资源描述
空间解析几何一、向量代数一、向量代数二、空间解析几何二、空间解析几何1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相方向相同同负向量负向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向径向径:起点为原点起点为原点零向量零向量:模为模为0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的长度向量的长度(大小大小)单位向量单位向量:模为模为1的向量的向量一、向量代数一、向量代数（2）向量的分解式：）向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：（3）向量的坐标表示式：）向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：2 2、向量的表示法、向量的表示法（1）有向线段）有向线段 (模和方向余弦）模和方向余弦）3 3、向量的线性运算、向量的线性运算向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律5 5、向量积向量积向量积向量积定义：向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称性质性质为非零向量,则运算律运算律(2)分配律(3)结合律向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式6 6、混合积、混合积、混合积、混合积 定义定义已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 混合积的坐标表示混合积的坐标表示混合积的坐标表示混合积的坐标表示设 性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是解解解解例例3.已知向量已知向量的夹角且解：解：例例4 4（0606年）已知年）已知若若共面，共面，则等于：等于：解解:若若共面共面,则由此得由此得故故应选（C）1.1.空间的平面空间的平面设一平面通过已知点且垂直于非零向称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为法向量.量二、空间解析几何二、空间解析几何（1）平面的方程）平面的方程 当当 D=0 时时,A x+B y+C z=0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面;当当 A=0 时时,B y+C z+D=0平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示表示 A x+B y+D=0 表示表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.是平面的一般方程，特殊情形是平面的一般方程，特殊情形例例例例5.5.5.5.求通过求通过求通过求通过xxxx轴和点轴和点轴和点轴和点(4,3,1)(4,3,1)(4,3,1)(4,3,1)的平的平的平的平面方程面方程面方程面方程.解解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例例6.(076.(07年年)设平面设平面的方程为的方程为,以下选项以下选项解解:由所给平面由所给平面的方程知的方程知,该平面平行于该平面平行于z z轴轴,不可能垂直于不可能垂直于z z轴，故应选（）轴，故应选（）中错误的是中错误的是:点到平面的距离公式：点到平面的距离公式：平面平面垂直:平行:夹角公式:平面之间的相互关系平面之间的相互关系平面之间的相互关系平面之间的相互关系2 2 2 2、空间直线、空间直线、空间直线、空间直线因此其一般式方程（1 1）空间直线的方程）空间直线的方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)说明说明:某些分母为零时某些分母为零时,其分子也理解为零其分子也理解为零.则直线的对称式方程也称为点向式方程直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量 参数式方程参数式方程设得参数式方程:例例例例7.7.7.7.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为例例8 8 已知平面已知平面过点过点,则与该平面则与该平面垂直且过点垂直且过点的直线的对称方程为的直线的对称方程为:解解:平面平面的法向量的法向量所求直线的方向向量为所求直线的方向向量为,故应选故应选(B).(B).直线（3 3 3 3）线与线的关系）线与线的关系）线与线的关系）线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：（4 4 4 4）面与线间的关系）面与线间的关系）面与线间的关系）面与线间的关系直线:（1 1）旋转曲面）旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面一周所成的曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴.3 3、曲面、曲面方程特点方程特点:例例9.9.求坐标面求坐标面xozxoz上的双曲线上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x x 轴旋转轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为（2 2）柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L所形成的曲面所形成的曲面.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫的准线，动直线叫柱面的母线柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于例如：例如：椭球面椭球面椭球面椭球面(3)二次曲面二次曲面 椭圆锥面椭圆锥面 抛物面抛物面 椭圆抛物面(p,q 同号)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)双曲面双曲面双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面例例10.下列方程中代表下列方程中代表单叶双曲面的是叶双曲面的是:解:表单叶双曲面,故应选(A).4.空间曲线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C(1)(1)空间曲线的方程空间曲线的方程称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为（2 2 2 2）空间曲线在坐标面上的投影）空间曲线在坐标面上的投影）空间曲线在坐标面上的投影）空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C C 的一般方程为的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程例例11.空间曲线在平面的投影方程是 解：消去方程组中的变量z得到这是所给曲线关于面的投影柱面的方程，曲线在平面的投影方程应是：故选D。
展开阅读全文