三角函数模型的简单应用课件

1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用问题提出问题提出 1.函数 中的参数 对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题.问题提出 1.函数 中的参数 例例1 如图如图,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲线近时的温度变化曲线近似满足函数似满足函数y=Asin(x+)+b (1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式.6 10 14y T/xt/h102030O探究一：根据图象建立三角函数关系探究一：根据图象建立三角函数关系例1 如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数y思考思考1 1：这一天614时的最大温差是多少？如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数:思考思考2 2：函数式中A、b的值分别是多少？30-10=20A=10,b=20T/102030ot/h6 10 14思考1：这一天614时的最大温差是多少？如图，某地一思考思考3 3：如何确定函数式中 和 的值?思考思考4 4：这段曲线对应的函数是什么？思考思考5 5：这一天12时的温度大概是多少 （）？27.07.T/102030ot/h6 10 14思考3：如何确定函数式中 和 的值?思考4：这段曲线对应解解:(1)最大温差是最大温差是20(2)从从614时的图象是函数时的图象是函数y=Asin(x+)+b的的半个周期的图象半个周期的图象6 10 14y T/xt/h102030O将将x=6,y=10代入上式代入上式,解得解得所求出的函数模型只能所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段近似刻画这天某个时段温度变化温度变化,因此应当特别因此应当特别注意自变量的变化范围注意自变量的变化范围所以所以解:(1)最大温差是2061014y T/xt/h102总结：已知函数图像总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求也可以利用函数的零值点来求总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求例例2 画出函数画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期的图象并观察其周期.xy-11Oy=|sinx|解解周期为周期为验证验证:|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx|探究二：根据解析式模型建立图象模型探究二：根据解析式模型建立图象模型例2 画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.xy-11利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法吗？正弦函数正弦函数y=sinx的图象保留的图象保留x轴上方部分，将轴上方部分，将x轴下方部分翻折到轴下方部分翻折到x轴上方，得到轴上方，得到y=|sinx|的图的图象象总结：总结：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这-太阳光太阳光例例3 如图如图,设地球表面某地正午太阳高度角为设地球表面某地正午太阳高度角为,为此为此时太阳直射纬度时太阳直射纬度,为该地的纬度值为该地的纬度值,那么这三个量之间那么这三个量之间的关系是的关系是=90-|-|.当地夏半年当地夏半年取正值取正值,冬半年冬半年负负值值.如果在北京地区如果在北京地区(纬度数约为北纬纬度数约为北纬40)的一幢高为的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡不被前面的楼房遮挡,两两楼的距离不应小于多少楼的距离不应小于多少?课件演示探究三：建立三角函数模型求临界值探究三：建立三角函数模型求临界值-太阳光例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角分析：分析：太阳高度角太阳高度角、楼高、楼高h0与此时楼房在地面的投影与此时楼房在地面的投影长长h之间的有如下关系：之间的有如下关系：h0=htan hCBA根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.考考 虑虑太太 阳阳直直 射射南南 回回归归 线线分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间的解解:取太阳直射南回归线的情况考虑取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬此时太阳直射纬度为度为-2326,-2326,依题意两楼的间距应不小于依题意两楼的间距应不小于MC.MC.根据太阳高度角的定义根据太阳高度角的定义,有有即在盖楼时即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当要留出相当于楼高两倍的间距于楼高两倍的间距解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-23例例4 4 海水受日月的引力海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象在一定的时候发生涨落的现象叫潮叫潮.一般地一般地,早潮叫潮早潮叫潮,晚潮叫汐晚潮叫汐.在通常情况下在通常情况下,船在船在涨潮时驶进航道涨潮时驶进航道,靠近码头靠近码头;卸货后卸货后,在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0探究四：探究四：根据相关数据进行三角函数拟根据相关数据进行三角函数拟合合 例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般(1)(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系函数关系,给出整点时的水深的近似数值给出整点时的水深的近似数值(精确到精确到0.001).0.001).(2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度(船底与水面的距离船底与水面的距离)为为4 4米米,安安全条例规定至少要有全条例规定至少要有1.51.5米的安全间隙米的安全间隙 (船底与洋底的船底与洋底的距离距离),),该船何时能进入港口该船何时能进入港口?在港口能呆多久在港口能呆多久?(3)(3)若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米米.安全间隙为安全间隙为1.51.5米米,该船在该船在2:002:00开始卸货开始卸货,吃水深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少米的速度减少,那那么该船在什么时间必须停止卸货么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域?课件演示(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,问题问题1：观察上表的数据，你发现了：观察上表的数据，你发现了 什么规律？什么规律？问题问题3：能根据函数模型求整点时的水深：能根据函数模型求整点时的水深 吗？吗？问题问题2：根据数据作出散点图：根据数据作出散点图.观察图形，观察图形，你认为可以用怎样的函数模型刻你认为可以用怎样的函数模型刻 画其中的规律？画其中的规律？问题1：观察上表的数据，你发现了问题3：能根据函数模型求整点从数据列表描点可以得图像为：从数据列表描点可以得图像为：时刻时刻0.001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻时刻12.0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7543 6 9 12 15 18 21 24Oxy642从数据列表描点可以得图像为：时刻0.001：002：003：xyO369 1215182124246解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数函数 刻画水深与时间的关系。刻画水深与时间的关系。xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以解解:(1):(1)以时间为横坐标以时间为横坐标,水深为纵坐标水深为纵坐标,在直角在直角坐标系中画出散点图坐标系中画出散点图3 6 9 12 15 18 21 24Oxy642根据图象根据图象,可以考虑用函数可以考虑用函数y=Asin(x+)+h刻画水深与题刻画水深与题意之间的对应关系意之间的对应关系.A=2.5,h=5,T=12,=0所以所以,港口的水深与时间的关系可用港口的水深与时间的关系可用近似描述近似描述.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，米，安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO3691215182124246（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例时刻时刻0:001:002:003:00 4:005:006:00 7:008:009:00 10:00 11:00水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754由由得到港口在整点时水深的近似值得到港口在整点时水深的近似值:货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进港.由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20.2=0.201357920.2014时刻0:001:002:003:004:005:006:00ABCDy=5.5yOx510152468因此因此,货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港分左右进港,早晨早晨5 5时时3030分左右出港分左右出港;或在中午或在中午1212时时3030分左右进港分左右进港,下午下午1717时时3030分左右出港分左右出港.每次可每次可以在港口停留以在港口停留5 5小时左右小时左右.ABCDy=5.5yOx510152468因此,货船可以在0（3）若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4米，安全间隙为米，安全间隙为1.5米，该船在米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。xyO36912152462（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：O 2 4 6 8 10 xy8642P(3)设在时刻设在时刻x货船的安全水深为货船的安全水深为y,那么那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同在同一坐标系内作出这两个函数一坐标系内作出这两个函数,可以看到在可以看到在67时之间两个函时之间两个函数图象有一个交点数图象有一个交点.通过计算.在6时的水深约为5米,此时货船的安全小深约为4.3米.6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全小深约为4.1米;7时的小深约为3.8米,而货船的安全小深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.O 2 4 6 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型模型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。相应的实际问题。总结：总结：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研练习练习例例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.（1）求这条曲线对应的函数解析式；（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？4t/ss/cmO-4-4练习例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s