一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件

13.2 一致收敛函数列与一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质函数项级数级数的性质一一 一致收敛函数列的性质一致收敛函数列的性质 二二 函数项级数的性质函数项级数的性质13.2 一致收敛函数列与一 一致收敛函数列的性质 二1问题的提出问题问题:问题的提出问题:2函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题?函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算3?2.求导运算与无限求和运算交换次序问题求导运算与无限求和运算交换次序问题?2.求导运算与无限求和运算交换次序问题4?3.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题?3.极限运算与无限求和运算交换次序问题5 定理定理 13.8 13.8 设函数列设函数列 fn 在在(a,x0)(x0,b)上上一致收敛于一致收敛于 f，且且则则即即 一、一致收敛函数列的性质一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序 定理 13.8 设函数列 fn 6 证证 先证数列先证数列 an 收敛因为收敛因为 fn 一致收敛，一致收敛，故对任给的故对任给的 0,存在存在 N 0,当当 n N 时，对任何时，对任何正整数正整数 p，对一切对一切 x(a,x0)(x0,b)有有|fn(x)f n+p(x)|0,存在存在 N 0,当当 n N 时时，对任何对任何 x(a,x0)(x0,b)有有|fn(x)f(x)|/3 和和|an A|/3 同时成立特别取同时成立特别取 n=N+1，有有|fN+1(x)f(x)|/3 和和|aN+1 A|0,当当0|x x0|时时，|fN+1(x)aN+1|/3这样当这样当0|x x0|0,当0 0,存在存在 N 0,当当 n N 时，对一切时，对一切 x a,b，都有都有|fn(x)f(x)|N 时有时有证毕证毕注注1 1：该定理指出：在一致收敛的条件下，：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序极限运算与积分运算可以交换顺序 因为函数列 fn 在 a,b上一致收敛于 f14注注2 2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的而并非必要条件。如下面的 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，15一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件16一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件17注注3注318 定理定理13.1113.11（可微性）设（可微性）设 x0a,b 为为 fn 的收的收敛点，且敛点，且 fn(n=1,2,.)在在 a,b 上有连续的导数，上有连续的导数，fn 在在 a,b 上一致收敛，则上一致收敛，则 证证设设由题设及定理由题设及定理 13.9 知知，g 在在 a,b 连续连续 定理13.11（可微性）设 x0a,b19先证先证：fn 在在 a,b 收敛收敛对任何对任何 x a,b，由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式，总有莱布尼兹公式，总有因为因为 fn(x)在在 a,b 上连续，由定理上连续，由定理13.10，得得所以极限所以极限存在，设存在，设先证：fn 在 a,b 收敛对任何 x 20于是于是由于由于 g 在在 a,b 上连续，再由微积分基本定理，得上连续，再由微积分基本定理，得即即证毕证毕于是由于 g 在 a,b 上连续，再由微积分基本定理21注注1 1：在该定理的条件下可以证明：在该定理的条件下可以证明在区间在区间上一致收敛；上一致收敛；注注2 2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限 运算可以交换顺序；运算可以交换顺序；注注3 3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条 件，件，而并非必要条件而并非必要条件 例例2 2 设函数列设函数列 注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函22Dini定理定理Dini定理23练习练习 设有函数列设有函数列证明：这两个函数在证明：这两个函数在0,1上都不一致收敛；上都不一致收敛；逐项可积性对逐项可积性对(1)不成立，但对不成立，但对(2)成立成立练习设有函数列证明：这两个函数在0,1上都不一致收敛；逐24二二 函数项级数的性质函数项级数的性质1.1.逐项求极限定理逐项求极限定理二 函数项级数的性质1.逐项求极限定理252.连续性定理定理定理13.1213.12证证2.连续性定理定理13.12证26(1)(2)同样有同样有(1)(2)同样有27(3)由由(1)、(2)、(3)可见可见,(3)由(1)、(2)、(3)可见,28定理定理13.1313.13(4)3.3.逐项求积定理逐项求积定理定理13.13(4)3.逐项求积定理29证证证30根据极限定义，有根据极限定义，有即即根据极限定义，有即31定理定理13.1413.14(5)4.4.逐项求导定理逐项求导定理定理13.14(5)4.逐项求导定理32注意注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数逐项求导后得级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导33例例3 3 设设证明函数项级数证明函数项级数un(x)0,1上一致收敛，并讨论其上一致收敛，并讨论其和函数在和函数在0,1上的连续性，可积性与可微性上的连续性，可积性与可微性证明：证明：对每一个每一个，易，易见 为上增函数，上增函数，故有故有 又当又当时，有不等式时，有不等式 所以所以0,1上一致收敛上一致收敛例3 设证明函数项级数un(x)0,1上一致收敛34由于每一个由于每一个在在上上连续,根据定理根据定理13.12与定理与定理13.13,的和函数的和函数 在在上上连续且可且可积.又由又由 推得推得也在也在上一致收上一致收敛.由定理由定理13.14,得得在在上可微上可微.由于每一个在上连续,根据定理13.12与定理13.13,35练习练习练习36一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件37一致收敛函数列与函数项级数级数的性质课件38