高能对撞机上TeV物理研究课件

高能物理过程的精确高能物理过程的精确计算计算中国科学技术大学中国科学技术大学中国科学技术大学中国科学技术大学 张仁友张仁友张仁友张仁友2006200620062006年年年年10101010月月月月31313131日日日日 桂林桂林桂林桂林5/18/20241高能物理过程的精确计算中国科学技术大学 张仁友8/1.1.引言引言n n标准模型的检验 WW，Z Z，top top等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量n nHiggs粒子的寻找与测量 HiggsHiggs粒子是否存在粒子是否存在粒子是否存在粒子是否存在 Higgs Higgs粒子的物理特性粒子的物理特性粒子的物理特性粒子的物理特性 是否是标准模型的是否是标准模型的是否是标准模型的是否是标准模型的HiggsHiggs粒子粒子粒子粒子n n新物理的发现与精确测量 超对称，额外维，小超对称，额外维，小超对称，额外维，小超对称，额外维，小HiggsHiggs模型模型模型模型等新模型的发现；模等新模型的发现；模等新模型的发现；模等新模型的发现；模型参数测量型参数测量型参数测量型参数测量5/18/202421.引言标准模型的检验8/3/20232高能对撞机高能对撞机高能对撞机高能对撞机Tevatron(running)Tevatron(running)com:1.96 TeV PPbar lumi:2E32 cm-2s-1 CDF,D0LHC(2007)LHC(2007)com:14 TeV PP lumi:2E33 cm-2s-1 low luminisity,then 2E34 cm-2s-1 ATLAS，CMS，LHCb，AliceLC(in the future)LC(in the future)e+e-collision and gamma-gamma collision,or e-gamma collision NLC,JLC,TESLA,CLIC5/18/20243高能对撞机Tevatron(running)LHC(20n n大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；n n标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；n n张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；n n控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。多体末态多体末态!高精度！高精度！理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题:5/18/20244大量费曼图的计算；多体末态!理论上高精度计算存在的四个主要问2.2.量子场论计算的基础知识量子场论计算的基础知识可观测量可观测量O O的期望值的期望值:其中其中 为过程的矩阵元（动力学部分）为过程的矩阵元（动力学部分）为相空间体积元为相空间体积元5/18/202452.量子场论计算的基础知识8/3/20235a)费曼规则费曼规则费曼规则费曼规则:费曼图费曼图费曼图费曼图 数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式 n n图图图图形形形形与与与与幅幅幅幅度度度度的的的的转转转转换换换换过过过过程程程程是是是是按按按按照照照照费费费费曼曼曼曼图图图图图图图图形形形形技技技技术术术术中中中中所所所所对对对对应应应应的的的的规则进行的规则进行的规则进行的规则进行的;n n外外外外线线线线对对对对应应应应自自自自由由由由波波波波函函函函数数数数，内内内内线线线线对对对对应应应应着着着着传传传传播播播播函函函函数数数数，顶顶顶顶点点点点对对对对应应应应相相相相互作用顶点。互作用顶点。互作用顶点。互作用顶点。例例例例:费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则：5/18/20246a)费曼规则:费曼图 数学表达式 例：例：例：例：矩阵元矩阵元矩阵元矩阵元其中其中其中其中5/18/20247例：8/3/20237二阶张量圈图积分函数部分：二阶张量圈图积分函数部分：矩阵元中剩余部分：矩阵元中剩余部分：标量积分函数：标量积分函数：5/18/20248二阶张量圈图积分函数部分：8/3/20238b b)IRIR和和和和UVUV发散的正规化发散的正规化发散的正规化发散的正规化 k k 0 0,IRIR发散发散发散发散!k k inf,inf,UVUV发散发散发散发散!维数正规化方案维数正规化方案维数正规化方案维数正规化方案（n=4-2 n=4-2 ）UVUV发散的发散的发散的发散的l l l l圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达 阶阶阶阶极点项。极点项。极点项。极点项。IRIR发散的发散的发散的发散的l l l l圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到 阶的极点项。阶的极点项。阶的极点项。阶的极点项。5/18/20249b)IR和UV发散的正规化8/3/20239c)c)NN条外线过程的条外线过程的条外线过程的条外线过程的NLONLO计算计算计算计算n n含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的N+1N+1条外线树图的对应幅度条外线树图的对应幅度条外线树图的对应幅度条外线树图的对应幅度产生；产生；产生；产生；n n实实实实(胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克)辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；n nPDFPDF抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散(共线发散共线发散共线发散共线发散)的分离；的分离；的分离；的分离；n nNN条外线单圈图条外线单圈图条外线单圈图条外线单圈图(包括抵消项图包括抵消项图包括抵消项图包括抵消项图)的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；n n计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；n n将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；n n有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。