流体的涡度散度和形变率课件

预备知识：v要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识：矢量代数哈密顿算子stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）速度环流 1预备知识：要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识：11矢量代数：矢量的正交分解矢量代数：矢量的正交分解 矢量矢量8 8x xy yz z矢量代数：矢量的正交分解 矢量8xyz2矢量代数：矢量代数：矢量和（差）的正交分量表示矢量和（差）的正交分量表示矢量代数：矢量和（差）的正交分量表示3定义：定义：定义：定义：性质：性质：性质：性质：矢量代数：矢量代数：矢量乘以标量矢量乘以标量定义：性质：矢量代数：矢量乘以标量4性质：性质：性质：性质：矢量数量积的正交分量表示：矢量数量积的正交分量表示：矢量数量积的正交分量表示：矢量数量积的正交分量表示：矢量代数：矢量代数：矢量的点乘矢量的点乘/矢量的数量积矢量的数量积性质：矢量数量积的正交分量表示：矢量代数：矢量的点乘/矢量5定义：定义：定义：定义：性质：性质：性质：性质：矢量代数：矢量代数：矢量的叉乘矢量的叉乘/矢量的向量积矢量的向量积定义：性质：矢量代数：矢量的叉乘/矢量的向量积6矢量代数：矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：矢量向量积的正交分量表示：矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：7888999Stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线，的侧与 的正向符合右手法则，P、Q、R在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有：10Stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换）设光10Stokes 公式：11Stokes 公式：1111Stokes 公式：12Stokes 公式：1212速度环流：v这个数值称作【速度环流】，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势【速度环流】，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势。v当 L 为流体的流线且闭合时，处处的速度矢与线元矢量的方向一致，因此速度环流表示流体完全按L流动。v当 L 闭合时，若=0，则流体沿着闭合曲线的分量的代数和为零。v当 L 闭合，但 L 不是流体的流线时，速度环流表示流体沿闭合曲线L的速度分量与相应线段的乘积的总和。13速度环流：1313涡度与速度环流的关系：v运用stokes 公式，（1.42）的速度环流就变成：v如果闭合曲线向内无限收缩，即 ，则：v上式表明，流体某点的【涡度矢】在某单位面元法向的分量流体某点的【涡度矢】在某单位面元法向的分量就是单位面积速度环流的极限值。就是单位面积速度环流的极限值。14涡度与速度环流的关系：运用stokes 公式，（1.42）14涡度：v这样，把 称作【涡度】，是量度流体旋转程度的物【涡度】，是量度流体旋转程度的物理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。v 是对 这个物理量作涡度运算。v涡度的三维分量：15涡度：这样，把 称作【涡度】，是量度15涡度与角速度：涡度涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点角速度的两倍。16涡度与角速度：1616注意：流体涡度的概念是个局地极限概念。与刚体不同。v 刚体的转动是整体性的，一点的转动就可以代表整个刚体的转动，代表刚体上其它点的转动。v 流体不同，某一流点在转动，并不代表其它流点也在转动，或也在做同样的转动。即流体的各个流点可能在同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区域有旋。（流点与流点间可以有相对运动）17注意：流体涡度的概念是个局地极限概念。与刚体不同。1717注意：流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运动。流体流线（迹线）是圆，不代表流点在做旋转运动。（流体在做圆运动时，流点不但在绕圆点转动，而且又在自转时，才会涡度不为零。流体在做直线运动，但流点有自转时，涡度也不为零。18注意：流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运18散度：v涡度=v定义一个新的物理量：【散度】v散度=v散度的符号：或 D19散度：涡度=1919准备知识：奥-高公式（面积分和体积分转换的公式）设奥-高公式为：上式中 是流体中某一封闭曲面，为封闭曲面所围的体积。20准备知识：奥-高公式（面积分和体积分转换的公式）2020准备知识：21准备知识：2121散度：v根据奥-高公式：v 为封闭曲面所围的体积。当封闭曲面向内无限缩小时体（面）向点趋近，积分的值就成了点上的值。即：v或：即为即为【散度】【散度】22散度：根据奥-高公式：2222散度：23散度：2323散度：另外，散度还反映了流点的体积的相对膨胀（或收缩）率。（所谓率就是指单位时间的变化）证明：考虑一个小体元 （一个长方体流点），它体积的相对膨胀（或收缩）率为：24散度：另外，散度还反映了流点的体积的相对膨胀（或收缩）率。（2425散度散度25散度25速度的分解：其中：上面第一行的第二、三项 表示由于绕M0点的转动的转动速度。上面第二行的第四、五六项 表示由于流体微团形变引起的形变速度。所以，流点的运动有：平移、旋转、形变，形变中就包含了流点体积的膨胀（收缩）。形变率：26速度的分解：形变率：2626形变率：v流点的形变包括两种：【法形变】【切形变】（或剪切形变）27形变率：流点的形变包括两种：2727v 表示了x 轴上【线投元】的相对伸长（缩短）v率，是法线方向上的一种形变，定义它为【x轴向的法形轴向的法形变率】，用变率】，用 表示。表示。v同样的：v总结：【法形变率】法形变率：28y轴向的法形变率z轴向的法形变率 表示28法形变率&散度v法形变率：v散度：v可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度是体形变率。若流体运动只限于二维，则是体形变率。若流体运动只限于二维，则 又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。29：二维矢量运算符法形变率&散度法形变率：29：二维矢量运算符29切形变率：v【切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既【切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形变。变。v如图：正方形变成棱形，体积保持不变，此时发生的形变称为切形变。30切形变率：【切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素30切形变率：v第一种情况：流点在转动，涡度 散度 ，流点没有法形变（即：无体积膨胀或收缩），流点也没有形状变化。v第二种情况：流点无转动也无体积膨胀（收缩），即涡度和散度均为0，无法形变。但是，流点的形状发生了变化，称为有切形变。31切形变率：第一种情况：流点在转动，涡度 31切形变：v在Oxy 平面上的切形变率为：v在Oyz 平面上的切形变率为：v在Oxz 平面上的切形变率为：v若把x,y,z 与1、2、3 对应，以上形变率就是 （法形变率）和 从而构成一个矩阵形式，称为【形变张量矩阵A】。32切形变：在Oxy 平面上的切形变率为：3232散度总结：33散度总结：3333流体运动的分类：v一般流体运动形式很复杂，在进行具体研究时，常常将流体运动加以分类，而后从简单到复杂，研究流体运动的规律。v到目前为止，我们已经可以对流体运动进行一下分类：v 1、以运动形式为标准分为：、以运动形式为标准分为：【无旋运动】和【有旋运动】【无辐散运动】和【有辐散运动】34流体运动的分类：一般流体运动形式很复杂，在进行具体研究时，常34有旋&无旋：v无旋运动：（不需要各个点都为零，可以允许个别点为零，如圆点处不为零）v有旋运动：v无辐散运动：v有辐散运动：v由于大部分流体运动都有平动和形变，所以就不用它们来分类了。35有旋&无旋：无旋运动：35定常&非定常：v2、按时间为标准、按时间为标准 v分为：【定常运动】和【不定常运动】定常：若速度函数及所有物理量皆不依赖于时间t，不随时间变化，即：不定常运动：36定常&非定常：2、按时间为标准 3636一维&二维&三维：v3、按空间为标准、按空间为标准 v分为：【一维运动】、【二维运动】和【三维运动】。一维运动：若所用物理量只依赖于一个曲线坐标。如 或者 二维运动：若所用物理量依赖于两个曲线坐标。如 或者 三维运动：若所用物理量依赖于三个曲线坐标。如37一维&二维&三维：3、按空间为标准 3737