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三重积分的计算三重积分的计算问题问题:设设 f(x,y,z)在在上可积上可积,研究三重积分研究三重积分 的计算方法的计算方法 研究思路研究思路:设法将设法将 化为化为 先定积分再二重积分先定积分再二重积分(1)先单后重先单后重:(2)先重后单先重后单:先二重积分再定积分先二重积分再定积分三重积分的计算问题:设 f(x,y,z)在上可1zxyx+y+z=10例例1.计算计算其中其中 是由平面是由平面x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.解：解：D:0 y 1x,0 x 1 11Dx+y=1 xyzxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=2例例2.计算计算其中其中 是由抛物是由抛物柱面柱面及平面及平面y=0,z=0,解：解：D:0 y ,0 x yxz0D0yx例2.计算其中 是由抛物柱面及平面y=0,z=0,3例例3.将将化为三次定积分，其中化为三次定积分，其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围的闭区域所围的闭区域.解：解：先对先对 z 积分，将积分，将 向向 xy 平面投影平面投影.z=x2+y2 x2+y2=1 D:x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2 例3.将化为三次定积分，其中 是由 z=x2+y2 和4xyz01Dxyz=1z=x2+y2 xyz01Dxyz=1z=x2+y2 5解解2：先对先对 y 积分，将积分，将 向向 xz 平面投影：平面投影：z=x2+y2 Dxy:x2 z 1,z=1 1 x1z=x2+y2 xyz0Dxz11解2：先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：z=x26例例4.计算计算其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围成的闭区域所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：解：D(z):x2+y2zz0,1例4.计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成7例例5.计算计算解：解：D(x):0 y 1x,0 z 1 x yzxy0111x:0 x 1 其中其中 是由平面是由平面 x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.D(x)z=1xy xy01x1x例5.计算解：D(x):0 y 1x,0 8例例6.计算计算其中其中 由由与与 z=1 所围闭区域所围闭区域.解：解：D:x2+y21z=1 z=rz=0 xyz0Dz=rz=1例6.计算其中 由与 z=1 所围闭区域.解：D:9xyz0z=rz=11Dxyz0z=rz=11D10例例7.计算计算 =(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.解：解：D:x2+y21xyz01例7.计算=(x,y,z)|x2+y2+z211得到得到解解例例 8.得到解例 8.12于是，于是，于是，13与球面与球面例例9.计算计算其中其中,是由锥面是由锥面所围成的区域所围成的区域.解解:积分区域如图所示.则锥面方程变为球面方程变为r=a,区域变为yxzO运用球面坐标计算,令与球面例9.计算其中,是由锥面所围成的区域.解:积分14故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)15y14x+y=4x=0 xzo.例例10.y14x+y=4x=0 xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分取第一卦限部分例例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0 xyz.D.o1例例10.4x+y=4y=0 xyz.D.o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例例11.x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z y 666x+y+z=63x+y=62.x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.x0z y 3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z yz=0y=042x+y+z=6.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0z y666 42.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所围成的区域所围成的区域.D0y x624D.42.x0z y666 y2=xxyzo例例12.y2=xxyzo例12.y2=xxyzoy2=xxyzoz=0y=0 xyzo。0y xy2=xDz=0y=0 xyzo。0y xy2=xD例例13 由曲面由曲面z x2 2y2 及及z 2 x2所围成的闭区域；所围成的闭区域；xyzOzx22y22z2x2例13 由曲面zx22y2 及z2x2所围成的闭区域11Oxyz2zx22y2z2x2例例13 由曲面由曲面z x2 2y2 及及z 2 x2所围成的闭区域；所围成的闭区域；11Oxyz2zx22y2z2x2例13 由曲面z解解其中其中由曲面由曲面例例14计算积分计算积分所界的立体所界的立体往往 xz 平面上的投影区域平面上的投影区域解其中由曲面例14计算积分所界的立体往 xz 平面上的投30三重积分例题分析课件31解解例例15计算积分计算积分 ,其中其中是两个球是两个球的公共部分的公共部分由由采用先重后单方法计算采用先重后单方法计算解例15计算积分 ,其中是两32三重积分例题分析课件33例例16 设设 ,其中其中由由所界所界 解解例16 设 34三重积分例题分析课件35例例17.解解:由对称性由对称性,所求体积所求体积yzxoDxyoa2aD例17.解:由对称性,所求体积yzxoDxyoa2aD36运用极坐标系,则 D 变成 D*:式中故运用极坐标系,则 D 变成 D*:式中故37三重积分例题分析课件38
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