虑是哪一个，需考虑是哪一个“原因原因”所致的可能性大小，即求条件概率所致的可能性大小，即求条件概率P(Ai B).构成一个样本空间的划分构成一个样本空间的划分.第第1车间车间 第第2车间车间 第第3车间车间 第第4车间车间设设 B=恰好取到次品恰好取到次品，Ai=恰好取到第恰好取到第 i 个车间的产品个车间的产品，i=1,2,3,403-8月月-23 事件事件B已成为现实，需考虑是哪一个已成为现实，需考虑是哪一个“原因原因”构构19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24#同理同理解解 03-8月月-23#同理解同理解 19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例11 设某医院用某一种方法诊断肝癌，由设某医院用某一种方法诊断肝癌，由于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必患有肝癌。患有肝癌。令令 A=被检查者被检查者确实确实患有肝癌患有肝癌，B=被检查者被检查者诊断诊断为患有肝癌为患有肝癌.P(A)=0.0004（患者的比例很小）患者的比例很小）;P(B|A)=0.95(对肝癌病人的诊断准确率很高对肝癌病人的诊断准确率很高);P(B|A)=0.9（对非肝癌病人的诊断准确率也对非肝癌病人的诊断准确率也很高很高),),03-8月月-23 例例11 设某医院用某一种方法诊断肝癌设某医院用某一种方法诊断肝癌19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此人现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此人确是患者的概率确是患者的概率P(A|B).解解 从题设可得从题设可得根据贝叶斯公式有根据贝叶斯公式有.9.01)|(,0004.01)(1)(-=-=-=ABPAPAP)|()()|()()|()()(+=ABPAPABPAPABPAPBAP03-8月月-23 现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-240038.0)9.01()0004.01(95.00004.095.00004.0-+=注注：诊断有病的人确实患病的可能性很小：诊断有病的人确实患病的可能性很小.#03-8月月-230038.0)9.01()0004.01(19-5月-24电子科技大学电子科技大学条件概率条件概率19-5月-24 例例13 某公司有某公司有n个部门个部门,每个部门配有每个部门配有一台计算机，各计算机之间需要传输数量一台计算机，各计算机之间需要传输数量不等的文件，不等的文件，AB 若语音信号已从若语音信号已从A 传输到传输到B，它是从哪一条它是从哪一条通路传输过来的可能性最大？通路传输过来的可能性最大？03-8月月-23 例例13 某公司有某公司有n个部门个部门,每个每个