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4.7 导数在经济中的应用导数在经济中的应用一一.边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析二二.函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用5/18/2024作者：郭健4.7 导数在经济中的应用一.边际分析与弹性分析8/3/14.7 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数下面介绍导数(或或微分微分)在经济中的一些简单的应用在经济中的一些简单的应用.边际和弹性是经济学中的两个重要概念边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法经济变量的边际与弹性的方法,称之为称之为边际分析边际分析与与弹性分弹性分析析.一一.边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析5/18/2024作者：郭健4.7 导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、21.1.边际函数边际函数 定义定义1 经济学中经济学中,把函数把函数(x)的导函数的导函数 称为称为(x)的的边际函数边际函数.在点在点x0的值的值 称为称为(x)在在 x0 处的边际值处的边际值(或变化率、变化速度等或变化率、变化速度等).5/18/2024作者：郭健1.边际函数 定义1 经济学中,把函数(x)的3 在经济学中在经济学中,通常取通常取x=1,就认为就认为x达到很小达到很小(再小再小无意义无意义).).故有故有 实际问题中实际问题中,略去略去“近似近似”二字二字,就得就得(x)在在 x0 处的处的边际值边际值 .经济意义经济意义:即当自变量即当自变量 x 在在 x0 的基础上再增加一个单的基础上再增加一个单位时位时,函数函数 f(x)的改变量的改变量.例例1 某机械厂某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每生产某种机器配件的最大生产能力为每日日100件件,假设日产品的总成本假设日产品的总成本 C(元元)与日产量与日产量 x(件件)的的函数为函数为5/18/2024作者：郭健 在经济学中,通常取x=1,就认为x达到很小4求求:(1)日产量日产量75件时的总成本和平均成本件时的总成本和平均成本;解解 (1)日产量日产量75件时的总成本和平均成本件时的总成本和平均成本(2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时件时,总成本的平均改变总成本的平均改变量量C(75)/75=106.08(元元/件件)(2)当日产量由当日产量由75件提高到件提高到90件时件时,总成本的平均改变总成本的平均改变量量;(3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本.C(75)=7956.25(元元)5/18/2024作者：郭健求:(1)日产量75件时的总成本和平均成本;解 (1)5(3)当日产量为当日产量为75件时的边际成本件时的边际成本 注注 当销售量为当销售量为x,总利润为总利润为L=L(x)时时,称称 为销售量为销售量为为x时的边际利润时的边际利润,它近似等于销售量为它近似等于销售量为 x 时再多销售一时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润个单位产品所增加或减少的利润.例例2 某糕点加工厂生产某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收类糕点的总成本函数和总收入函数分别是入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是求边际利润函数和当日产量分别是200公斤公斤,250公斤公斤和和300公斤时的边际利润公斤时的边际利润.并说明其经济意义并说明其经济意义.5/18/2024作者：郭健(3)当日产量为75件时的边际成本 注 当销6解解 (1)总利润函数为总利润函数为L(x)=R(x)C(x)边际利润函数为边际利润函数为 (2)当日产量分别是当日产量分别是200公斤、公斤、250公斤和公斤和300公斤时的公斤时的 其经济意义其经济意义:当日产量为当日产量为 200公斤时公斤时,再增加再增加1公斤公斤,则总利润可增加则总利润可增加1元元.当日产量为当日产量为 250公斤时公斤时,再增加再增加1 边际利润分别是边际利润分别是公斤公斤,则总利润无增加则总利润无增加.当日产量为当日产量为300公斤时公斤时,再增再增加加1公斤公斤,则反而亏损则反而亏损1元元.5/18/2024作者：郭健解 (1)总利润函数为L(x)=R(x)C(x)7结论结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的2.弹性弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时化时,所作出反映的强弱程度所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,反而使企业无利可图反而使企业无利可图.零点时零点时 5/18/2024作者：郭健结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的2.弹性 8 定义定义2 若函数若函数 y=(x)在点在点 x0 0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,分别为自变量分别为自变量 x 与与 (x)在点在点 x0 处的处的相对增量相对增量.则称则称 x 和和 y 分别是分别是 x 和和 y 在点在点x0 处的处的绝对绝对增增量量,并称并称定义定义3 设设 y=(x)当当时时,极限极限则称极限值为函数则称极限值为函数 f(x)在在 x0 点处的点处的弹性弹性,记为记为5/18/2024作者：郭健 定义2 若函数 y=(x)在点 x0 0 9 由弹性定义可知由弹性定义可知(1)(1)若若 y=(x)在点在点 x0 处可导处可导.