线性系统的能控性和能观性课件

现代控制理论现代控制理论现代控制理论2第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 5.3 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用2第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.1 李雅普3 一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。统分析的首要任务。1892年年，俄俄国国学学者者李李雅雅普普诺诺夫夫（Lyapunov）在在“运运动动稳稳定定性性一一般般问问题题”一一文文中中，提提出出了了著著名名的的李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性理理论论。该该理理论论作作为为稳稳定定性性判判别别的的通通用用方方法法，适适用用于于各各类类控控制制系系统统。李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性理理论论的的核核心心是是提提出出了了判判断断系系统统稳稳定定性性的的两两种种方方法法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。3 一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证4 李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。法。而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。称为直接法。4 李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根55.1 李雅普诺夫稳定性定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于统的平衡状态而言的。对于线性定常系统线性定常系统，由于通常，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。55.1 李雅普诺夫稳定性定义 稳6初始状态为初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的。对于上述系统，若对所有的t，状态状态x满足满足 ，则称该状态，则称该状态x为为平衡状态平衡状态，记为，记为xe。故有故有5.1.1 平衡状态平衡状态 f（xe，t）=0 由平衡状态由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为在状态空间中所确定的点，称为平衡点平衡点。由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u=0。此时设系统的状态方程为此时设系统的状态方程为6初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t7 系统的平衡状态应满足系统的平衡状态应满足Axe=0。当当A是是非非奇奇异异的的，则则系系统统存存在在唯唯一一的的一一个个平平衡衡状状态态xe=0。当当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有是非奇异的，只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。对于线性定常系统，其状态方程为对于线性定常系统，其状态方程为7 系统的平衡状态应满足Axe=0。对于8 对于非线性系统，方程对于非线性系统，方程f(xe，t)=0的解可能的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如有多个，即可能有多个平衡状态。如解得解得 因此该系统有三个平衡状态因此该系统有三个平衡状态由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点。8 对于非线性系统，方程f(xe，t)=95.1.2 范数的概念范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。范数的定义范数的定义：在：在n维状态空间中，向量维状态空间中，向量x的长度称的长度称为向量为向量x的范数，用的范数，用x表示，则表示，则 向量（向量（x xe）范数可写成）范数可写成通通常常又又将将x xe称称为为x与与 xe的的距距离离。当当向向量量（x xe）的范数限定在某一范围之内时，则记为的范数限定在某一范围之内时，则记为 x xe 0几几何何意意义义为为，在在状状态态空空间间中中以以xe为为球球心心，以以 为为半半径的一个球域，记为径的一个球域，记为S()。95.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中105.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 定义定义:对于系统对于系统 ，若对任意给定的实数，若对任意给定的实数 0，都对应存在另一个实数，都对应存在另一个实数(,t0)0，使得一切满足，使得一切满足x0 xe (,t0)的任意初始状态的任意初始状态x0所对应的解所对应的解x，在所，在所有时间内都满足有时间内都满足 x xe （t t0）则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态xe稳定的。若稳定的。若 与与t0无关，则称平无关，则称平衡状态衡状态xe是一致稳定的。是一致稳定的。1.稳定和一致稳定稳定和一致稳定105.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 定义:11x1x2xeS()S()x0 x11x1x2xeS()S()x0 x12 定义定义:对于系统对于系统 ，若对任意给定的，若对任意给定的实数实数 0，总存在，总存在 (,t0)0，使得，使得x0 xe (,t0)的任意初始状态的任意初始状态x0所对应的解所对应的解x，在所有时间内，在所有时间内都满足都满足 2.渐近稳定渐近稳定则称平衡状态则称平衡状态xe是渐近稳定的。是渐近稳定的。x xe （t t0）且对于任意小量且对于任意小量 0，总有，总有12 定义:对于系统 13x1x2xeS()S()x0 x经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。13x1x2xeS()S()x0 x经典理论中的稳14 定义定义:如果系统如果系统 对整个状态空间中的任对整个状态空间中的任意初始状态意初始状态x0的每一个解，当的每一个解，当t 时，都收敛于时，都收敛于xe，则系统的平衡状态则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。叫做大范围渐近稳定的。3.大范围渐近稳定大范围渐近稳定 显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的也是大范围渐近稳定的必要条件必要条件。