随机振动-第1章课件

研究的主题研究的主题系统随机激励系统响应统计特性激励的统计特性振动系统动力特性统计特性随机变量变化的规律性的特征关系关系研究的主题系统随机激励系统响应统计特性激励的统计特性振动系统第一章第一章 随机变量的分布随机变量的分布及其数字特征及其数字特征随机变量及其分布列、分布函数随机变量及其分布列、分布函数确定现象确定现象在一定条件下必然发生或必然不发生的现象在一定条件下必然发生或必然不发生的现象比如简谐运动：比如简谐运动：随机现象随机现象在一定条件下可能发生也可能不发生的现象在一定条件下可能发生也可能不发生的现象它在事前是不可确定的它在事前是不可确定的在一次试验中它有随机性在一次试验中它有随机性在大量重复试验中，它有具有统计规律在大量重复试验中，它有具有统计规律任意给定时任意给定时间间t，都可以，都可以得到确定的得到确定的物理量物理量x第一章 随机变量的分布及其数字特征随机变量及其分布列、分布随机变量随机变量定义定义在随机试验的结果中能取得不同数值的量在随机试验的结果中能取得不同数值的量随机变量类型随机变量类型离散型随机变量：仅能取得有限个或无限多个可数的数值离散型随机变量：仅能取得有限个或无限多个可数的数值连续型随机变量：可取得某一区间内的任意数值连续型随机变量：可取得某一区间内的任意数值举例举例例例1六轮赌六轮赌例例2抛掷硬币试验抛掷硬币试验出现正面的现象为随机现象（反之亦然）出现正面的现象为随机现象（反之亦然）用用1表示出现正面表示出现正面用用0表示出现反面表示出现反面用随机变量用随机变量X表示试验结果：表示试验结果：X取值为取值为1或或0X为离散随机变量为离散随机变量随机变量例例3掷骰子试验掷骰子试验出现任一点的现象为随机现象出现任一点的现象为随机现象每次试验有六种可能：出现每次试验有六种可能：出现1、2、3、4、5、6中的某一个点数中的某一个点数用用X作为随机变量，取值可以分别为作为随机变量，取值可以分别为1、2、3、4、5、6X为离散型随机变量为离散型随机变量例例4取鸡蛋取鸡蛋一批鸡蛋中有一批鸡蛋中有q的坏鸡蛋，任取两只，取得坏蛋的情况为随机现象的坏鸡蛋，任取两只，取得坏蛋的情况为随机现象可取得可取得0只坏蛋、只坏蛋、1只坏蛋、只坏蛋、2只坏蛋只坏蛋用用X为随机变量，取值可为为随机变量，取值可为0、1、2X为离散型随机变量为离散型随机变量例例5乘乘804公交汽车上街公交汽车上街上车后上车后5分钟时座椅振动加速度为分钟时座椅振动加速度为1.2m/s*s的情况为随机现象的情况为随机现象上车后某时刻座椅加速度取某一区间内的数值的情况为随机现象上车后某时刻座椅加速度取某一区间内的数值的情况为随机现象用用X为随机变量表示某一时刻座椅处的振动加速度为随机变量表示某一时刻座椅处的振动加速度X为连续型随机变量为连续型随机变量随机振动-第1章课件分布列（针对离散型随机变量）分布列（针对离散型随机变量）定义定义设随机变量设随机变量X的取值为的取值为记相应的概率值为记相应的概率值为将随机变量的取值与其相应的概率值列成表，这种表就称为分布列将随机变量的取值与其相应的概率值列成表，这种表就称为分布列描述随机变量的统计特性描述随机变量的统计特性例例1掷硬币试验的分布列掷硬币试验的分布列例例2掷骰子试验分布列掷骰子试验分布列分布列（针对离散型随机变量）分布函数分布函数定义定义描述随机变量的统计特性描述随机变量的统计特性随机变量随机变量X取小于等于连续实数值取小于等于连续实数值 的概率的概率 称为称为X的分布的分布函数函数对离散型随机变量对离散型随机变量性质性质 是非减函数是非减函数 ,举例举例1（连续随机变量分布函数）连续随机变量分布函数）线段线段0a内随机投一质点内随机投一质点假设落在假设落在0a上任一点都是可能的上任一点都是可能的落点位置是一个连续型随机变量落点位置是一个连续型随机变量分布函数分布函数分布函数分布函数举例举例2（离散随机变量分布函数）（离散随机变量分布函数）前面取鸡蛋的例子前面取鸡蛋的例子设抽到坏鸡蛋的个数为随机变量设抽到坏鸡蛋的个数为随机变量X设经计算取两只鸡蛋其中设经计算取两只鸡蛋其中0只、只、1只和只和2只坏鸡蛋的概率分别为只坏鸡蛋的概率分别为分布函数分布函数随机振动-第1章课件概率密度函数概率密度函数定义定义设设F(x)为连续型随机变量为连续型随机变量X的分布函数且连续可微的分布函数且连续可微X落在落在 