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第2课时 组合的综合应用第2课时 组合的综合应用1.掌握组合的有关性质.2.能解决有关组合的简单实际问题.3.能解决无限制条件的组合问题.1.掌握组合的有关性质.1.本节重点是解决组合问题的常见的解题策略.2.本节难点是解决与组合问题有关的实际问题.1.本节重点是解决组合问题的常见的解题策略.1.排列与组合的联系和区别排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是_；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是_.简而言之，_与顺序有关，_与顺序无关.排列问题组合问题排列问题组合问题1.排列与组合的联系和区别排列问题组合问题排列问题组合问题2.解排列组合综合题的思路解决该问题的一般思路是先选后排，先_后_，解题时应灵活运用_原理和_原理.分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类.组合排列分类加法计数分步乘法计数2.解排列组合综合题的思路组合排列分类加法计数分步乘法计数1.把6个不同的苹果，按1个、2个、3个的数量分给甲、乙、丙三个小朋友.这个问题是排列问题，还是组合问题？提示：因为按1个、2个、3个分组，结果已确定，分给甲、乙、丙三个人与顺序有关，因此是排列问题.1.把6个不同的苹果，按1个、2个、3个的数量分给甲、乙、丙2.已知a,b,c,d这四个元素，每次取出两个元素的组合有_种.【解析】有 种组合方式，如图所示：答案：62.已知a,b,c,d这四个元素，每次取出两个元素的组合有_3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有_种.【解析】由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为 (种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有20种.答案：203.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿4.从5名学生中选出2名学生到甲、乙两地(每地一名)参加社会实践活动，不同的选法有_种.【解析】先选后排，(种).答案：204.从5名学生中选出2名学生到甲、乙两地(每地一名)参加社会1.解组合应用题的总体思路(1)考察顺序区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序问题属于组合问题，有序问题属于排列问题.(2)整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集.计算结果时，使用分类加法计数原理.1.解组合应用题的总体思路(3)局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步乘法计数原理.(4)辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好.(3)局部分步2.组合常见问题及对策(1)无条件限制的组合应用题.其解题步骤为判断；转化；求值；作答.2.组合常见问题及对策(2)有限制条件的组合应用题“含”与“不含”问题这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.(2)有限制条件的组合应用题几何中的计算问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.分组、分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.几何中的计算问题 简单的组合问题【技法点拨】解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可.简单的组合问题(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分【典例训练】1.某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有_种.【典例训练】2.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法?(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加；(6)甲、乙、丙三人至多2人参加.2.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选【解析】1.需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有 种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有 种选法.根据分步乘法计数原理，此人有 种不同的投资方式.答案：100【解析】1.需分两步：2.(1)种不同的选法；(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有 种不同的选法；(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有 种不同的选法；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有 种选法，再从另外的9人中选4人，有 种选法.共有 种不同的选法；2.(1)种不同的选法；(5)方法一(直接法)：可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有 种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有 种；第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有 种.共有 种不同的选法.方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有 种，甲、乙、丙三人都不能参加的有 种，所以，共有 种不同的选法.(5)方法一(直接法)：可分为三类：(6)方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：第一类：甲、乙、丙都不参加，共有 种；第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有 种；第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有 种.共有 种不同的选法.方法二(间接法)：12人中任意选5人，共有 种，甲、乙、丙三人全参加的有 种，所以，共有 种不同的选法.(6)方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为【归纳】解决形如题2的问题的关注点.提示：(1)解决简单的组合问题时，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题，运用间接法解会简化思维过程，如题2中的(5)(6).(2)对题目中的元素分类后，被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这些都是解题的关键.【归纳】解决形如题2的问题的关注点.组合应用题的分组问题【技法点拨】1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；(2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n!；(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.2.分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.组合应用题的分组问题【典例训练】1.(2012新课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()(A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种2.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有_种.【典例训练】3.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.3.