对于线性定常系统，。对于线性定常系统，当当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe=0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范围渐近稳定的。围渐近稳定的。14 定义:如果系统 15 定义定义:如果对于某个实数如果对于某个实数 0和任一实数和任一实数 0，不管这两个实数有多么小，在球域不管这两个实数有多么小，在球域S()内总存在一个内总存在一个初始状态初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域超出球域S()，则称该平衡状态是不稳定的。，则称该平衡状态是不稳定的。4.不稳定不稳定15 定义:如果对于某个实数 0和任一165.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.15.2.1 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。1.线性定常系统线性定常系统 定理定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即的特征值均具有负实部，即 Re(i)0，C 0，对任意，对任意t0和和t t0，有，有 则系统是一致渐近稳定的。则系统是一致渐近稳定的。3.非线性系统非线性系统 设非线性系统的状态方程为设非线性系统的状态方程为f(x,t)对状态向量对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状有连续的偏导数。设系统的平衡状态为态为xe=0，则在平衡状态，则在平衡状态xe=0处可将处可将f(x,t)展成泰勒展成泰勒级数，则得级数，则得19若存在某常数N 0，C 0，对任意t0和t 20R(x)：包含对包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。的二次及二次以上的高阶导数项。取一次近似，可得线性化方程为取一次近似，可得线性化方程为20R(x)：包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。21 定定理理5-3（1）若若线线性性化化方方程程中中的的系系数数矩矩阵阵A的的特特征征值值均均具具有有负负实实部部，则则系系统统的的平平衡衡状状态态xe是是渐渐近近稳稳定定的的，系统的稳定性与被忽略的高阶项系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。无关。（2）若线性化方程中的系数矩阵）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况情况如何，系统的平衡状态如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。总是不稳定的。（3）若若线线性性化化方方程程中中的的系系数数矩矩阵阵A的的特特征征值值中中，至至少少有有一一个个实实部部为为零零，则则原原非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性，不不能能用用线线性性化化方方程程来来判判断断。系系统统的的稳稳定定性性与与被被忽忽略略的的高高次次项项有有关关。若若要要研研究究原原系系统统的的稳稳定定性性，必必须须分分析析原原非非线线性方程。性方程。21 定理5-3（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值225.2.2 二次型函数二次型函数定义定义:设设x是是n维列向量，称标量函数维列向量，称标量函数为二次型函数，并将为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可称为二次型的矩阵。该式又可展开为展开为一个二次型函数总可以化成一个二次型函数总可以化成P为实对称的称的二二次型函数。次型函数。225.2.2 二次型函数定义:设x是n维列向量，称标量函23称称v(x)为正定的为正定的。例如，。例如，v(x)=x12+2 x22 0。（2）若）若称称v(x)为正半定的为正半定的。例如，。例如，v(x)=(x1+x2)2 0。（3）如果）如果 v(x)是正定的，是正定的，则则v(x)称为负定的称为负定的，即，即例如，例如，v(x)=(x12+2 x22)0；当当v(x)是负定的，称是负定的，称P是负定的，记为是负定的，记为P 0。这样就可以根据。这样就可以根据 的定号性来的定号性来判断系统的稳定性。显然，若判断系统的稳定性。显然，若v(x)0，并且，并且 0。若随系统的运动，。若随系统的运动，能量在连续地减小，则能量在连续地减小，则 。当能量最终耗尽，。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。是渐近稳定的。x1x20c1c2x033 几何意义：以二维状态空间为例，设李34 该该定定理理给给出出地地是是渐渐近近稳稳定定的的充充分分条条件件，即即如如果果能能找找到到满满足足定定理理条条件件的的v(x)，则则系系统统一一定定是是渐渐近近稳稳定定的的。但但如如果果找找不不到到这这样样的的v(x)，并并不不意意味味着着系系统统是是不不稳稳定定的。的。该定理本身并没有指明该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情的建立方法。一般情况下，况下，v(x)不是唯一的。不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即数可以取为二次型函数，即v(x)=xTPx的形式，其中的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式。不一定都是这种简单的二次型的形式。该该定定理理对对于于线线性性系系统统、非非线线性性系系统统、时时变变系系统统及及定定常常系系统统都都是是适适用用的的，是是一一个个最最基基本本的的稳稳定定性性判判别别定定理。理。34 该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到35解得唯一的平衡点为解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即，即xe=0，为坐，为坐标原点。标原点。选取李氏函数为二次型函数，即选取李氏函数为二次型函数，即 v(x)=x12+x22 显然显然v(x)是正定的。是正定的。v(x)的一阶全导数为的一阶全导数为 解：解：由平衡点方程得由平衡点方程得 例例5-3 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。35解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=36因此因此 是负定的。又当是负定的。又当x时，有时，有v(x)，故由定理故由定理5-4，平衡点，平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。