区间的概率为区间的概率为则概率比度函数定义为则概率比度函数定义为概率密度函数与分布函数的关系式概率密度函数与分布函数的关系式若不计高阶无穷小，落在小区间的概率与概率密度函数若不计高阶无穷小，落在小区间的概率与概率密度函数概率密度函数分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数X落在区间落在区间 的概率的概率概率密度函数的特点概率密度函数的特点非负函数非负函数下述积分区域内结果为下述积分区域内结果为1随机振动-第1章课件几何意义几何意义举例举例例例1设正弦函数设正弦函数 。若。若随机任选一时间随机任选一时间t，且时间，且时间t的选取是等可能的，问的选取是等可能的，问x(t)落落在在x到到x+dx范围内的概率是多范围内的概率是多少？并求概率密度和分布函数少？并求概率密度和分布函数设正弦函数 。若x(t)落在落在x到到x+dx的概率的概率概率密度函数概率密度函数分布函数分布函数函数为周期函数，只讨论一函数为周期函数，只讨论一个周期即可，周期为个周期即可，周期为T函数为周期函数，只讨论一概率密度函数和分布函数曲线概率密度函数和分布函数曲线例例2由试验获得某参数时间历程样本由试验获得某参数时间历程样本记录曲线记录曲线x(t)，设其为各态历经，设其为各态历经的随即过程，求此参数的随即过程，求此参数x(t)（随机变量）的概率密度函数（随机变量）的概率密度函数概率密度函数和分布函数曲线由试验获得某参数时间历程样本测试曲线测试曲线落在落在测试曲线落在区间的概率落在区间的概率概率密度函数概率密度函数当当 很小时很小时更精确表达更精确表达落在区间的概率分析仪处理概率密度函数分析仪处理概率密度函数对时间历程等间隔采样，间隔时间对时间历程等间隔采样，间隔时间取取N个采样区间个采样区间其中有其中有 个采样点落在个采样点落在概率密度函数为概率密度函数为随机振动-第1章课件均匀分布和正态分布均匀分布和正态分布 均匀分布均匀分布（等概率分布）（等概率分布）概念概念随机变量随机变量X的一切可能取值都在某一区间的一切可能取值都在某一区间a,b内内在该区间内的任一等长度区间都具有相同的概率在该区间内的任一等长度区间都具有相同的概率概率密度函数概率密度函数p(x)在区间在区间a,b内为常量内为常量概率密度函数概率密度函数均匀分布和正态分布 分布函数分布函数函数曲线函数曲线分布函数正态分布正态分布（高斯分布）（高斯分布）定义定义设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为其中其中 均为常数，且均为常数，且则称此随机变量则称此随机变量X服从参数为服从参数为 的正态分布，记的正态分布，记分布函数分布函数随机振动-第1章课件概率密度函数和分布函数曲线概率密度函数和分布函数曲线标准正态分布标准正态分布当当 ，称随机变量，称随机变量X服从标准正态分服从标准正态分布布概率密度函数和分布函数分别为概率密度函数和分布函数分别为有表可查有表可查概率密度函数和分布函数曲线有表可查概率密度函数特性概率密度函数特性对称性：关于对称性：关于 对称对称在在 处曲线有拐点，且曲线以处曲线有拐点，且曲线以ox轴为渐进线轴为渐进线如如 不变，改变不变，改变 值，则值，则p(x)平移，形状不变平移，形状不变随机振动-第1章课件当当 时，时，p(x)具有最大值具有最大值如如 不变，改变不变，改变 ，越小，曲线越尖，越小，曲线越尖，X落在落在 附近概附近概率越大率越大随机振动-第1章课件随机变量函数的分布随机变量函数的分布概念概念设设X是随机变量，则它的函数是随机变量，则它的函数Yg(X)也是随机变量也是随机变量当当X取值为取值为x时，随机变量时，随机变量Y取值取值y=g(x)现已知现已知X的分布，要确定它的函数的分布，要确定它的函数Yg(X)的分布的分布离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布已知已知X的概率分布的概率分布随机变量函数的分布随机变量函数随机变量函数Y=g(X)的分布的分布如果如果 