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：【解析】1.选A.将4名学生均分为2个小组共有 种分法；将2个小组的同学分给两名教师带有 种分法，最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有 种分法.故不同的安排方案共有322=12(种).【解析】1.选A.将4名学生均分为2个小组共有 2.先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有 (种)分法.再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可以承担乙任务又可以承担丙任务，所以共有 (种)不同的选法.答案：2 5202.先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，3.(1)根据分步乘法计数原理得有 种.(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法.根据分步乘法计数原理可得：所以 因此分为三份，每份两本一共有15种方法.3.(1)根据分步乘法计数原理得有 种.(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法.(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法.(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 种方【归纳】解答题3(2)和(4)易忽视的问题及解决此类问题的关键点.提示：(1)解答题3(2)易忽视除以 ，解答题3(4)易忽视乘以 .(2)解决此类问题时，要分清问题是“无对象的均匀分配”还是“无对象的非均匀分配”.对于“无对象的均匀分配”问题(如第(2)小题)只需按“有对象的均匀分配”问题列式后除以组数的全排列数；对于“无对象的非均匀分配”问题(如第(4)小题)只需先分组后排列即可.【归纳】解答题3(2)和(4)易忽视的问题及解决此类问题的关 有限制条件的组合问题【技法点拨】解答有限制条件的组合问题的基本方法直接法间接法优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取.正面情况分类较多时，从反面入手，”正难则反”.有限制条件的组合问题直接法【典例训练】1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()(A)70种 (B)80种 (C)100种 (D)140种2.(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()(A)232 (B)252 (C)472 (D)484【典例训练】3.假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种.(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品.3.假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下【解析】1.选A.方法一(直接法)：一男两女,有 (种),两男一女,有 (种),共计70种.方法二(间接法)：任意选取 种,其中都是男医生的有 种,都是女医生的有 种,于是符合条件的有84-10-470(种).【解析】1.选A.方法一(直接法)：一男两女,有 2.选C.从16张不同的卡片中任取3张共有 种，其中有两张红色的有 其中三张卡片颜色相同的有 所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为 种.2.选C.从16张不同的卡片中任取3张共有 3.(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有 =64 446 024种.(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有 种.3.(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分，有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有 种.第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有 种.按分类加法计数原理有 种.(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分，有二类：【思考】解决题3中的(3)应注意的问题是什么？提示：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第(3)题采用先从3件次品抽取2件(以保证至少有2件是次品)，再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是 【思考】解决题3中的(3)应注意的问题是什么？种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A，B，C，第一步先抽A，B，第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A，C(或B，C)，第二步再抽B(或A)和其余2件正品是同一种抽法，但在算式 中算作3种不同抽法.高中数学复习选修2-3-1 与几何图形有关的组合问题【技法点拨】解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.与几何图形有关的组合问题(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只【典例训练】1.(2011湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：【典例训练】由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种.(结果用数值表示)2.以正方体的顶点为顶点，(1)可以确定多少个四面体？(2)可以确定多少个四棱锥？由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_【解析】1.(1)以黑色正方形的个数分类，若有3个黑色正方形，则有 种；若有2个黑色正方形，则有 (种)；若有1个黑色正方形，则有 (种)；若无黑色正方形，则有1种.所以共4106121(种).【解析】1.(1)以黑色正方形的个数分类，(2)方法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻.只有2个黑色正方形相邻，有 (种)；只有3个黑色正方形相邻，有 (种)；只有4个黑色正方形相邻，有 (种)；只有5个黑色正方形相邻，有 (种)；有6个黑色正方形相邻，有1种.共231252143(种).(2)方法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相方法二：所有着色情况共有2664(种)，又由上知互不相邻的着色方案有21种.故至少有两个相邻的着色方案共有64-2143(种).答案：21 43方法二：所有着色情况共有2664(种)，又由上知互不相邻的2.(1)正方体8个顶点可构成 个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面的四个顶点和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有 (个).(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这些四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥 (个).2.(1)正方体8个顶点可构成 个四点组，其中共面的四点组【想一想】处理几何中的计数问题的关键点.提示：处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如题2中的(2)的解决，要明白不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点可以确定一个四面体.解题时可借助图形思考，要善于利用几何的有关性质或特征求解，避免重复或遗漏.【想一想】处理几何中的计数问题的关键点.【备选类型】相同元素的分配问题【技法点拨】相同元素分配问题的建模思想排列组合问题形式多样、思维跨度大、逻辑性强、解法灵活多变，故有人称之为“智慧者的体操”、“聪明人的游戏”，也是衡量学习数学的天赋和能力的重要标准之一.