则它在则它在 x0 处的弹性为处的弹性为 (3)弹性是一个无量纲的数值弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关这一数值与计量单位无关.的经济意义是：在的经济意义是：在x0 处处,当当 x 发生发生1的改变的改变,(4)弹性函数为弹性函数为则则(x)就会产生就会产生的改变的改变.时，时，x 与与y 的的变化方向相同变化方向相同(相反相反).5/18/2024作者：郭健 由弹性定义可知(1)若 y=(x)在点 x0 10例例3 当当a、b、k为常数时为常数时,求下列函数的弹性函数及在求下列函数的弹性函数及在点点 x=1处的点弹性处的点弹性,并阐述其经济意义并阐述其经济意义.(1)的经济意义是的经济意义是:函数函数(x)在在 x=1处处,当当b 0时时,x 增加增加(或减少或减少)1%,当当b 0)或降价或降价(p 0)对总收益的影响对总收益的影响.下面利用需求弹性的下面利用需求弹性的概念概念,可以得出价格变动如何影响销售收入的结论可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.5/18/2024作者：郭健 在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(p 13 (1)若若 (称为高弹性称为高弹性)时时,则则 R与与 p 异号异号.此此时时,降价降价(p 0)将使收益减少将使收益减少;(2)若若 (称为低弹性称为低弹性)时时,则则 R 与与 p 同号同号.此时此时,降价降价(p 0)将使收将使收益增加益增加;从而有结论从而有结论:(3)若若 (称为单位弹性称为单位弹性)时时,则则 .此此时时,无论是无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响降价还是提价均对收益没有明显的影响.5/18/2024作者：郭健 (1)若 (称为高弹性)时,则14 由此对例由此对例4而言而言:当当 p=4=4时时,(,(低低弹性弹性),),当当 p=4.35 时时,(单位弹性单位弹性),此时此时,降价降价、提价提价对收益没有明显的影响对收益没有明显的影响;当当 p=5 =5 时时,(高弹性高弹性),),此时此时降价使收益降价使收益增加增加;提价使收益减少提价使收益减少.此时降价使收益减少此时降价使收益减少;提价使收益增加提价使收益增加;5/18/2024作者：郭健 由此对例4而言:当 p=4时,15 例例5 某商品的需求量为某商品的需求量为2660单位单位,需求价格弹性为需求价格弹性为1.4.若该商品价格计划上涨若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变假设其他条件不变),),问该商问该商品的需求量会降低多少品的需求量会降低多少?解解 设该商品的需求量为设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为在价格上涨时的改变量为 课后考虑课后考虑:用类似方法用类似方法,对供给函数、成本函数等对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析常用经济函数进行弹性分析,以预测市场的饱和状态以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等及商品的价格变动等.且且 Q=Q 26605/18/2024作者：郭健 例5 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为16二二.函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用 在经济管理中在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值下面举例说明函数最值在经济上的应用在经济上的应用.1.平均成本最小平均成本最小例例6 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 x (件件)时时,生产成本函数生产成本函数(元元)为为 求该厂生产多少件产品时求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小平均成本达到最小?并求出并求出其最小平均成本和相应的边际成本其最小平均成本和相应的边际成本.5/18/2024作者：郭健二.函数最值在经济中的应用 在经济管理中,需要寻17解解且驻点唯一且驻点唯一.唯一的极小值点唯一的极小值点.平均成本达到最小，且最小平均成本为平均成本达到最小，且最小平均成本为.5/18/2024作者：郭健解且驻点唯一.唯一的极小值点.平均成本达到最小，且最小平均成182.最大利润最大利润 设总成本函数为设总成本函数为C(x),总收益函数为总收益函数为R(x),其中其中 x 为为产量产量,则在假设产量和销量一致的情况下则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为总利润函数为L(x)=R(x)C(x)而边际成本函数为而边际成本函数为时时,相应的边际成本为相应的边际成本为显然最小平均成本等于其相应的边际成本显然最小平均成本等于其相应的边际成本.5/18/2024作者：郭健2.最大利润 设总成本函数为C(x),总收益函数19 假设产量为假设产量为 x0 时时,利润达到最大利润达到最大,则由极值的必则由极值的必要条件和极值的第二充分条件要条件和极值的第二充分条件,L(x0)必定满足必定满足:可见可见,当产量水平当产量水平 x=x0 使得边际收益等于边际成使得边际收益等于边际成本时本时,可获得最大利润可获得最大利润.5/18/2024作者：郭健 假设产量为 x0 时,利润达到最大,则由极值20 例例7 某商家销售某种商品的价格满足关系某商家销售某种商品的价格满足关系p=7 0.2x(万元万元/吨吨),),且且 x 为销售量为销售量(单位单位:吨吨)、商品的成本函数商品的成本函数为为 (1)若每销售一吨商品若每销售一吨商品,政府要征税政府要征税 t(万元万元),),求该商家求该商家获最大利润时的销售量获最大利润时的销售量;(2)t 为何值时为何值时,政府税收总额最大政府税收总额最大.