无穷级数习题课二课件

一幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法一幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 型、型、型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。对于对于 型，通过求型，通过求 ，得半径，得半径 ，然后讨论然后讨论 处的敛散性，从而得收敛域；处的敛散性，从而得收敛域；对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论处的敛散性，从而得收敛域。处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。解题方法流程图如下。对于对于 型，令型，令 ,化为化为 型型,可得收敛域；可得收敛域；一幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛1解题方法流程图解题方法流程图 求幂级数收敛域求幂级数收敛域 判别幂级数类型判别幂级数类型 收敛域收敛域 收敛域收敛域 令令 讨论讨论 处的敛散性处的敛散性 ，其它，其它 讨论讨论 处的敛散性处的敛散性 当当 时收敛时收敛当当 时发散时发散 用比值法用比值法 令令 123解题方法流程图 求幂级数收敛域 判别2二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分先求导后积分”或或“先先积分后求导积分后求导”等技巧，并利用与形如等技巧，并利用与形如 （或（或 等）等）幂级数的和函数，求出其和函数。幂级数的和函数，求出其和函数。解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图如下图所示。二、幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对3求求 的和函数的和函数令令NoYesYesNo能直接求能直接求出和函数出和函数恒等变换恒等变换直接求和直接求和逐项积分逐项积分逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导逐项积分逐项积分Yes能直接求出能直接求出和函数和函数NoYesNo能直接求出能直接求出和函数和函数解题方法流程图解题方法流程图求 的和函数令NoYesYesNo能直接求恒等4三、典型例题三、典型例题【例【例1】求幂级数求幂级数 的收敛半径及收敛域。的收敛半径及收敛域。解：解：当当 时，级数为时，级数为 ，该级数收敛。，该级数收敛。当当 时，级数为时，级数为 ，该级数收敛。，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为故此幂级数的收敛域为 。三、典型例题【例1】求幂级数 5【例【例2】求幂级数】求幂级数 的收敛域。的收敛域。解：令解：令 ，原级数变为，原级数变为 所以所以 ，即，即 时，幂级数收敛。时，幂级数收敛。当当 时，级数为时，级数为 ，为交错级数收敛，为交错级数收敛，当当 时，级数为时，级数为 ，为，为P-级数发散，级数发散，故此幂级数的收敛域为故此幂级数的收敛域为 。【例2】求幂级数 6【例【例3】求幂级数】求幂级数 的收敛域。的收敛域。解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法当当 ，即，即 时，级数收敛。时，级数收敛。当当 ，即，即 时，级数发散。时，级数发散。当当 时，级数为时，级数为 ，为交错级数收敛。，为交错级数收敛。当当 时，级数为时，级数为 ，为交错级数收敛。，为交错级数收敛。故此幂级数的收敛域为故此幂级数的收敛域为 。【例3】求幂级数 7【例【例4】求幂级数】求幂级数 的和函数，并求的和函数，并求的和。的和。解：记解：记 求导得求导得 积分得积分得 令令 ，则，则【例4】求幂级数 8二、函数的泰勒级数二、函数的泰勒级数1泰勒级数定义：泰勒级数定义：称为称为 在点在点 的泰勒级数。的泰勒级数。2麦克劳林级数定义：麦克劳林级数定义：称为称为 的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。二、函数的泰勒级数1泰勒级数定义：称为 在点9四、将函数展开成泰勒级数四、将函数展开成泰勒级数(幂级数幂级数)直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶导数，写出泰勒展开式。导数，写出泰勒展开式。间接展开法：间接展开法通常要先对函数间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行进行恒等恒等变形变形，然后利用已知展式（如函数，然后利用已知展式（如函数 ，的展开式等）或利用和的展开式等）或利用和函数的性质（求导数或积分），将函数展函数的性质（求导数或积分），将函数展开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。四、将函数展开成泰勒级数(幂级数)直接展开法：直接展开法是通10求求 的幂级数展开式的幂级数展开式关于关于 的幂级数的幂级数对对 求导求导对对 积分积分令令将将 展成展成 的的幂级数幂级数 求求直接展开法直接展开法间接展开式间接展开式对对 进行恒等变形进行恒等变形能利用已能利用已知展开式知展开式令令令令写出写出 的的 展开式展开式Yes关于关于 的幂级数的幂级数NoNo解题方法流程图解题方法流程图求 的幂级数展开式关于 的幂级数对 11五、典型例题五、典型例题【例【例5】将函数】将函数 展开成的展开成的 幂级数，幂级数，并指出收敛区间。并指出收敛区间。解：对解：对 进行恒等变形：进行恒等变形：而而 五、典型例题【例5】将函数 12故故 满足满足 ，即，即 ，成立区间为：，成立区间为：注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。故 满足 ，即 13【例【例6】将函数将函数 展开成展开成 的幂级数。的幂级数。分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的间接方法是很难间接方法是很难 把展开成把展开成 的幂级数，所以，只能用的幂级数，所以，只能用解：因为解：因为而而 对对 先求导再积分的间接方法展开成先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数。的幂级数。【例6】将函数 14又因为又因为 ，从而积分得，从而积分得因为幂级数在因为幂级数在 处收敛，处收敛，所以所以所以，收敛域为所以，收敛域为 。又因为 ，从而积分得因为幂级数在 15供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸16供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉17