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http:/ 44 页标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容总体概述点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容知 识 结 构(学生用书P88)P88)3共 44 页规 律 方 法(学生用书P P8888)1.1.空间向量的概念及其运算与平面向量类似.向量的加减法的三角形法则,平行四边形法则及相关的运算律在空间向量中仍然成立.空间向量的数量积,共线向量定理、共面向量定理都是平面向量向空间向量的推广,空间向量基本定理是向量由二维到三维的推广.2.ab=02.ab=0abab是数形结合的纽带之一,也是区别数量运算的典例,它是用向量法论证线线、线面、面面垂直的关键.4共 44 页3.3.公式cos=cos=是应用空间向量求空间中各种角的基础.4.4.直线的方向向量和平面的法向量是用来描述空间中直线与平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及有关的计算问题.5共 44 页5.5.用空间向量判断空间中线面位置关系的常用方法:(1)(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)(2)证线线垂直,只需证明这两条直线的方向向量垂直.(3)(3)用向量证明线面平行的方法主要有:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;在平面内找到一个向量与直线的方向向量平行;在平面内找到两条不共线向量能线性表示直线的方向向量.6共 44 页(4)(4)用向量证明线面垂直的方法主要有:证明直线方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)(5)证明面面平行的方法主要有:证明两个平面的法向量平行;转化为线面平行,线线平行问题.(6)(6)证明面面垂直的方法主要有:证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题.7共 44 页6.6.用空间向量求空间角(1)(1)两异面直线所成的角设a a、b b分别为l l1 1、l l2 2的方向向量,为异面直线所成的角,则cos=cos=(2)(2)直线与平面所成的角设l l为平面的斜线,a,a为l l的方向向量,n,n为的法向量,为l l与所成的角,则sin=sin=8共 44 页9共 44 页7.7.运用空间向量求空间距离(1)(1)点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此就是这两点对应向量的模.(2)(2)点面距离公式:P P为平面外一点,a,a为过点P P的斜线的方向向量,n,n为平面的法向量,d,d为点P P到的距离,则d=|a|cos=d=|a|cos=(3)(3)线面距离,面面距离都转化为点面距离来求.10共 44 页数学思想方法(学生用书P P8989)专题一 线面位置关系的证明利用空间向量可以方便的论证空间中的一些线面位置关系,如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.11共 44 页1.1.证明线面平行若直线a a,其方向向量为a,a,平面的法向量为n,n,且an,an,则a.a.例1:1:已知正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,棱长为a,Ea,E、F F分别在DBDB、D D1 1C C上,且DE=DDE=D1 1F=F=求证:EF:EF平面BBBB1 1C C1 1C.C.12共 44 页13共 44 页2.证明面面平行若m,n分别是平面、的法向量,且m n,则.14共 44 页15共 44 页3.3.证明线面垂直设直线l l的方向向量为a,a,平面的法向量为n,n,若an,an,则l.l.例3:3:如图,在棱长为1 1的正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,点E E是棱BCBC的中点,点F F是棱CDCD上的动点.(1)(1)确定F F点的位置,使得D D1 1EE平面ABAB1 1F;F;(2)(2)当D D1 1EE平面ABAB1 1F F时,求二面角C C1 1-EF-A-EF-A的余弦值的大小.16共 44 页17共 44 页 (2)(2)当D D1 1EE平面ABAB1 1F F时,F,F是CDCD的中点.又E E是BCBC的中点,连结EF,EF,则EFBD.EFBD.连结AC,AC,设ACAC与EFEF交于点H,H,则AHEF.AHEF.连结C C1 1H,H,则CHCH是C C1 1H H在底面ABCDABCD内的射影.CC1 1HEF,HEF,即AHCAHC1 1是二面角C C1 1-EF-A-EF-A的平面角.18共 44 页4.4.证明面面垂直设m m、n n分别是平面、的法向量,若mn,mn,则.例4:4:在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中,ABBC,AB=BC=2,BB,ABBC,AB=BC=2,BB1 1=1,E=1,E为BBBB1 1的中点.证明:平面AECAEC1 1平面AAAA1 1C C1 1C.C.19共 44 页20共 44 页21共 44 页专题二 空间角的求法1.1.异面直线所成的角设a a、b b分别为异面直线l l1 1、l l2 2的方向向量,为异面直线所成角,则cos=|cos|=cos=|cos|=22共 44 页例 5:5:如 图,三 棱 柱 OAB-OOAB-O1 1A A1 1B B1 1,平 面 OBBOBB1 1O O1 1平 面OAB,OOAB,O1 1OB=60,AOB=90,OB=60,AOB=90,且OB=OOOB=OO1 1=2,OA=2,OA求异面直线A A1 1B B与AOAO1 1所成角的余弦值.23共 44 页24共 44 页2.2.直线与平面所成的角求直线与平面所成的角,通常有两种方法,一种按定义作出线面角,再计算,另一种方法可以用法向量来求.例6:6:正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中,E,E是C C1 1C C中点,求BEBE与平面B B1 1BDDBDD1 1所成角的正弦值.25共 44 页解:因为是正方体,可采用坐标法求解,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,2,则B(2,2,0),BB(2,2,0),B1 1(2,2,2),E(0,2,1),D(0,0,0),(2,2,2),E(0,2,1),D(0,0,0),26共 44 页27共 44 页3.3.求二面角用向量求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可以求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.28共 44 页例7:7:如图,矩形ABCDABCD中,AB=4,AD=3,AB=4,AD=3,沿对角线ACAC折起,使点D D在平面ABCABC上的射影E E恰好落在ABAB上,求这时二面角B-AC-DB-AC-D的余弦值.分析:由ABBCABBC知,可以建立空间直角坐标系,用平面的法向量来求.但是建系后点D D的坐标很难求出,因此,可采用第一种解法.29共 44 页30共 44 页31共 44 页专题三 空间距离的求法1.1.求两点间的距离例8:8:已知矩形ABCDABCD中,AB=4,AD=3.,AB=4,AD=3.沿对角线ACAC折叠,使面ABCABC与面ADCADC垂直,求B B、D D间的距离.分析:求两点间距离方法较多,可以利用向量模求解,也可以建立空间直角坐标系求解.32共 44 页33共 44 页方法二:同方法一.过E E作FBFB的平行线EP,EP,以E E为坐标原点,以EP,EC,EDEP,EC,ED分别为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系如图.34共 44 页35共 44 页规律技巧:解决折叠问题一定要看清楚折叠前后哪些是不变的量,哪些是变化的量.折叠后若可以建系,最好建系解决,若不好建系,就用向量的几何表达式求解距离问题,如本例方法一.36共 44 页2.2.求点到直线的距离例9:9:如图,P,P为矩形ABCDABCD所在平面外一点,PA,PA平面ABCD,ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,AB=3,AD=4,PA=1,求点P P到BDBD的距离.分析:可以找到P P到BDBD的垂线段,直接求解,也可以用向量的射影,转化后求解.37共 44 页解:方法一:作AHBD,AHBD,垂足为H,H,PAPA平面ABCD,ABCD,AHAH为PHPH在平面ABCDABCD上的射影,由三垂线定理得PHBD,PHBD,PHPH即为P P到BDBD的距离,38共 44 页39共 44 页规律技巧:关于点到线的距离问题,易于找到垂线段时,用直接法求解,不易找到垂线段,但可以建系时,用向量法.向量法求解时,直线BDBD的方向向量可任意选取,这里最终用的是单位方向向量直线上的点也可以任意选取,但一般选特殊点.40共 44 页3.3.求点到平面的距离例10:(201010:(2010江西卷)如图,BCD,BCD与MCDMCD都是边长为2 2的正三角形,平面MCDMCD平面BCD,ABBCD,AB平面BCD,BCD,(1)(1)求点A A到平面MBCMBC的距离;(2)(2)求平面ACMACM与平面BCDBCD所成二面角的正弦值.41共 44 页分析:本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系,点到平面的距离及二面角的求解.本题采用空间向量法求解,其关键是建立恰当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标,直线的方向向量及平面的法向量.42共 44 页问题提问与解答问答HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION结束语CONCLUSION感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边，来自于您的声音是对我们最大的鼓励和帮助，大家在填写评估表的同时，也预祝各位步步高升，真心期待着再次相会！感谢聆听Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentationandmakeitintoafilm讲师：XXXX日期：20XX.X月
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