解解 (1)当该商品的销售量为当该商品的销售量为x时时,商品销售总收入为商品销售总收入为设政府征的总税额为设政府征的总税额为T,则有则有T =t x,且利润函数为且利润函数为C(x)=3x+1(万元万元)5/18/2024作者：郭健 例7 某商家销售某种商品的价格满足关系p=721(2)由由(1)的结果知的结果知,政府税收总额为政府税收总额为显然当显然当 t=2时时,政府税收总额最大政府税收总额最大.但须指出的是但须指出的是:为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使就应使 x=5/2(4 t)0 即即 t 满足限制满足限制0 t 4.显然显然 t=2 并未超出并未超出t 的限制范围的限制范围.是使商家获得最大利润的销售量是使商家获得最大利润的销售量.且驻点唯一且驻点唯一.得驻点得驻点5/18/2024作者：郭健(2)由(1)的结果知,政府税收总额为显然当 t=222 例例8 某家银行某家银行,准备新设某种定期存款业务准备新设某种定期存款业务.假设存假设存款量与利率成正比款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为经预测贷款投资的收益率为16%,那么存款利息定为多少时那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益才能收到最大的贷款纯收益?3.最佳存款利息最佳存款利息解解 设存款利率为设存款利率为 x,存款总额为存款总额为M,M=k x (k 是正常数是正常数)则由题意则由题意 M 与与 x 成正比成正比,得得5/18/2024作者：郭健 例8 某家银行,准备新设某种定期存款业务.23 若贷款总额为若贷款总额为M M,则银行的贷款收益为则银行的贷款收益为故当存款利率为故当存款利率为8%时时,可创最高投资纯收益可创最高投资纯收益.而这笔贷款而这笔贷款 M 要付给存户的利息为要付给存户的利息为 从而银行的投资纯收益为从而银行的投资纯收益为0.16M =0.16k x 5/18/2024作者：郭健 若贷款总额为M,则银行的贷款收益为故当存款利率为824解解 设每年的库存费和定货的手续费为设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批进货的批为为x,则批量为则批量为 个个,且且4.最佳批量和批数最佳批量和批数 例例9 某厂年需某种零件某厂年需某种零件 8000个个,现分期分批外购现分期分批外购,然然后均匀投入使用后均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半此时平均库存量为批量的一半).).若每若每次定货的手续费为次定货的手续费为40元元,每个零件的库存费为每个零件的库存费为4元元.试试求最经济的定货批量和进货批数求最经济的定货批量和进货批数.驻点驻点 x=205/18/2024作者：郭健解 设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批4.最25 因而当进货的批数为因而当进货的批数为 20 批批,即定货批量为即定货批量为 400 个个时时,每年的库存费和定货的手续费最少每年的库存费和定货的手续费最少最经济最经济.企业在正常生产的经营活动中企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的库存是必要的,但但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此因此确定最适当的库存量是很重要的确定最适当的库存量是很重要的.故驻点为极小值点故驻点为极小值点.5/18/2024作者：郭健 因而当进货的批数为 20 批,即定货批量为 4026 欲求欲求 的现在值的现在值 的问题称为贴现的问题称为贴现(率率)问题问题.则则一年一年结算结算m次次,t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为5.最优决策时间最优决策时间 准备知识准备知识:设设A0 为初始本金为初始本金(称现值称现值),),r为年利率为年利率,按按连续复利计算连续复利计算,t 年末的本利和记作年末的本利和记作At(称总收入称总收入).).则则当年结算当年结算m次时次时,就有就有从而有连续复利公式从而有连续复利公式与此相反与此相反,经济学中把已知未来值为经济学中把已知未来值为 ,贴现率也为贴现率也为r.按连续复利计算按连续复利计算,得得 t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为(也称为贴现公式也称为贴现公式)5/18/2024作者：郭健 欲求 的现在值 的问题称为贴现(率)问题.27 例例10 某酒厂有一批新酿的好酒某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在如果现在(假定假定t=0)=0)就就出售出售,售价为售价为 (元元).).如果窖藏起来待日按陈酒价格出售如果窖藏起来待日按陈酒价格出售解解 设这批酒窖藏设这批酒窖藏 t 年整年整,售出总收入的现值为售出总收入的现值为L 则按照贴现公式得则按照贴现公式得(假设不计储藏费假设不计储藏费),),那么未来总收入那么未来总收入R 就是时间就是时间 t 的函的函数数 假设资金的贴现率为假设资金的贴现率为 r,并以连续复利计息并以连续复利计息,为使总收为使总收入的现值最大入的现值最大,应在何年出售此酒应在何年出售此酒?5/18/2024作者：郭健 例10 某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t28故故 时时,L(t)在该点达到最大值在该点达到最大值,即储藏即储藏年限为年限为收入的最大现值：收入的最大现值：比如比如 r =0.10,则则 t =25,即此酒商应将此酒窖藏即此酒商应将此酒窖藏 25 年年.两端求导，得两端求导，得得唯一不可导点得唯一不可导点(整年整年)时时,是最佳销售时间是最佳销售时间，可见可见,利率利率(贴现率贴现率)越高窖藏期越短越高窖藏期越短.5/18/2024作者：郭健故 时,L(t)在该点达到最大值,即储藏29小结：导数的应用作业：复习5/18/2024作者：郭健小结：导数的应用作业：复习8/3/2023作者：郭健30
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