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二项式定理二项式定理二项式展开的通项二项式展开的通项复习回顾：复习回顾：第第 项项性质复习：性质复习：性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：性质性质4 4：当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；当当n是奇数时，中间的项是奇数时，中间的项 和和 相等，相等，且同时取得最大值。且同时取得最大值。题型一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题解法解法1 1：例例1 1 求求 的展开式的展开式题型一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题例例1 1 求求 的展开式的展开式解法解法2 2：化化简简后后再再展展开开练习：若练习：若,则则 的值的值()A A 一定为奇数一定为奇数C C 一定为偶数一定为偶数B B 与与n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 与与n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:所以所以 为奇数为奇数 故选故选(A)A)思考：能用特殊值法吗思考：能用特殊值法吗?偶偶奇A熟记二项式定理熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关是解答与二项式定理有关问题的前提条件问题的前提条件,对比较复杂的二项式对比较复杂的二项式,有时有时先化简再展开更便于计算先化简再展开更便于计算.例题点评例题点评题型二利用通项求符合要求的项或项的系数例例2 2 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项解:令令原式的有理项为原式的有理项为:练习练习(0(08 8全国卷全国卷)的展开式中的展开式中 的的系数为系数为_解解:设第设第 项为所求项为所求的系数为的系数为分析：第 k+1 项的二项式系数-第 k+1 项的系数-具体数值的积。解解：求二项展开式的某一项求二项展开式的某一项,或者求满足某种条或者求满足某种条件的项件的项,或者求某种性质的项或者求某种性质的项,如含有如含有x x 项项的系数的系数,有理项有理项,常数项等常数项等,通常要用到二项通常要用到二项式的通项求解式的通项求解.注意注意(1)(1)二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别.(2)(2)表示第表示第 项项.3例题点评例题点评题型3 二项式定理的逆用例例3 3 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形题型3 二项式定理的逆用例例3 3 计算并求值计算并求值解解:(2):(2)原式原式 例题点评例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数学逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点的难点,也是重点也是重点,只有熟练掌握公式的正只有熟练掌握公式的正用用,才能掌握逆向应用和变式应用才能掌握逆向应用和变式应用题型题型4 4 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项(系数系数)例例4 4的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20练习：求练习：求 展开式中展开式中 的系数。的系数。解解:可逐项求得可逐项求得 的系数的系数的展开式通项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为的展开式通项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为所所以以 展展开开式式中中的的系数为系数为的展开式通项为的展开式通项为当当 时时系数为系数为-4-4求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进行化简,可以可以减小计算量减小计算量例题点评例题点评题型题型5 5 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项(特特 定项的系数定项的系数)例题例题5:5:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以所以 的系数为的系数为:例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算（题型题型6 6）求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时，(2-1)(2-1)n n=（2-12-1）n n=1例例6.6.的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_题型题型7 7：求奇数：求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)题型题型7 7：求奇数：求奇数(次次)项偶数项偶数(次次)项系数的和项系数的和所以（3）例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值题型题型8 8 三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107_解：解：原式化为其通项公式为其通项公式为240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.题型题型9 9 求展开式中系数最大求展开式中系数最大(小小)的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是练习：在练习：在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大最大的项的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为练习求练习求 的展开式中的展开式中数值数值最大的项最大的项解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评题型题型10 10 整除或余数问题整除或余数问题例例1010解解:前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除.只有只有 不能被不能被100100整除整除余数为余数为正整数正整数注意整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评题型题型11 11：证明恒等式：证明恒等式析析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加例题点评例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式例例1212：证明：证明：证明证明通项通项所以所以题型题型12 12 证明不等式证明不等式例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩题型题型13 13 近似计算近似计算例例13.13.某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.0010.001)解解:依题意有依题意有2(1+0.2%)2(1+0.2%)100所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项巩固练习：巩固练习：一、选择题一、选择题1(041(04福建福建)已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120,其中实数其中实数 是常数是常数,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是()()C2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于()()A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（）A0 B1 C2 D3A展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2、被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二、填空题二、填空题 1 1 求求 展开式中含展开式中含 一次幂的项。一次幂的项。4545x x3 在在 的展开式中，求的展开式中，求：（1 1）二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；（2 2）系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项；（3 3）系数最大的项系数最大的项三、计算题三、计算题总结：总结：二项式的应用：二项式的应用：题型一：利用题型一：利用 的展开式解题的展开式解题题型二：二项式系数与项的系数的问题题型二：二项式系数与项的系数的问题题型三：求展开式的某一项的问题题型三：求展开式的某一项的问题题型四：增减性与最值问题题型四：增减性与最值问题题型五：赋值法求多项式的系数和题型五：赋值法求多项式的系数和题型六：近似计算与整除的问题题型六：近似计算与整除的问题
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