5/18/202410c)N条外线过程的NLO计算含胶子、光子或轻夸克辐射的N3.3.单圈标量积分函数计算单圈标量积分函数计算 n n（=4-2 =4-2 ）维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函数与外部张量分函数与外部张量分函数与外部张量分函数与外部张量S S的的的的乘积求和乘积求和乘积求和乘积求和，即即即即其中其中S S只与外线运动学相关只与外线运动学相关5/18/2024113.单圈标量积分函数计算 n（=4-2 ）维下费曼图I I的一般形式为：的一般形式为：的一般形式为：的一般形式为：对应于对称张量组合例如：对应于对称张量组合例如：对应于对称张量组合例如：对应于对称张量组合例如：标量系数可以通过标量系数可以通过标量系数可以通过标量系数可以通过Passarino-VeltmanPassarino-Veltman方法求方法求方法求方法求出它们由标量积分函数表示出出它们由标量积分函数表示出出它们由标量积分函数表示出出它们由标量积分函数表示出上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。5/18/202412I的一般形式为：8/3/202312（1 1 1 1）标量）标量）标量）标量A,B,C,DA,B,C,D圈积分函数定义圈积分函数定义圈积分函数定义圈积分函数定义;其中其中其中其中:5/18/202413（1）标量A,B,C,D圈积分函数定义;8/3/202313（2)2)2)2)基本标量积分函数计算基本标量积分函数计算基本标量积分函数计算基本标量积分函数计算:以以以以 为例来说明标量函数的为例来说明标量函数的为例来说明标量函数的为例来说明标量函数的计算。计算。计算。计算。1 1）Feynman Feynman 或或或或 Schwiger Schwiger 参数化参数化参数化参数化.Feynman Feynman参数化参数化参数化参数化 Schwiger Schwiger参数化参数化参数化参数化2 2）积分变量平移积分变量平移积分变量平移积分变量平移.定义定义定义定义:5/18/202414（2)基本标量积分函数计算:以 3 3）WickWick旋转旋转旋转旋转.4 4）D D维欧氏空间的球坐标变换维欧氏空间的球坐标变换维欧氏空间的球坐标变换维欧氏空间的球坐标变换.5/18/2024158/3/2023155 5）角向及径向积分角向及径向积分角向及径向积分角向及径向积分.作变换作变换作变换作变换 ：并对径向作积分：并对径向作积分：并对径向作积分：并对径向作积分：有：有：有：有：角向积分：角向积分：5/18/2024165）角向及径向积分.角向积分：8/3/202316（3 3 3 3）A,BA,B标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：G.t Hooft and M.Veltman,NLB153,365(1979)G.t Hooft and M.Veltman,NLB153,365(1979)5/18/202417（3）A,B标量积分函数的解析结果：G.对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：(A.Denner and S.Dittmaier,hep-ph/0212259)(A.Denner and S.Dittmaier,hep-ph/0212259)(4)(4)(4)(4)五点标量函数计算五点标量函数计算五点标量函数计算五点标量函数计算:5/18/202418对标量五点积分函数：(A.Denner and S.Di(5)(5)(5)(5)六点标量积分函数计算六点标量积分函数计算六点标量积分函数计算六点标量积分函数计算:Guo Guo 方法：方法：方法：方法：定义定义5点和点和6点标量积分函数：点标量积分函数：并用并用 表示表示 消去传播子消去传播子 后得到的后得到的5点函数。点函数。5/18/202419(5)六点标量积分函数计算:Guo 方法：定义5点和6点标定选择系数，使得：定选择系数，使得：取：取：5/18/202420定选择系数，使得：8/3/202320得到：得到：其中，其中，为为GramGram行列式。行列式。BinothBinoth的方法：的方法：的方法：的方法：其中：其中：其中：其中：5/18/202421得到：Binoth的方法：其中：8/3/2023215/18/2024228/3/2023224.4.张量积分函数计算张量积分函数计算(1)Passarino-Veltman(1)Passarino-Veltman 方法：方法：方法：方法：例如，对于例如，对于3点点2阶张量积分：阶张量积分：N点点p阶张量积分：阶张量积分：利用下面的性质降阶：利用下面的性质降阶：5/18/2024234.张量积分函数计算(1)Passarino-Veltma其中：其中：三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的GramGram矩阵分别为：矩阵分别为：矩阵分别为：矩阵分别为：将将将将p p阶的阶的阶的阶的NN点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的NN点和点和点和点和N-1,N-2,N-1,N-2,的的的的 积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过 程中会出现程中会出现程中会出现程中会出现GramGram矩阵求逆。矩阵求逆。矩阵求逆。矩阵求逆。递归地递归地递归地递归地采用采用采用采用PVPV方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标标标标 量积分函数。量积分函数。量积分函数。量积分函数。5/18/202424其中：三、四、五点张量积分函数推导中出现的Gram矩阵分别为小小 结：结：n n该方法原则上适用于该方法原则上适用于该方法原则上适用于该方法原则上适用于所有所有所有所有1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，4 4 4 4，5 5 5 5点张量多点积分函点张量多点积分函点张量多点积分函点张量多点积分函数的计算数的计算数的计算数的计算。n n这种方法会出现这种方法会出现这种方法会出现这种方法会出现 Gram Gram 矩阵矩阵矩阵矩阵求逆，当求逆，当求逆，当求逆，当GramGram行列式值很小时行列式值很小时行列式值很小时行列式值很小时会产生会产生会产生会产生积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性。