学好排列组合的关键是学会建模，其中隔板法就是一种很好的解决问题的办法.【备选类型】相同元素的分配问题(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有 种方法.可描述为n-1个空中插入m-1块板.(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作【典例训练】1.要从7个学校中选出10人参加数学竞赛，每校至少1人，这10个名额的分配方法有()(A)36种 (B)48种 (C)84种 (D)96种2.已知方程x+y+z+w=100，则这个方程的正整数解的组数有_.【典例训练】3.6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.3.6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列【解析】1.选C.因为名额之间没有差别，可将10个名额用符号“”表示，排成一排，即，然后用6块挡板插入“”之间，将其分成7部分，那么挡板的一种插法即对应着名额的一种分配方法，所以不同的名额分法为 (种).【解析】1.选C.因为名额之间没有差别，可将10个名额用符号2.100为100个1的和，我们设想把这100个1一个接一个地排起来，然后用“+”号把100个1隔成4组，显然，“+”号只能加在这100个1之间的99个位置，而且相邻两个之间至多只能加1个加号，这样每次划分后，被分成的4组中分别包含1的个数，即为方程相应的一组解，故可知方程的正整数解有 (组).答案：156 8492.100为100个1的和，我们设想把这100个1一个接一个3.(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有 (种).(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 种插法，故共有 (种).3.(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有 种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.其一：这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有 种插法.其二：将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有种插法.故共有 (种).(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.【易错误区】忽视分配问题中的相同元素与不同元素【典例】(2011大纲版全国高考)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【易错误区】忽视分配问题中的相同元素与不同元素【解题指导】【解题指导】【解析】选B.从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种，从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种，将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本，由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有 (种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有 (种)赠送方法.因此共有4610(种)赠送方法.【解析】选B.从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(注：此处的见解析过程)常常见见错错误误 选选A A或或C C 在解答的过程中，若在解答的过程中，若处的意义理解错处的意义理解错误，有同学误将其看作分组问题，将其写误，有同学误将其看作分组问题，将其写成成 是解题过程中常见的错误是解题过程中常见的错误.选选D D 在解答过程中，在解答过程中，处的意义理解错误，有处的意义理解错误，有同学误将其看作分组问题，将其写成同学误将其看作分组问题，将其写成在解答过程中易忽略书是相同的，而人是在解答过程中易忽略书是相同的，而人是不同的，从而造成解题失误不同的，从而造成解题失误.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示解解题题启启示示 1.1.解题过程中要深刻理解题意，特别注意元素是否解题过程中要深刻理解题意，特别注意元素是否是重复元素是重复元素.2.2.若元素是重复元素，则应用两个原理解题，而不若元素是重复元素，则应用两个原理解题，而不能单纯应用排列知识解题能单纯应用排列知识解题.解1.解题过程中要深刻理解题意，特别注意元素是否是重复元素.【即时训练】(2011北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个.(用数字作答)【解析】方法一：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成 (个)四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成 (个)四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成 (个)四位数.综上所述，共可组成4+6+4=14(个)这样的四位数.【即时训练】(2011北京高考)用数字2,3组成四位数，且方法二：用数字2，3可以组成24=16(个)四位数.其中，只由2可构成1个四位数，只由3可构成1个四位数，故数字2，3至少都出现一次的四位数共有16-1-1=14(个).答案：14方法二：用数字2，3可以组成24=16(个)四位数.其中，只1.本不同的书全部分给个学生，每个学生至少本，不同的分法有()(A)480种 (B)240种 (C)120种 (D)96种【解析】选B.先把5本书中两本“捆起来”看成一本，再分成4份即可，所以分法数为 (种).1.本不同的书全部分给个学生，每个学生至少本，不同2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()(A)6种 (B)12种(C)24种 (D)30种【解析】选C.所有两人各选修2门的种数是 ，两人所选两门都相同和都不同的种数均为 故只恰好有1门相同的选法有 (种).2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰3.把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有_种.【解析】(种).答案：563.把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验4.2012年3月10日是世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有_种.(用数字作答)【解析】分配方案有 (种).答案：904.2012年3月10日是世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿5.某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工.现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？【解析】设A，B表示2名老师傅，下面对A，B的选派情况进行分类：(1)A，B都没选上的方法有 (种)；(2)A，B都选上且都当钳工的方法有 (种)；(3)A，B都选上且都当车工的方法有 (种)；5.某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，(4)A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有 (种)；(5)A，B有一人选上且当钳工的方法有 (种)；(6)A，B有一人选上且当车工的方法有 (种).故共有5+10+30+80+20+40=185(种)选派方法.(4)A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有 高中数学复习选修2-3-1高中数学复习选修2-3-1
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