例例5-4 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。可知可知xe=0是唯一的一个平衡状态。选取是唯一的一个平衡状态。选取 解：解：由平衡点方程得由平衡点方程得36因此 是负定的。又当x时，有37v(x)=x12+x22 0（正定）（正定）（负半定（负半定）是负半定的。是负半定的。其平衡状态为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。定理定理5-5 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时不恒等于零，则在平衡点时不恒等于零，则在平衡点xe=0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。37v(x)=x12+x22 0（正定）（负半38 1)恒等于零，即恒等于零，即v(x)=x12+x22 C，表示系，表示系统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的状态状态x距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线性系统中的极限环便属于这种情况。性系统中的极限环便属于这种情况。以二维状态空间，并且以以二维状态空间，并且以v(x)=x12+x22为例为例加以说明。加以说明。2)不恒等于零，不恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，即只在某个时刻暂时为零，而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。另一方面也表示状态另一方面也表示状态x到原点的距离的平方也不会停到原点的距离的平方也不会停留在某一定值留在某一定值v(x)=x12+x22=C上，其他时刻这个距上，其他时刻这个距离的变化率均为负值。因此状态离的变化率均为负值。因此状态x必然要趋向原点，必然要趋向原点，所以系统一定是渐近稳定的。所以系统一定是渐近稳定的。38 1)恒等于零，即v(39 例例5-4 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。v(x)=x12+x22 0 当当x1=任意值，任意值，x2=0时，时，=0，但不会恒等于零。，但不会恒等于零。按照定理按照定理5-5，系统在，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当处是渐近稳定的。又当x时，时，v(x)，故，故xe=0也是大范围渐近稳定的。也是大范围渐近稳定的。当当 0时时，x2=0，x1=0。39 例5-4 设系统的状态方程为v(x)=40 为验证定理为验证定理5-5的正确性，仍以例的正确性，仍以例5-4加以说明。对加以说明。对例例5-4，另选李雅普诺夫函数为，另选李雅普诺夫函数为即是负定的，满足定理即是负定的，满足定理5-4的条件，所以系统在的条件，所以系统在xe=0处是渐近稳定的。由此可见，定理处是渐近稳定的。由此可见，定理5-5是正确的。同是正确的。同时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数不是唯一的。不是唯一的。40 为验证定理5-5的正确性，仍以例5-4加以说明41其平衡状态为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。是负半定的。是负半定的。定理定理5-6 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时存在某一时存在某一x值使值使 恒为零，则恒为零，则系统在平衡点系统在平衡点xe=0处是稳定的。处是稳定的。对此定理的说明与定理对此定理的说明与定理5-5的说明（的说明（1）相同。）相同。是是等幅振荡，满足李雅普诺夫意义下的稳定。等幅振荡，满足李雅普诺夫意义下的稳定。41其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数42 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+4x22 0 例例5-5 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。可见，可见，在任意的在任意的x值上均保持为零。因此，系值上均保持为零。因此，系统在统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的。处是稳定的，但不是渐近稳定的。42 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数43其平衡状态为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。是正定的。是正定的。定理定理5-7 设系统的状态方程为设系统的状态方程为则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。43其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数44 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+x22 0 系统在系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。例例5-6设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。44 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为45其平衡状态为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x，t)，并且满足条件，并且满足条件 v(x，t)是正定的。是正定的。是正半定的。是正半定的。定理定理5-8 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 在在x0时不恒等于零，则系统在原点处的时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。45其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数46 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即数为下面的二次型函数，即 v(x)=x12+x22 0 例例5-7设系统的状态方程为设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。当当x2=0，x1 为任意任意值时，=0，而，而 所以所以x2=0是是暂时的，不会恒等于的，不会恒等于0。所以系。所以系统不不稳定。定。46 解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数47结 束47结 束