n n四点以下四点以下四点以下四点以下（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中GramGram行列式值很行列式值很行列式值很行列式值很小的区域仅仅出现在小的区域仅仅出现在小的区域仅仅出现在小的区域仅仅出现在相空间的边缘附近相空间的边缘附近相空间的边缘附近相空间的边缘附近（如前后向区，阈值（如前后向区，阈值（如前后向区，阈值（如前后向区，阈值附近）。附近）。附近）。附近）。n n5 5 5 5点点点点积分函数数值计算中积分函数数值计算中积分函数数值计算中积分函数数值计算中GramGram行列式值很小的区域可能出现行列式值很小的区域可能出现行列式值很小的区域可能出现行列式值很小的区域可能出现在在在在相空间中间相空间中间相空间中间相空间中间。5/18/202425小 结：8/3/202325(2)Denner-Dittmaier(2)Denner-Dittmaier 方法方法方法方法:（hep-ph/0212259hep-ph/0212259 ）5/18/202426(2)Denner-Dittmaier 方法:（hep-矢量积分矢量积分矢量积分矢量积分：2 2阶张量积分阶张量积分阶张量积分阶张量积分：5/18/202427矢量积分：2阶张量积分：8/3/2023273 3阶张量积分阶张量积分阶张量积分阶张量积分：5/18/2024283阶张量积分：8/3/202328该方法该方法该方法该方法避免出现避免出现避免出现避免出现GramGram矩阵求逆矩阵求逆矩阵求逆矩阵求逆的计算的计算的计算的计算。5/18/202429该方法避免出现Gram矩阵求逆的计算。8/3/2023295.5.六点六点张量积分的计算张量积分的计算（1 1）Guo Guo 方法：方法：方法：方法：利用上式将利用上式将利用上式将利用上式将6 6点张量积分化为点张量积分化为点张量积分化为点张量积分化为5 5点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的5 5点张量积点张量积点张量积点张量积由由由由Denner-DittmaierDenner-Dittmaier方法化为方法化为方法化为方法化为5 5点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算。5/18/2024305.六点张量积分的计算（1）Guo 方法：利用上式将6点张5/18/2024318/3/202331(2)(2)(2)(2)Denner-Dittmaier Denner-Dittmaier 方法：方法：方法：方法：(hep-ph/0509141)(hep-ph/0509141)6 6点张量积分点张量积分点张量积分点张量积分:5/18/202432(2)Denner-Dittmaier 方法：(hep张量积分的系数为张量积分的系数为张量积分的系数为张量积分的系数为:5/18/202433张量积分的系数为:8/3/2023336.6.IR发散的发散的分离分离（Nucl.Phys.B675(2003)Nucl.Phys.B675(2003)447447）定义变量：定义变量：n n一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，设外线动量设外线动量 为类光四矢量：为类光四矢量：发散发生在发散发生在 此时传播子此时传播子n n的动量的动量 与外线的动量与外线的动量 在共线在共线 位形上，因此这种发散称为位形上，因此这种发散称为共线发散共线发散。5/18/2024346.IR发散的分离（Nucl.Phys.B675(20n n两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子，两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子，此时发散发生在此时发散发生在 ，传播子，传播子n n的动的动量量 ，因，因 此这种发散称为此这种发散称为软发散软发散。5/18/202435两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子，8/3/202335圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离:n n为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为分为分为分为有限部分有限部分有限部分有限部分和和和和发散部分发散部分发散部分发散部分。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准的程序包我们可以用标准的程序包我们可以用标准的程序包我们可以用标准的程序包FFFF在在在在质量正规化方案质量正规化方案质量正规化方案质量正规化方案下计算。而发散部分可下计算。而发散部分可下计算。而发散部分可下计算。而发散部分可以用相应的以用相应的以用相应的以用相应的3 3 3 3点积分表示。点积分表示。点积分表示。点积分表示。发散部分的计算：发散部分的计算：发散部分的计算：发散部分的计算：其中对于共线发散：其中对于共线发散：其中对于共线发散：其中对于共线发散：5/18/202436圈积分中的红外发散的分离:为了得到维数正规化方案下的标量圈积 对于软发散：对于软发散：对于软发散：对于软发散：n n例例例例:五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算5/18/202437 对于软发散：8/3/202337 根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的3 3 3 3 点函数的系数点函数的系数点函数的系数点函数的系数 ：5/18/2024388/3/202338最后得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：5/18/202439最后得到该五点函数的极点项表达式为：8/3/202339 三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：其中其中其中其中:5/18/202440 三点标量圈积分的软发散部分：例：三点标量 三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散部分部分部分部分:其中其中其中其中:5/18/202441 三点标量圈积分的共线和软发散部分:其中:8/The End5/18/202442The End8/3/202342