的值都不相等的值都不相等Y的分布为的分布为如果如果 中的值有相等中的值有相等将相等的值分别并起来将相等的值分别并起来根据概率加法定理将对应的概率根据概率加法定理将对应的概率 相加相加 随机振动-第1章课件例例1随机变量随机变量X的概率分布如下，求的概率分布如下，求 的分布的分布Y的分布（注意：的分布（注意：)随机振动-第1章课件例例2X的概率分布如下，求的概率分布如下，求 的概率的概率Y的分布（注意的分布（注意X取值为取值为1、0、1时时Y取值为取值为1、0、1）随机振动-第1章课件连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布概念概念已知已知X的概率密度函数的概率密度函数p(x)和随机变量函数和随机变量函数Yg(X)Y取值取值y=g(x)在在X一切可取值的区间是连续的一切可取值的区间是连续的根据根据p(x)求求Y=g(X)的概率密度函数，分三种情况讨论的概率密度函数，分三种情况讨论Y=g(X)是单调增函数是单调增函数其反函数其反函数x=h(y)也是单增函数，也是单增函数，Yy当且仅当当且仅当Xh(y)时才可能时才可能因此，随机变量因此，随机变量Y的分布函数为的分布函数为经复合求导，经复合求导，Y的概率密度函数为的概率密度函数为连续型随机变量函数的分布Y=g(X)是单调减函数是单调减函数其反函数其反函数x=h(y)也是单减函数，也是单减函数，Yh(y)时才可能时才可能Y的分布函数为的分布函数为Y的概率密度函数为（求导）的概率密度函数为（求导）上述两种单调函数概率密度函数合并可表示成上述两种单调函数概率密度函数合并可表示成随机振动-第1章课件例例1设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为p(x)求求Y=kX+b的概率密度函数（的概率密度函数（k、b均为常数）均为常数）求解求解例1例例2若上例中的随机变量若上例中的随机变量X的概率密度函数为正态分布的概率密度函数为正态分布则线性函数则线性函数Y=kX+b的概率密度函数为的概率密度函数为服从正态分布的随机变量的线性函数也服从正态分布服从正态分布的随机变量的线性函数也服从正态分布分布参数分别为分布参数分别为例2Y=g(X)不是单调函数不是单调函数Yy的概率为的概率为 的概率之和的概率之和积分区间积分区间 依赖于依赖于y，即随，即随y变化变化求导即得随机变量求导即得随机变量Y得概率密度函数得概率密度函数随机振动-第1章课件例例随机变量随机变量X在在 区间服从均匀分布区间服从均匀分布其分布概率密度函数其分布概率密度函数求求 的概率密度函数的概率密度函数例解解当当 ，概率密度函数为，概率密度函数为当当 ，同理可得，同理可得因此，概率密度函数为因此，概率密度函数为解随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望（均值）数学期望（均值）定义一定义一设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布规律为的分布规律为 若级数若级数 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为为X的数的数学期望学期望,记为记为 ,即即随机变量的数字特征定义二定义二对连续型随机变量，若其概率密度函数为对连续型随机变量，若其概率密度函数为p(x)，且积分，且积分 绝对收敛，则其数学期望为绝对收敛，则其数学期望为数学期望的重要性质数学期望的重要性质Ecc，c为常数为常数EcXcEXEcXdcEX+d,c和和d均为常数均为常数EXYEX+EY,X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量EXYEXEY,X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量EXYEXEY，X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量随机振动-第1章课件方差方差离差的概念离差的概念方差方差随机变量随机变量X X的离差的平方的数学期望称为的离差的平方的数学期望称为X X的方差的方差对连续型随机变量对连续型随机变量对离散型随机变量对离散型随机变量 随机变量X的离差离差的数学期望恒为零EY=EX-EX =EX-EX=0 方差随机变量X的离差方差的重要性质方差的重要性质Dc=0,c为常数为常数DcX=Dc+X=DX设设X、Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量标准差（均方差）：标准差（均方差）：均方值均方值离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量如果数学期望EX=0方差就等于均方值方差的重要性质如果数学期望EX=0方差、均方值和数学期望之间的关系方差、均方值和数学期望之间的关系正态分布的数学期望与方差正态分布的数学期望与方差数学期望数学期望方差方差随机变量的正态分布，可由其数学期望和方差完全确定方差、均方值和数学期望之间的关系随机变量的正态分布，3 规则规则二维随机变量二维随机变量二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数联合分布函数的定义联合分布函数的定义连续型随机变量连续型随机变量X、Y表明X落在 区间内几乎是近于所有的值3 规则表明X落在 离散型随机变量离散型随机变量边际分布函数边际分布函数X、Y各自的分布函数各自的分布函数连续型随机变量边际分布函数的定义连续型随机变量边际分布函数的定义离散型随机变量边际分布函数的定义离散型随机变量边际分布函数的定义可类似的表示 离散型随机变量可类似的表示 如果联合分布函数已知，则可求得边际分布函数如果联合分布函数已知，则可求得边际分布函数反之一般不成立反之一般不成立但若二维随机变量但若二维随机变量X、Y相互独立，则有相互独立，则有联合分布函数的性质联合分布函数的性质 是两个变量的非减函数是两个变量的非减函数 落在区域落在区域R内的概率内的概率如果联合分布函数已知，则可求得边际分布函数二维随机变量的概率密度分布函数二维随机变量的概率密度分布函数联合概率密度函数定义联合概率密度函数定义二维随机变量随机落在二维随机变量随机落在 区域内的概率为区域内的概率为联合概率密度联合概率密度二维随机变量的概率密度分布函数不计高阶小量，有不计高阶小量，有随机点落在面积随机点落在面积R的概率的概率联合分布函数用概率密度函数表达联合分布函数用概率密度函数表达随机振动-第1章课件边际概率密度函数边际概率密度函数定义定义与边际分布函数的关系与边际分布函数的关系若若X、Y相互独立，则有相互独立，则有联合概率密度函数的性质联合概率密度函数的性质 为非负函数为非负函数 随机振动-第1章课件二维随机变量的数值特征二维随机变量的数值特征数学期望数学期望EX和和EY离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量方差方差DX和和DY离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量二维随机变量的数值特征协方差协方差用来描述随机变量之间的相关性用来描述随机变量之间的相关性定义定义两个随机变量离差乘积的数学期望两个随机变量离差乘积的数学期望离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量随机振动-第1章课件二维随机变量的函数的均值二维随机变量的函数的均值随机变量的函数随机变量的函数离散型随机变量的函数的均值离散型随机变量的函数的均值连续型随机变量的函数的均值连续型随机变量的函数的均值随机振动-第1章课件